Lineare Algebra - Mit zahlreichen Anwendungen in Kryptographie, Codierungstheorie, Mathematischer Physik und Stochastischen Prozessen, Zweite Auflage

632 Pages·2010·3.56 MB·German

by  Bertram Huppert

Bertram Huppert | Wolfgang Willems
Lineare Algebra
Bertram Huppert |Wolfgang Willems
Lineare Algebra
Mit zahlreichen Anwendungen in Kryptographie,
Codierungstheorie, Mathematischer Physik und
Stochastischen Prozessen
2., überarbeitete und erweiterte Auflage
STUDIUM
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Prof. em. Dr. Bertram Huppert
Johannes-Gutenberg-Universität Mainz
Fachbereich Mathematik und Informatik
Staudingerweg 7
55099 Mainz
Prof. Dr. Wolfgang Willems
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Fakultät für Mathematik
Institut für Algebra und Geometrie
Universitätsplatz 2
39106 Magdeburg
E-Mail: [email protected]
1. Auflage 2006
2., überarbeitete und erweiterte Auflage 2010
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Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch
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Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-1296-4
R´eduites aux th´eories g´en´erales, les
math´ematiques deviendraient une belle
forme sans contenue, elles mourraient
rapidement.
Lebesgue
Vorwort
Der Stoff der Linearen Algebra besteht aus einem strengen axiomatisch-
algebraischen Begriffsgeb¨aude. Der Anf¨anger hat meist nicht nur Schwierig-
keiten mit der allgemeinen Abstraktheit, sondern er sieht vor allem auch
selten, wozu er all dies lernen soll. Dem entgegenzuwirken, haben wir uns
in dem vorliegenden Buch bemu¨ht, die abstrakte Theorie schrittweise so-
weit wie m¨oglich mit einer Fu¨lle von interessanten Anwendungsbeispielen
aus verschiedenen Bereichen zu beleben. Dies dient nicht nur dem besse-
ren Verstehen der Theorie sondern auch der Motivation, sich mit dem Stoff
auseinanderzusetzen.
Im kurzen Kapitel 1 beschr¨anken wir uns auf einfache Aussagen u¨ber
Mengen und Abbildungen. Wir behandeln jedoch bereits in 1.3 Abz¨ahl-
probleme. Dies entspricht einem gestiegenen Interesse an kombinatorischen
Fragen, nicht zuletzt durch die Informatik ausgel¨ost.
Kapitel2beginntmitderEinfu¨hrungderalgebraischenStrukturenGrup-
pe,RingundK¨orper.Wirbehandelnzun¨achstnurdieeinfachstenAussagen
u¨ber Gruppen, benutzen diese aber bereits hier, um S¨atze der elementaren
Zahlentheorie zu beweisen. Diese finden in 2.3 Anwendung auf das RSA-
Verfahren der Kryptographie (das ist die Lehre der Sicherung von Daten
gegenu¨ber unerlaubten Zugriffen). In 2.4 fu¨hren wir den K¨orper C der kom-
plexen Zahlen ein. Anschließend beweisen wir in 2.5 einfache Eigenschaf-
ten u¨ber endliche K¨orper, die in 3.7 bei der Codierungstheorie (das ist die
Lehre der Sicherung von Daten gegen zuf¨allige St¨orungen) Verwendung fin-
den. Nach der Behandlung zentraler Konzepte der linearen Algebra in 2.7,
n¨amlichBasenundDimensionvonVektorr¨aumen,wendenwirdieseBegriffe
in 2.8 an, um lineare Rekursionsgleichungen zu l¨osen. Einige der Ergebnisse
finden in 3.4 bei Beispielen von stochastischen Matrizen Verwendung.
Kapitel 3 enth¨alt die zentralen Aussagen u¨ber lineare Abbildungen und
Matrizen, einschließlich der Behandlung von linearen Gleichungssystemen
in 3.9. Bereits in 3.4 gehen wir auf eine interessante Anwendung ein, die Be-
handlung von stochastischen Prozessen mit Hilfe stochastischer Matrizen.
