Lineare Algebra und analytische Geometrie

279 Pages·1985·6.83 MB·German

by  Rolf Walter (auth.)

Rolf Walter
Lineare Algebra
und
analytische Geometrie
~_ Aus dem Programm
Mathematik -----------.,.
Grund legende Lehrbucher:
Analysis 1 und 2, von O. Forster
Lineare Algebra, von G. Fischer
Analytische Geometrie, von G. Fischer
Einfiihrung in die lineare Algebra
von R. Walter
Lineare Algebra und analytische Geometrie
von R. Walter
Lineare Algebra und ana Iytische Geometrie I und II,
von E. Brieskorn
Lineare Algebra und analytische Geometrie, 3 Bande,
von H. Schaal
Ebene Geometrie, von E. Kunz
Elementare Zahlentheorie, von G. Frey
Weiterfuhrende LehrbGcher:
Analysis 3, von O. Forster
Funktionentheorie, von W. Fischer und I. Lieb
o
ifferentiaIgeometrie von Kurven und Flachen,
von M. P. do Carmo
Differentialgeometrie, von H. Brauner
EinfGhrung in die kommutative Algebra und
algebraische Geometrie, von E. Kunz
Vieweg -----------------'
Rolf Walter
Lineare Algebra
und
analytische Geometrie
Mit 56 Bildern
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Walter, Rolf:
Lineare Algebra und analytische Geometrie /
Rolf Walter. - Braunschweig; Wiesbaden:
Vieweg, 1985.
1985
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1985
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1985
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Satz: Vieweg, Braunschweig
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ISBN-13: 978-3-528-08584-1 e-ISBN-13: 978-3-322-83913-8
DOl: 10.1007/978-3-322-83913-8
v
Vorwort
Dieses Buch behandelt die lineare und multiline are Algebra sowie die analytische Geome
trie. Es ist entstanden aus entsprechenden Vorlesungen des ersten Studienjahres, die ich
mehrfach an den Universitaten Freiburg und Dortmund fiir Mathematiker, Physiker und
Studenten mit mathematischem Nebenfach gehalten habe.
Der Schwerpunkt dieses Buches liegt auf den weiterfiihrenden Themen des zweiten
Semesters. ledoch ist die Darstellung weitgehend in sich abgeschlossen, da elementare
Kenntnisse wiederholt und oftmals neu begriindet werden. Fiir die erstmalige Aneignung
der Grundlagen sei auf meine ,,Einfiihrung in die line are Algebra" (Vieweg 1982) hin
gewiesen.
Nach algebraischen Vorbereitungen befaBt sich der erste Teil dieses Buches mit allgemeinen
Vektorraumen, Normalformen linearer Abbildungen, komplexen Vektorraumen und
multilinearer Algebra. Hervorzuheben sind die Diskussion der Codimension, der Briicken
schlag zur Analysis in Gestalt der normierten Vektorraume und die Fundierung der Haupt
achsentransformation mit dem Rayleighschen Extremalprinzip. Bei den komplexen
Vektorraumen erfolgt ein elementarer Beweis des "Fundamentalsatzes der Algebra", der
im folgenden zutreffender als algebraischer Fundamentalsatz in C bezeichnet wird.
Darauf aufbauend wird die reelle lordansche Normalform mittels des "Durchganges
durch Komplexe" gewonnen. (Hierbei werden ausnahmsweise gezielte Vorkenntnisse aus
dem Einfiihrungsband angenommen.)
Der zweite Teil entwickelt die analytische Geometrie auf der Basis der linearen Algebra,
und zwar getrennt nach den affinen, euklidischen und projektiven Gesichtspunkten,
jeweils mit den spezifischen Hilfsmitteln der betreffenden Struktur. Nach den linearen
Gebilden werden die quadratischen Hyperflachen behandelt. Der allgemeinen Grund
haltung entsprechend, wird auch in der Geometrie die moderne, basisfreie Denkweise
bevorzugt. Dementsprechend sind die Resultate in einem starkeren AusmaB als sonst
ublich unabhangig von der endlichen Dimension (und iibrigens auch yom Skalarenkorper).
Wo es geboten erscheint, wird aber der basisfreie Aufbau durch Koordinatenrechnungen
erganzt.
BewuBt bietet dieser Band an einigen Stellen mehr, als in einem Semester erarbeitet wer
den kann. So konnen die Abschnitte iiber den algebraischen Fundamentalsatz in C und
iiber lordansche Normalform, multiline are Algebra und projektive Geometrie als Wahl
moglichkeiten betrachtet werden. Denn diese Themen werden in anderen Abschnitten
nicht verwendet. Auch sonst wurde auf gegenseitige Unabhangigkeit geachtet. Eine
Sonderrolle spielt das Kapitel 0 iiber Algebra, von dem in der Folge nur einige Grund
begriffe gebraucht werden, das aber fiir die mathematische Allgemeinbildung sehr niitzlich
ist.
VI Vorwort
Dem Buch sind zahlreiche Ubungsaufgaben mit vie len Losungshinweisen beigegeben.
