Lineare Algebra und analytische Geometrie

279 Pages·1993·9.62 MB·German

by  Prof. Dr. Rolf Walter (auth.)

Rolf Walter
Lineare Algebra
und
analytische Geometrie
Aus dem Programm
Mathematik -----------...
Lineare Algebra und analytische Geometrie I und II
von E. Brieskorn
Lineare Algebra
von G. Fischer
Analytische Geometrie
von G. Fischer
EinfUhrung in die lineare Algebra
von R. Walter
Lineare Algebra und analytische Geometrie
von R. Walter
Projektive Geometrie
von A. Beutelspacher und U. Rosenbaum
Algebra
von E. Kunz
Elementare Zahlentheorie
von G. Frey
Analysis 1, 2 und 3
von O. Forster
Numerische Mathematik fUr Anfiinger
von G. Opfer
Numerische Mathematik 1 und 2
J.
von Werner
Funktionentheorie
von W. Fischer und I. Lieb
DiHerentialgeometrie von Kurven und Flachen
von M. P. do Carma
Topologie
von E. Ossa
J
EinfUhrung in die Funktionalanalysis
von R. Meise und D. Vogt
Vieweg _______________
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Rolf Walter
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Lineare Algebra
und
analytische Geometrie
Zweitel durchgesehene Aufloge
Mit 56 Bildern
I I
Vl8weg
Prof. Dr. Rolf Walter
Mathematik VII - Differentialgeometrie
Universitat Dortmund
Vogelpothsweg 87
D-44221 Dortmund
1. Auflage 1985
2., durchgesehene Auflage 1993
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wicsbaden, 1993
Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Verlagsgruppe Bertelsmann International.
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschtitzt. J ede
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rung und Verarbeitung in elektronischen System en.
Umschlaggestaltung: Klaus Birk, Wiesbaden
Satz: Vieweg, Braunschweig
Gedruckt auf saurefreiem Papier
ISBN 978-3-528-18584-8 ISBN 978-3-322-91538-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91538-2
v
Vorwort
Dieses Buch behandelt die lineare und multilineare Algebra sowie die analytische Geome
trie. Es ist entstanden aus entsprechenden Vorlesungen des ersten Studienjahres, die ich
mehrfach an den Universitaten Freiburg und Dortmund fUr Mathematiker, Physiker und
Studenten mit mathematischem Nebenfach gehalten habe.
Der Schwerpunkt dieses Buches liegt auf den weiterfi\hrenden Themen des zweiten
Semesters. Jedoch ist die Darstellung weitgehend in sich abgeschlossen, da elementare
Kenntnisse oftmals wiederholt und neu begrtindet werden. Ftir die erstmalige Aneignung
der Grundlagen sei auf meine "Einftihrung in die line are Algebra" (Vieweg) hingewiesen.
Nach algebraischen Vorbereitungen befaBt sich der erste Teil dieses Buches mit allgemeinen
Vektorraumen, Normalformen linearer Abbildungen, komplexen Vektordiumen und
multilinearer Algebra. Hervorzuheben sind die Diskussion der Codimension, der Brticken
schlag zur Analysis in Gestalt der normierten Vektorraume und die Fundierung der Haupt
achsentransformation mit dem Rayleighschen Extremalprinzip. Bei den komplexen
Vektorraumen erfolgt ein elementarer Beweis des "Fundamentalsatzes der Algebra", der
im folgenden zutreffender als algebraischer Fundamentalsatz in C bezeichnet wird.
Weiter wird die reelle 10rdansche Normalform rnittels des "Durchganges durch Komplexe'
gewonnen. 1m tibrigen sind die komplexen Strukturen so aufgebaut, wie es ein nahtloser
AnschluB an die komplexe Analysis auf Mannigfaltigkeiten erfordert.