Fu¨rProzessemitabsorbierendenZust¨andengelangenwirschonhierzurecht
allgemeinen und abschließenden Resultaten, welche bei Vererbungsproble-
men, Glu¨cksspielen und Irrfahrten Anwendung finden. Unter Ausnutzung
der Ergebnisse u¨ber endliche K¨orper entwickeln wir in 3.7 die Grundzu¨ge
der Codierungstheorie.
viii Vorwort
Im Kapitel 4 erg¨anzen wir zun¨achst die Gruppentheorie um die Begriffe
Homomorphismus und Normalteiler. Dies liefert den natu¨rlichen Hinter-
grund fu¨r das Signum von Permutationen und die Determinante von linea-
ren Abbildungen bzw. Matrizen. In 4.4 finden Fragen u¨ber die Erzeugung
der linearen Gruppe ihren natu¨rlichen Platz. Wir beschließen Kapitel 4 mit
einemAbschnittu¨ber die Graßmann-Algebra, welcher die Kraft universeller
Definitionen zeigt und den Zugang zu weiteren S¨atzen u¨ber Determinanten
liefert.
ImzentralenKapitel5entwickelnwirzuerstGrundbegriffederRingtheo-
rie, wobei wir systematisch vom Idealbegriff Gebrauch machen. Wir behan-
deln in 5.3 die feinere Arithmetik von kommutativen Ringen, wobei wir den
elementaren Begriff des kleinsten gemeinsamen Vielfachen als Ausgangs-
punkt nehmen. Dies fu¨hrt zur Arithmetik des Polynomrings, ausgedru¨ckt
durch die Begriffe kleinstes gemeinsames Vielfaches, gr¨oßter gemeinsamer
Teiler und Primfaktorzerlegung. Damit haben wir das entscheidende Hilfs-
mittelzurHand,umsubtilereAussagenu¨berlineareAbbildungenzubewei-
sen,dievonEigenwerten,DiagonalisierbarkeitundJordanscherNormalform
handeln.
Im Kapitel 6 fu¨hren wir auf Vektorr¨aumen u¨ber R und C Normen ein,
waszuNormenfu¨rlineareAbbildungenundMatrizenfu¨hrt.Dieserlaubtdie
Untersuchung der Konvergenz von Folgen von Matrizen. In 6.3 behandeln
wir die grundlegenden S¨atze von Perron und Frobenius u¨ber nichtnegative
Matrizen.DieseerlaubenwichtigeAnwendungenaufstochastischeMatrizen
und Suchverfahren im Internet (Google). In 6.4 fu¨hren wir die Exponential-
funktion von Matrizen ein, mit deren Hilfe wir Systeme von linearen Diffe-
rentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten l¨osen. Die Natur der in den
L¨osungen auftretenden Funktionen (Exponentialfunktion, Polynome) wird
dabeidurchdieJordanscheNormalformgekl¨art.Schließlichfu¨hrenwirin6.5
die Theorie der stochastischen Matrizen unter Verwendung der Eigenwerte
zu einem Abschluß und behandeln als Anwendung Mischprozesse (Karten-
mischen, Polya’s Urnenmodell).
Das Kapitel 7 beginnt mit Skalarprodukten auf Vektorr¨aumen u¨ber be-
liebigen K¨orpern. In 7.4 studieren wir damit den Dualen eines Codes, be-
weisen den grundlegenden Dualit¨atssatz von MacWilliams und untersuchen
optimaleCodes.Anschließendbehandelnwirin7.5denMinkowskiraumund
seine Isometrien, die Lorentztransformationen. Dies gestattet in 7.6 einen
schnellen Zugang zur Kinematik der speziellen Relativit¨atstheorie von Ein-
stein. Lorentzkontraktion, Einstein’s Zeitdilatation und Einstein’s Additi-
onsgesetz fu¨r Geschwindigkeiten finden hier ihre einfache Erkl¨arung.