Die Aufgaben enthalten zum einen konkrete Rechenbeispiele zum Text. Zum anderen
werden durch sie weiterfUhrende Themen erschlossen, die sich auch gut fUr ein Pro
seminar eignen. Dem Leser sei die Beschaftigung mit Obungsaufgaben besonders empfoh
len: Es kommt ja nicht selten vor, da£' die Bewiiltigung eines interessanten tlbungs
problems ein Schltisselerlebnis fUr eine besonders intensive Beziehung zur Mathematik
darstellt! - 1m Text werden die Aufgaben prinzipiell nicht verwendet.
Insgesamt war mein Ziel ein weitgehend unabhiingiges Lehrbuch der linearen Algebra
und analytischen Geometrie, das sowohl der Festigung des Bekannten wie auch dem
Aufbau neuer, relevanter Bezirke dient und das nicht zuletzt als Referenz-Werk fUr
hohere Vorlesungen geeignet ist.
Danken mochte ich auch an dieser Stelle Frau G. Schmidt, geb. Wienke ffir ihren uner
miidlichen Einsatz bei der Textherstellung, den Herren Dipl.-Math. S. Peters und Dr. W.
Strobing ffir Hilfe und wertvolle Ratschliige bei der Korrektur sowie Frau Dr. P. Danzer
Katzarova ffir ihre Unterstiitzung bei den Bildern. Mein Dank gilt aber auch dem Verlag,
vor allem Frau Schmickler-Hirzebruch, fur die gute Betreuung des Werkes.
Dortmund, im November 1983 Rolf Walter
VII
Zum Gebrauch des Buches
Die acht Kapitel sind in Abschnitte mit jeweils zweistelligen Nummern gegliedert. In
jedem Abschnitt fangt die Numerierung von Defmitionen, Formeln usw. neu an, wobei
Satze und Definitionen gemeinsam mit gro~en lateinischen Buchstaben durchgezahlt
sind. Lediglich die Numerierung der Bilder und Tabellen ist im ganzen Buch durchlaufend.
Verweise erfolgen im gleichen Abschnitt ohne dessen Nennung, an anderen Stellen unter
Anftigung des zitierten Abschnitts in eckigen Klammern; z.B. verweist "Satz E [5.1]" auf
Satz E des Abschnittes 5.1. Bei einem ,,zusatz" werden stets die Voraussetzungen beibe
halten. Das Ende einer Uberlegung wird durch das Zeichen 0 angedeutet, die Zeichen
:= und =: signalisieren eine Definitionsgleichung, wobei der Doppelpunkt auf der Seite
der neu eingefiihrten Gro~e steht. Generalvoraussetzungen, die zu Beginn eines Ab
schnittes gemacht werden, gelten auch fiir die zugehorigen Aufgaben.
Die Standardmengen der Mathematik sind folgenderma~en bezeichnet:
N Menge der natiirlichen Zahlen (oime 0)
Z Menge der ganzen Zahlen
Q Menge der rationalen Zahlen
R Menge der reellen Zahlen
C Menge der komplexen Zahlen.
Das Anhangen des Indexes ,,0" bedeutet hier Hinzunahme, die Schreibart ,,\0" Wegnahme
der Null; z.B. ist No die Menge der natiirlichen Zahlen zusammen mit 0, Z\O die Menge Z
ohne 0. DieMarken ,,+" und ,,-" bezeichnen entsprechende Vorzeicheneinschrankungen;
z.B. ist R+ die Menge aller positiven, R~ die Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen.
Am Ende des Buches finden sich Verzeichnisse der Literatur und der weiteren Symbole
sowie das Sachverzeichnis. Hinweise auf das Literaturverzeichnis erfolgen durch Nennung
der Autoren in Kursivschrift (gegebenenfalls mit einer Ordnungsnummer). Das Buch:
"R. Walter, Einfiihrung in die lineare Algebra" wird kurz durch ,,I" zitiert. Das Sachver
zeichnis enthiilt auch die Lebensdaten der erwahnten Wissenschaftler.
VIII
Inhaltsverzeichnis
o
Aus der Algebra ......................................... .