Der zweite Teil entwickelt die analytische Geometrie auf der Basis der linearen Algebra,
und zwar getrennt nach den affinen, euklidischen und projektiven Gesichtspunkten,
jeweils mit den spezifischen Hilfsmitteln der betreffenden Struktur. Nach den linearen
Gebilden werden die quadratischen Hyperfhchen behandelt. Der allgemeinen Grund
haltung entsprechend, wird auch in der Geometrie die moderne, basisfreie Denkweise
bevorzugt. Dementsprechend sind die Resultate in einem starkeren AusmaB als sonst
tiblich unabhangig von der endlichen Dimension (und tibrigens auch yom Skalarenkorper).
Wo es geboten erscheint, wird aber der basisfreie Aufbau durch Koordinatenrechnungen
erganzt.
BewuBt bietet dieser Band an einigen Stellen mehr, als in einem Semester erarbeitet wer
den kann. So konnen die Abschnitte tiber den algebraischen Fundamentalsatz in C und
tiber lordansche Normalform, multilineare Algebra und projektive Geometrie als Wahl
moglichkeiten betrachtet werden. Denn diese Themen werden in anderen Abschnitten
nicht verwendet. Auch sonst wurde auf gegensei tige Unabhangigkei t geachtet. Eine
Sonderrolle spielt das Kapitel 0 tiber Algebra, von dem in der Folge nur einige Grund
begriffe gebraucht werden, das aber fUr die mathematische Allgemeinbildung sehr ntitzlich
ist.
VI Vorwort
Dem Buch sind zahlreiche Dbungsaufgaben mit vielen Li:isungshinweisen beigegeben.
Die Aufgaben enthalten zum einen konkrete Rechenbeispiele zum Text. Zum anderen
werden durch sie weiterflihrende Themen erschlossen, die sich auch gut fiir ein Pro
seminar eignen. Dem Leser sei die Beschaftigung mit Ubungsaufgaben besonders empfoh
len, urn seine Kraft zu trainieren. (Wer sich z. B. anhand der Bemerkung 2 in 7.5 das
Transformationsverhalten des Doppelverhaltnisses erarbeitet, profitiert fill sich mehr, als
wenn er eine Tabelle mit 23 Eintragen zur Kenntnis nehmen miil1te!) - 1m Text werden
die Aufgaben prinzipiell nicht verwendet.
Insgesamt war mein Ziel ein weitgehend unabhangiges Lehrbuch der linearen Algebra
und analytischen Geometrie, das sowohl der Festigung des Bekannten wie auch dem
Aufbau neuer, relevanter Bezirke dient und das nicht zuletzt als Referenz-Werk fUr
hi:ihere Vorlesungen geeignet ist.
Danken mi:ichte ich auch an dieser Stelle Frau G. Schmidt, geb. Wienke fill ihren uner
miidlichen Einsatz bei der Textherstellung, den Herren Dipl.-Math. S. Peters und Dr. W.
Striibing fill Hilfe und wertvolle Ratschlage bei der Korrektur sowie Frau Dr. P. Danzer
Katzarova fill ihre Unterstiitzung bei den Bildern. Mein Dank gilt aber auch dem Verlag,
vor allem Frau Schmickler-Hirzebruch, fUr die gute Betreuung des Werkes.
Dortmund, im Juni 1993 Rolf Walter
VII
Zum Gebrauch des Buches
Die acht Kapitel sind in Abschnitte mit jeweils zweistelligen Nummern gegliedert. In
jedem Abschnitt Hingt die Numerierung von Definitionen, Formeln usw. neu an, wobei
Satze und Definitionen gemeinsam mit gro~en lateinischen Buchstaben durchgezahlt
sind. Lediglich die Numerierung der Bilder und Tabellen ist im ganzen Buch durchlaufend.