Vorwort ix
Gegenstand von Kapitel 8 ist die klassische Theorie der Vektorr¨aume
u¨ber R oder C mit positiv definitem Skalarprodukt. Hier kommen Ergeb-
nisse aus den Kapiteln 6 und 7 zusammen. Das Spektralverhalten von nor-
malen, hermiteschen und unit¨aren Abbildungen steht im Vordergrund. Ein
kurzerAbstecherinVektorr¨aumevonunendlicherDimensionliefertdieHei-
senberg’scheUnsch¨arferelation der Quantentheorie. In 8.5 verbinden wir die
SpektraltheoriederhermiteschenMatrizenmitdenErgebnissenu¨berlineare
Differentialgleichungen aus 6.4, um mechanische Schwingungen zu behan-
deln. Hier wird die technische Bedeutung der Eigenwerte sichtbar.
Im abschließenden Kapitel 9 sind wir mit positiv definitem Skalarpro-
dukt auf R-Vektorr¨aumen bei der klassischen euklidischen Geometrie an-
gekommen. Nach den orthogonalen Abbildungen betrachten wir in 9.2 die
Liealgebra zur orthogonalen Gruppe. In der Dimension drei fu¨hrt dies auf
natu¨rliche Weise zum vektoriellen Produkt. In 9.3 fu¨hren wir den Schiefk¨or-
per der Quaternionen ein und untersuchen mit seiner Hilfe die orthogonalen
GruppenindenDimensionendreiundvier.DerletzteAbschnitt9.4handelt
von den endlichen Drehgruppen in drei Dimensionen, die mit den platoni-
schen K¨orpern eng verbunden sind.
Wirwarenbestrebt,sofru¨hwiem¨oglichAnwendungenderalgebraischen
Theorie zu geben. Diese m¨oglichst vielseitigen Anwendungen dienen einer-
seits der Einu¨bung von Rechentechniken, aber auch zur Erweiterung des
Blickfelds. Beim ersten Studium k¨onnen einige dieser Abschnitte u¨bergan-
gen werden, aber wir glauben, daß sie fu¨r die Motivierung des Lesers eine
große Rolle spielen. Einige dieser Abschnitte k¨onnten auch in Proseminaren
verwendet werden.
Unter der U¨berschrift Ausblick geben wir gelegentlich Informationen an,
die der Leser an dieser Stelle zwar verstehen kann, deren Beweis mit den
vorliegenden Hilfsmitteln jedoch nicht m¨oglich ist. Mitunter handelt es sich
dabei um beru¨hmte S¨atze oder Vermutungen, z.B. u¨ber transzendente Zah-
len, endliche Gruppen oder projektive Ebenen.
BeimerstenAuftretendesNamenseinesbedeutendenMathematikersge-
benwirineinerFußnotekurzeInformationenu¨berLebenszeit,Wirkungsst¨at-
ten und Beitr¨age zur Forschung an.
Die Aufgaben behandeln mitunter Aussagen, welche den Text erg¨anzen.
Im Anhang geben wir zu einigen die L¨osung an.
Wir danken Frau Dipl.-Math. Christiane Behns fu¨r viele Hilfen bei der
Erstellung der Latex-Version des Manuskriptes und Herrn Dipl.-Wirtsch.-
Math. Ralph August fu¨r sein sorgf¨altiges Korrekturlesen.
Limburgerhof, Bertram Huppert
Magdeburg, im Februar 2006 Wolfgang Willems
x Vorwort
Vorwort zur 2. Auflage
Fu¨r die 2. Auflage wurden zahlreiche Korrekturen und mehrere Erweiterun-
gen vorgenommen.
Gu¨nter Pickert, ehemaliger Tu¨binger Kollege des ¨alteren der beiden Au-
toren, hat die 1. Auflage in allen Teilen u¨beraus gru¨ndlich gelesen und
zahlreiche Verbesserungen vorgeschlagen, fu¨r welche ihm die Verfasser zu
gr¨oßtem Dank verpflichtet sind. Neben vielen kleineren fu¨hrte dies zu um-
fangreichen A¨nderungen und Verbesserungen in den Abschnitten 4.5, 5.3,
7.5 und 9.2. Karl Heinrich Hofmann verdanken wir Ratschl¨age zur Neufas-
sung von 6.1 und Aufgaben zu 9.1. Kleinere A¨nderungen erfuhren die Ab-
schnitte 3.4 und 6.5 u¨ber stochastische Matrizen. Der Abschnitt 4.3 wurde
vereinfacht. Schließlich wurde im Abschnitt 7.4 ein codierungstheoretischer
Beweis eines Spezialfalles des Satzes von Bruck und Ryser aufgenommen,
den wir einem Vortrag von Assmus Jr. in Oberwolfach verdanken, und in
8.3 die Polarzerlegung linearer Abbildungen.