0.1 Gruppen und Untergruppen ................................ .
0.2 Homomorphe Abbildungen und Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9
0.3 Restklassen ganzer Zahlen .................................. 16
0.4 Ringe und K6rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
1 Vektorraume ............................................ 26
1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
1.2 Cartesische Produkte und Summen ............................ 31
1.3 Dualitat .............................................. 37
1.4 Quotientenraume und Codimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
1.5 Normierte Vektorraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58
2 Feinstruktur spezieller Endomorphismen euklidischer Vektorraume .. 69
2.1 Hilfsmittel ............................................. 69
2.2 Symmetrische Endomorphismen .............................. 75
2.3 Isometrische Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81
2.4 Normale Endomorphismen .................................. 85
3 Komplexe Vektorraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
3.1 Komplexe und reelle Struktur ..... ..... . . . . . . . . . . . . · .. . . . . . . 89
3.2 Der algebraische Fundamentalsatz in C ................ · ........ 101
3.3 Anwendung auf die lordansche Normalform .... . . . . . . . . . · . ....... 103
4 Multilineare Algebra . ...................................... 114
4.1 Multilineare Abbildungen und Multilinearformen ................... 114
4.2 Tensorprodukt endlich dimensionaler Vektorraume ................. 117
4.3 Tensoralgebra tiber einem endlich dimensionalen Vektorraum ........... 124
4.4 Alternierende multilineare Abbildungen und Formen ................ 129
4.5 Aull.ere Algebra tiber einem endlich dimensionalen Vektorraum .......... 137
4.6 Darstellung von Untervektorraumen und Determinanten in der aull.eren
Algebra ............................................... 148
I nhaltsverzeichnis IX
5 Affine und euklidische Geometrie ............................ 152
5.1 Affine Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2 Affine Abbildungen ...................................... 166
5.3 Euklidische Geometrie ..................................... 173
6 Quadratische Hyperflachen in der affinen und euklidischen Geometrie . . 177
6.1 Definition und Darstellung von Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.2 Schnitt mit Geraden ...................................... 184
6.3 Affine Quadriktypen ...................................... 192
6.4 Euklidische Quadriktypen .................................. 201
7 Projektive Geometrie ...................................... 211
7.1 Motivierung ............................................ 211
7.2 Priizise Definitionen und grundlegende Begriffe .................... 212
7.3 Das Dualitiitsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.4 Homogene Koordinaten und projektive Bezugssysteme ............... 219
7.5 Das Doppelverhiiltnis ...................................... 221
7.6 Projektive Abbildungen .................................... 226
7.7 Quadriken in der Projektivgeometrie .......... ................. 231
7.8 Zusammenhang mit der Affingeometrie ......................... 237
Literaturhinweise ........................................... 248
Wichtige Symbole . . . . . . . . . . . . . .............................. 249
Sachverzeichnis ............................................ 258
o
Aus der Algebra
Die Algebra, die friiher einmal die Kunst der Gleichungsauflosung war, ist heute in eine
allgemeine Theorie der Verknilpfungen eingemiindet, die zumeist abstrakt, also axiomatisch
betrieben wird. Die axiomatische Denkweise beruht auf der folgenden Grundidee: Man
stellt zunachst fest, daB gewisse Gesetzmii£igkeiten fUr unterschiedliche Objekte gleicher
maBen gelten. Daraufhin lost man sich .von den konkreten Gilltigkeitsbereichen, indem
man solche Gesetze zu defmierenden Eigenschaften einer neuen Struktur erhebt. Dieses
Vorgehen hat sich in der modernen Mathematik a~erordent1ich bewahrt. Einer seiner
Vorziige ist die geistige Okonomie, die es bewirkt: Erkenntnisse, die im abstrakten Rahmen
gewonnen wurden, besitzen eine universelle Gilltigkeit; sie brauchen in konkreten Fallen
nicht erneut iiberpriift zu werden. Unter den vielen algebraischen Strukturen, die so auf
gebaut wurden, konzentrieren wir uns in diesem Kapitel auf die Gruppen und Korper.
0.1 Gruppen und Untergruppen
Seit der Erfmdung der Gruppenstruktur im 19. Jahrhundert hat dieser Begriff eine starke,
vereinheitlichende Kraft ausgeiibt, so daB er heute zum fundamentalen Riistzeug des
mathematischen Denkens gehOrt. Wir stellen den Gruppenbegriff aber nicht nur wegen
seiner gro~en Bedeutung an den Anfang, sondern auch deshalb, weil man an ihm den
axiomatischen Zugang zur Algebra in Reinkultur studieren kann. 1m Gegensatz zu den
Zahlenmengen, die man aus der Schule kennt, besitzt eine Gruppe nur eine einzige Ver
knilpfung, und die Rechenregeln, denen diese folgt, sind denkbar einfach. Umso erstaun
licher ist es, daB bereits ein kurzer Einstieg handfeste, nichttriviale Erkenntnisse liefert,
z.B. den ,,kleinen Fermat" und den Satz von Wilson aus der Zahlentheorie, die wir gegen
Ende dieses Kapitels vorstellen.
GrundltJgen
Eine Gruppe ist zunachst ein Verkniipfungsgebi/de, d.h. eine nichtleere Menge G von Ele
menten, derart daB nach einem bestimmten Gesetz je zweien dieser Elemente, a und b,
ein neues Element ab derselben Menge G zugeordnet ist (Abgeschlossenheit). Das Ver
kniipfungsergebnis von a und b, das hier einfach mit ab bezeichnet wurde, kann auch
anders geschrieben werden, z.B. als a' b (multiplikative Schreibweise) oder als a + b
(additive Schreibweise), und je nachdem wird das Verkniipfungsergebnis auch als Produkt
oder Summe bezeichnet. Will man die Verkniipfung genau spezifIzieren, so schreibt man
das Verkniipfungsgebilde als Paar, also etwa (G, .) oder (G, +). 1m allgemeinen verwenden
=
wir die Schreibweisen ab a' b simultan. Auf die Reihenfolge der "Faktoren" kommt es
dabei sehr wohl an, d.h. ab ist nicht unbedingt gleich ba. 1st die zugrundeliegende Menge