Verweise erfolgen im gleichen Abschnitt ohne dessen Nennung, an anderen Stellen unter
AnfUgung des zitierten Abschnitts in eckigen Klammern; z.B. verweist "Satz E [5.1]" auf
Satz E des Abschnittes 5.1. Bei einem "Zusatz" werden stets die Voraussetzungen beibe
halten. Das Ende einer Uberlegung wird durch das Zeichen D angedeutet, die Zeichen
:= und =: signalisieren eine Definitionsgleichung, wobei der Doppelpunkt auf der Seite
der neu eingefUhrten Gro~e steht. Generalvoraussetzungen, die zu Beginn eines Ab
schnittes gemacht werden, gelten auch fUr die zugehorigen Aufgaben.
Die Standardmengen der Mathematik sind folgenderma~en bezeichnet:
N Menge der natUrlichen ZaWen (ohne 0)
Z Menge der ganzen Zahlen
Q Menge der rationalen Zahlen
R Menge der reellen Zahlen
C Menge der komplexen Zahlen.
Das Anhangen des Indexes ,,0" bedeutet hier Hinzunahme, die Schreibart ,,\0" Wegnahme
der Null; z.B. ist No die Menge der natUrlichen Zahlen zusammen mit 0, Z\O die Menge Z
ohne 0. Die Marken" +" und ,,-" bezeichnen entsprechende Vorzeicheneinschrankungen;
z.B. ist R+ die Menge aller positiven, R~ die Menge aller nichtnegativen reellen Zahlen.
Am Ende des Buches finden sich Verzeichnisse der Literatur und der weiteren Symbole
sowie das Sachverzeichnis. Hinweise auf das Literaturverzeichnis erfolgen durch Nennung
der Autoren in Kursivschrift (gegebenenfalls mit einer Ordnungsnummer). Das Buch:
"R. Walter, EinfUhrung in die lineare Algebra" wird kurz durch ,,1" zitiert. Das Sachver
zeichnis enthalt auch die Lebensdaten der erwahnten Wissenschaftler.
VIII
Inhaltsverzeichnis
o
Aus der Algebra ......................................... .
0.1 Gruppen und Untergruppen .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1
0.2 Homomorphe Abbildungen und Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9
0.3 Restklassen ganzer Zahlen .................................. 16
0.4 Ringe und Knrper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
1 Vektorraume ............................................ 26
1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
1.2 Cartesische Produkte und Summen ............................ 31
1.3 Dualitat .............................................. 37
1.4 Quotientenraume und Codimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
1.5 Normierte Vektorraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58
2 Feinstruktur spezieller Endomorphismen euklidischer Vektorraume .. 69
2.1 Hilfsmittel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69
2.2 Symmetrische Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75
2.3 Isometrische Endomorphismen ............................... 81
2.4 Normale Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85
3 Komplexe Vektorraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
3.1 Komplexe und reelle Struktur ................................ 89
3.2 Der algebraische Fundamentalsatz in C .......................... 101
3.3 Anwendung auf die lordansche Normalform ...................... 103
4 Multilineare Algebra . ...................................... 114
4.1 Multilineare Abbildungen und Multilinearformen ................... 114
4.2 Tensorprodukt endlich dimensionaler Vektorraume ................. 117
4.3 Tensoralgebra tiber einem endlich dimensionalen Vektorraum ........... 124
4.4 Alternierende multilineare Abbildungen und Formen ................ 129
4.5 A uBere Algebra tiber einem endlich dimensionalen Vektorraum .......... 137
4.6 Darstellung von Untervektorraumen und Determinanten in der auBeren
Alge bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
I nhaltsverzeichn is IX
5 Affine und euklidische Geometrie ............................ 152
5.1 Affine Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 153
5.2 Affine Abbildungen ...................................... 166
5.3 Euklidische Geometrie ..................................... 173
