Lineare Algebra und Analytische Geometrie

257 Pages·2010·1.15 MB·German

Unterlagen zu den Vorlesungen
Lineare Algebra und Analytische
Geometrie 1 und 2
Wintersemester 2010/11
Sommersemester 2011
Erhard Aichinger
Institut für Algebra
Johannes Kepler Universität Linz
Alle Rechte vorbehalten Version 5. Oktober 2010
Adresse:
Assoc.-Prof. Dr. Erhard Aichinger
Institut für Algebra, Johannes Kepler Universität Linz
4040 Linz, Österreich
e-mail: [email protected]
Version 5.10.2010
Druck: Kopierstelle, Abteilung Service, Universität Linz
Inhaltsverzeichnis
Teil 1. Vektoren und Matrizen 1
Kapitel1. Geometrieinder Ebeneund imRaum 3
1. Koordinaten 3
2. Vektoren 3
3. DieLängeeinesVektors 5
4. Trigonometrie 7
5. DerWinkelzwischen zwei Vektoren 14
6. Geraden in derEbene 16
7. Vektoren imRn 20
8. Geraden und EbenenimRaum 24
Kapitel2. Matrizen 29
1. DieDefinitionvonMatrizen 29
2. DieAdditionvonMatrizen 30
3. DieMultiplikationeinerMatrix miteinerreellen Zahl 31
4. DieMultiplikationvon Matrizen 31
5. Rechenregeln fürdieAdditionundMultiplikationvonMatrizen 33
6. DieMultiplikationvon Vektorenund Matrizen 35
7. Das TransponierenvonMatrizen 36
8. DieEinheitsmatrizen 37
9. Das Invertierenvon Matrizen 38
Kapitel3. LineareGleichungssysteme 43
1. Beispiele 43
2. DieLösungvonGleichungssystemenin Staffelform 47
3. Das GaußscheEliminationsverfahren 49
4. EinigedurchgerechneteBeispielezumGauß-Algorithmus 52
Teil 2. Mengen und Funktionen 59
Kapitel4. Mengen 61
1. Eigenschaftenvon Mengen 61
2. OperationenaufMengen 61
Kapitel5. RelationenundFunktionen 67
1. GeordnetePaare 67
i
ii INHALTSVERZEICHNIS
2. Relationen 67
3. Funktionen 68
4. Definitions-undWertebereich 69
5. FamilienundFolgen 71
6. HintereinanderausführungvonFunktionen 73
Teil 3. Vektorräume 75
Kapitel6. Unterräumedes Rn 77
1. DieDefinitioneinesUnterraums 77
2. DielineareHüllevonVektoren 79
3. DielineareUnabhängigkeitvonVektoren 80
4. Basen eines Vektorraums 81
5. DieZeilenstaffelnormalform 86
6. DerNullraumeinerMatrix 91
7. DieDimensioneines Unterraumes 96
8. DerRang einerMatrix 98
9. DieEindeutigkeitderZeilenstaffelnormalform 98
10. DieLösungsmengeinhomogenerlinearerGleichungssysteme 100
11. Koordinaten 104
12. SummenundDurchschnittevonUnterräumen 106
Kapitel7. Orthogonalität 111
1. DerWinkelzwischen zwei Vektoren 111
2. DerNormalraumaufeineMengevonVektoren 112
3. Orthonormalbasen 112
4. Das Gram-SchmidtscheOrthonormalisierungsverfahren 114
5. Orthogonalprojektionen 117
6. AbstandsberechnungenmitHilfederOrthogonalprojektion 121
7. DiebestapproximierendeLösungeines linearenGleichungssystems 126
Kapitel8. Ringe,Körperund Vektorräume 129
1. KommutativeRingemitEins 129
2. Vektorräume 130
Kapitel9. LineareAbbildungen 133
1. Beispiele 133
2. DieDefinitionlinearerAbbildungen 134
3. Abbildungsmatrizenlinearer Abbildungen 136
4. AbbildungsmatrizenfürSpiegelungenund Drehungen 139
5. Basistransformationen 142
6. DieHintereinanderausführungund dieMatrizenmultiplikation 143
7. Abbildungsmatrizen für Spiegelungen und Drehungen bezüglich der
kanonischenBasis 144
INHALTSVERZEICHNIS iii
Teil 4. Mengen und Relationen 149
Kapitel10. ÄquivalenzrelationenundFaktormengen 151
1. Äquivalenzrelationen 151
2. Partitionen 152
Kapitel11. DieMächtigkeitvonMengen 155
1. Ordnungsrelationen 155
2. Mächtigkeit 157
3. EinigeabzählbarunendlicheMengen 159
4. EinigeüberabzählbarunendlicheMengen 159
5. UnendlicheMengen 160
6. ErstaunlichesüberMengen 162
Teil 5. AnalyselinearerAbbildungen 163
Kapitel12. Determinanten 165
1. VolumeneinesParallelepipeds 165
2. Permutationen 166
3. DeterminanteeinerquadratischenMatrix 170
4. Berechnen derDeterminantein Körpern 173
5. DieadjungierteMatrix 177
6. DeterminantenundInvertierbarkeit 181
7. DeterminantenundVolumina 182
8. Gleichungssysteme 183
Kapitel13. Polynome 185
1. Primfaktorzerlegunginden ganzen Zahlen 185
2. Polynome 188
3. Polynomfunktionen 191
4. TeilbarkeitvonPolynomen 192
5. Polynomfunktionenund Nullstellen 194
6. Polynomeüberden reellen undden komplexenZahlen 195
Kapitel14. EigenwerteundEigenvektoren 197
1. DiagonalisierenvonMatrizen 197
2. Eigenwerte 198
3. Eigenvektoren 200
4. AbschätzungenfürdieEigenwerte 203
5. Beweis desHauptsatzes derAlgebra 204
Kapitel15. Homomorphismenzwischen Vektorräumen 207
1. DerRang einerMatrix 207
2. Homomorphismenzwischen Vektorräumen 208
3. Faktorräume 211
iv INHALTSVERZEICHNIS
4. DerHomomorphiesatz 213
5. ZerlegungvonVektorräumenin direkteSummen 215
Kapitel16. DieJordanscheNormalform 217
1. Einsetzenvon Matrizenin Polynome 217
2. ZerlegungininvarianteUnterräume 219
3. DieHaupträumeeinerMatrix 222
4. NilpotenteEndomorphismen 225
5. DieJordanscheNormalform 229
6. Das MinimalpolynomeinerMatrix 231
Kapitel17. Der Dualraumeines Vektorraums 233
1. Vektorräumevon Homomorphismen 233
2. DerDualraum 233
3. DerBidualraum 235
Teil 6. Vektorräume mitSkalarprodukt 237
Kapitel18. EuklidischeVektorräume 239
1. OrthogonaleMatrizen 239
2. EuklidischeRäume 239
3. SelbstadjungierteOperatoren 240
4. PositivdefiniteMatrizen 245
AnhangA. ProgrammeundUnterlagen 249
1. Mathematica-Programme 249
2. Literatur 249
Anhang. Literaturverzeichnis 251
Teil 1
Vektoren und Matrizen