Erhebliche inhaltliche Erweiterungen wurden nur an zwei Stellen vorge-
nommen. In 7.3 wird nun der Satz von Witt u¨ber die Fortsetzbarkeit von
Isometrien in voller Allgemeinheit bewiesen. Dies erlaubt mehrere geome-
trische Folgerungen und gestattet eine natu¨rlichere Behandlung des Index.
Schließlich behandelt der neue Abschnitt 8.6 lineare Schwingungen mit Rei-
bung. Dabei liefert die Jordansche Normalform entscheidende Informatio-
nen.
Anmerkungen von Ralph August, Christian Bey, Michael Kr¨atzschmar
und Burkhard Ku¨lshammer zur ersten Auflage haben zu weiteren Verbesse-
rungen des Textes gefu¨hrt. Ihnen allen sei an dieser Stelle herzlich gedankt.
Schließlich danken wir Frau Ulrike Schmickler-Hirzebruch vom Vieweg
+Teubner Verlag fu¨r die angenehme Zusammenarbeit und manch guten
Hinweis bei der Erstellung der zweiten Auflage.
Limburgerhof, Bertram Huppert
Magdeburg, im Februar 2010 Wolfgang Willems
Vorwort xi
Hinweis fu¨r Vorlesungen
DerStoffumfangdesBuchesgehtu¨bereinezweisemestrigevierstu¨ndigeVor-
lesung zur Linearen Algebra hinaus. Je nach Studiengang und Aufbau des
Bacholor-Studiums lassen sich Teile des Buches verwenden.
Das Buch enth¨alt mehrere anwendungsorientierte Abschnitte. Diese ge-
h¨oren nicht zum Standardstoff der Linearen Algebra. Zur Motivierung und
um Querverbindungen zu anderen Gebieten aufzuzeigen, bietet es sich je-
doch an, wahlweise einige dieser Abschnitte in eine Vorlesung aufzunehmen:
Kryptographie: 2.3, 2.8,
Codierungstheorie: 3.7, 7.4
Stochastische Prozesse: 3.4, 6.5
Mathematische Physik: 7.5, 7.6, 8.5, 8.6
Fu¨r das erste Semester sind die Kapitel 1 bis 5 geeignet. In den Kapiteln
2 bis 4 kann nur wenig eingespart werden, nur die Abschnitte 4.4 und 4.5
sind entbehrlich. Im zentralen Kapitel 5 sind der chinesische Restsatz 5.2.10
unddieArithmetikderPolynomringein5.3.17grundlegendfu¨rdiesp¨ateren
Abschnitte. Auf 5.2.13 kann verzichtet werden. Die Jordansche Normalform
in 5.7 ist der zentrale Hauptsatz des ersten Teils der Linearen Algebra.
Fu¨r das zweite Semester k¨onnte folgendes Programm mit Konzentration
auf Vektorr¨aume mit definitem Skalarprodukt in Frage kommen: 6.1, 6.2
(und eventuell 6.4) mit der Topologie normierter Vektorr¨aume, 7.1 und 7.2
mit den ben¨otigten Aussagen u¨ber Skalarprodukte, dann 8.1 bis 8.3 u¨ber
Hilbertr¨aume und hermitesche Abbildungen und schließlich 9.1 u¨ber eukli-
dische Vektorr¨aume. Als Anwendung k¨onnte man 8.5 und 8.6 u¨ber Schwin-
gungen anfu¨gen, falls vorher 6.4 behandelt wurde.
U¨brigens ben¨otigt Kapitel 7 mit Anwendungen auf Codierungstheorie
(7.4) und Relativit¨atstheorie (7.6) keine Resultate aus Kapitel 6.