6 Quadratische Hyperfliichen in der affinen und euklidischen Geometrie . . 177
6.1 Definition und Darstellung von Quadriken ........................ 177
6.2 Schnitt mit Geraden ...................................... 184
6.3 Affine Quadriktypen ...................................... 192
6.4 Euklidische Quadriktypen .................................. 201
7 Projektive Geometrie ...................................... 211
7.1 Motivierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... 211
7.2 Prazise Definitionen und grundlegende Begriffe .................... 212
7.3 Das Dualitatsprinzip ...................................... 216
7.4 Homogene Koordinaten und projektive Bezugssysteme ............... 219
7.5 Das DoppelverhaItnis ...................................... 221
7.6 Projektive Abbildungen .................................... 226
7.7 Quadriken in der Projektivgeometrie ........................... 231
7.8 Zusammenhang mit der Affingeometrie ......................... 237
Literaturhinweise ........................................... 248
Wichtige Symbole ........................................... 249
Sachverzeichnis ............................................ 258
o
Aus der Algebra
-
Die Algebra, die friiher einmal die Kunst der Gleichungsauflosung war, ist heute in eine
allgemeine Theorie der Verkntipfungen eingemtindet, die zumeist abstrakt, also axiomatisch
betrieben wird. Die axiomatische Denkweise beruht auf der folgenden Grundidee: Man
stellt zunachst fest, da£ gewisse Gesetzma£igkeiten fUr unterschiedliche Objekte gleicher
ma£en gelten. Daraufhin lost man sich von den konkreten Gi.iltigkeitsbereichen, indem
man solche Gesetze zu defmierenden Eigenschaften einer neuen Struktur erhebt. Dieses
Vorgehen hat sich in der modernen Mathematik au£erordentlich bewiihrt. Einer seiner
Vorztige ist die geistige Okonomie, die es bewirkt: Erkenntnisse, die im abstrakten Rahmen
gewonnen wurden, besitzen eine universelle Gi.iltigkeit; sie brauchen in konkreten Fallen
nicht erneut tiberprtift zu werden. Unter den vielen algebraischen Strukturen, die so auf
gebaut wurden, konzentrieren wir uns in diesem Kapitel auf die Gruppen und Korper.
0.1 Gruppen und Untergruppen
Seit der Erfmdung der Gruppenstruktur im 19. Jahrhundert hat dieser Begriff eine starke,
vereinheitlichende Kraft ausgetibt, so da£ er heute zum fundamentalen Rtistzeug des
mathematischen Denkens gehort. Wir stellen den Gruppenbegriff aber nicht nur wegen
seiner gro£en Bedeutung an den Anfang, sondern auch deshalb, well man an ihm den
axiomatischen Zugang zur Algebra in Reinkultur studieren kann. 1m Gegensatz zu den
Zahlenmengen, die man aus der Schule kennt, besitzt eine Gruppe nur eine einzige Ver
kntipfung, und die Rechenregeln, denen diese folgt, sind denkbar einfach. Umso erstaun
licher ist es, da£ bereits ein kurzer Einstieg handfeste, nichttriviale Erkenntnisse liefert,
z.B. den "kleinen Fermat" und den Satz von Wilson aus der Zahlentheorie, die wir gegen
Ende dieses Kapitels vorstellen.
Grundlagen
Eine Gruppe ist zunachst ein Verkniipfungsgebilde, d.h. eine nichtleere Menge G von Ele
menten, derart da£ nach einem bestimmten Gesetz je zweien dieser Elemente, a und b,
ein neues Element ab derselben Menge G zugeordnet ist (Abgeschlossenheit). Das Ver
kntipfungsergebnis von a und b, das hier einfach mit ab bezeichnet wurde, kann auch
anders geschrieben werden, z.B. als a· b (multiplikative Schreibweise) oder als a + b
(additive Schreibweise), und je nachdem wird das Verkntipfungsergebnis auch als Produkt
oder Summe bezeichnet. Will man die Verkntipfung genau speziflzieren, so schreibt man
das Verkntipfungsgebilde als Paar, also etwa (G,·) oder (G, +). 1m allgemeinen verwenden
wir die Schreibweisen ab = a· b simultan. Auf die Reihenfolge der "Faktoren" kommt es
dabei sehr wohl an, d.h. ab ist nicht unbedingt gleich ba. 1st die zugrundeliegende Menge