KAPITEL 1
Geometrie in der Ebene und im Raum
1. Koordinaten
Wirbeschreiben–nacheinerIdeevonRenéDescartes(1596–1650)–jedenPunktin
der Ebene durch ein Paar reeller Zahlen. Die Menge der Paare reeller Zahlen kürzen
wirmitR´R oderR2 ab.
R´R := { x |x Î Rund y Î R}.
y
FürdasPaar x schreibenwirauch(xI,yM).AusderfolgendenSkizzeistersichtlich,wie
y
wirjedenPunkt durch einZahlenpaar(seinekartesischenKoordinaten)beschreiben.
I M
6
-1.5
r 3
3
I M
r 2
1
I M
r 1 x
y
r
x
y
I M
-
I M
0
r -2
I M
2. Vektoren
Wo liegtderPunktC im ParallelogrammABCD, dessenPunkteA,B und Ddurch
A = 1 , B = 7 , D = 3
1 2 4
gegebensind?
I M I M I M
3
4 1.GEOMETRIEINDEREBENEUNDIMRAUM
C =?
6
D = 34(r ((((((((((((((((cid:10)((cid:10)(cid:10)b
(cid:10)
(cid:10)
(cid:10) (cid:10)
I M
(cid:10) (cid:10)
(cid:10) (cid:10)
(cid:10) (cid:10)
(cid:10)(r (cid:10)((cid:10)(cid:10)((((((((((((((((r(cid:10)B = 72
A = 1 I M
1
-
I M
Umvon Anach B zu kommen,müssenwir6 nach rechts und1 nach obengehen.
AB = 7 - 1 = 6 .
2 1 1
Wenn wir von D starten und um Ó6 nach rechts und 1 nach oben gehen, landen wir bei
I M I M I M
C.
C = D+AB = 3 + 6 = 9 .
4 1 5
Wir bemerken, dass wir ein Paar reelÓler Zahlen, wie etwa 6 , verwenden, um zwei
I M I M I M 1
verschiedeneDingezu beschreiben:
I M
ê Den Punkt, der um 6 Längeneinheiten rechts und um 1 Längeneinheit über
demPunkt 0 liegt.
0
ê Den Weg(Vektor)von 1 nach 7 .
1 2
I M
In Mathematicawerden Vektoren alsListendargestellt.
I M I M
In[1]:= a = {1,1};
In[2]:= b = {7,2};
In[3]:= d = {3,4};
In[4]:= ab = b - a
Out[4]= {6,1}
In[5]:= c = d + ab
Out[5]= {9,5}