Lineare Algebra mit dem Computer

287 Pages·1983·7.927 MB·German

by  Eberhard Lehmann (auth.)

Lineare Algebra
mit dem Computer
Von Eberhard Lehmann, Berlin
Mit 181 Aufgaben und 76 Figuren
83
B. G. Teubner Stultgart 1983
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Lehmann, Eberhard:
Lineare Algebra mit dem Computer / von
Eberhard Lehmann. - Stuttgart : Teubner, 1983
(MikroComputer-Praxis)
ISBN 978-3-519-02511-5 ISBN 978-3-663-01326-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-01326-6
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© B. G. Teubner, Stuttgart 1983
Gesamtherstellung: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstraße
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
VORWORT
Lineare Algebra gehört zu den Grundvorlesungen an Universitäten
und Fachhochschulen und ist ein Standardkurs in der gymnasialen
Oberstufe. Uber die Kursinhalte herrscht zur Zeit weitgehende Un
zufriedenheit. Diese gründet sich u.a. auf eine zu frühe und oft
übertriebene Behandlung von Vektorräumen, sture Rechnerei (etwa
bei der Lösung linearer Gleichungssysteme) und fehlenden Reali
tätsbezug. Angesichts dieser Situation wird mit diesem Buch der
Versuch gemacht, neue Wege zu gehen:
llL Die Lineare Algebra wird konsequent aus problemorientierten,
realitätsnahen Ansätzen heraus entwickelt.
~ Durchgehendes Hilfsmittel ist der Matrizenkalkül.
ilL Zu zahlreichen Algorithmen werden graphische Darstellungen
(Struktogramme) und PASCAL-Programme angegeben, so daß ein geziel
ter Computereinsatz möglich wird.
l!L Dabei wird nicht nur gezeigt, wie der Computer als Rechen
hilfsmittel eingesetzt werden kann. Seine Verwendung führt auch zu
neuen methodischen Ansätzen und Fragestellungen abseits der bishe
rigen Routineaufgaben, indem z.B. mit unterschiedlichen Datensät
zen experimentiert wird.
l2l
Die frühzeitige Bereitstellung eines Pakets von Matrizenproze
duren mit Parameterübergaben ermöglicht auch einem im Programmie
ren ungeübten Leser einfache Problemlösungen am Rechner. Wieweit
dabei die Prozeduren vom Leser (Schüler im Unterricht) selbst er
arbeitet werden, bleibt ihm selbst überlassen. Sie können ebenso
gut auch als "black-box" benutzt werden.
(6) An den nach dem Konzept (1) abgefaßten Lehrgang schließen sich
Fallstudien unterschiedlichen Schwierigkeitsgrads an, die an ge
eigneten Stellen des Lehrgangs nach Bedarf eingeschoben werden
können.
J2l
Die Darstellung der Eigenwerttheorie-Grundlagen und der Anwen
dungen von Eigenwerten in den Fallstudien ist so angelegt, daß ei
ne Behandlung auch in der Schule möglich wird.
~ Auch bei Vernachlässigung des Computereinsatzes findet der Le
ser einen in sich abgeschlossenen Lehrgang zur Linearen Algebra
vor, der wegen (1), (2), (6), (7) neue Ansätze bietet.
4
Ohnehin kann z.B. im Unterricht nicht daran gedacht werden, alle
angegebenen Programme einzusetzen. Vielmehr kann gezielt ausge
wählt werden, wobei allerdings einige Standardalgorithmen (etwa
Matrizenmultiplikation, Lösung linearer Gleichungssysteme, Matri
zenpotenz) nicht fehlen sollten. Oft wird bereits der Taschenrech
nereinsatz ausreichen.
Schließlich sei bemerkt, daß die im Buch vorgelegten Inhalte aus
der praktischen Arbeit in der gymnasialen Oberstufe erwachsen und
somit erprobt sind. Hiermit ist zugleich ein Hinweis an Lehrer ver
bunden, die das vorgelegte Konzept erproben wollen: Eine Erfüllung
des Stoffplans ist oft auch durch Umstellung von Inhalten und ge
eignete Interpretation der Planvorgaben möglich!
Aus den Ausführungen geht der Adressatenkreis des Buches hervor:
1) Schüler und Lehrer der gymnasialen Oberstufe,
2) Studenten an Universitäten und Fachhochschulen, die den oft
trockenen Lehrstoff in Anfängervorlesungen zur Linearen Algebra
durch interessante, motivierende Anwendungen und Computereinsatz
ergänzen und so zu einem vertieften Verständnis kommen wollen,
3) Dozenten und Fachdidaktiker.
Berlin, Dezember 1982 Eberhard Lehmann
5
INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort 3
Inhaltsverzeichnis 5
Ubersichten: Algorithmen, Fallstudien, Beispiellehrgänge 7
L EHR G A N G 11-183
1. Grundlegende Matrizenverknüofungen 11
1.1 Materialverflechtung 1 11
1.2 Experimente mit Matrizenprodukten 26
1.3 Materialverflechtung 2 31
1.4 Weitere Matrizenverknüpfungen, -prozeduren, -funktionen 35
1.5 Gesetze für das Rechnen mit Matrizen 42
1.6 Vektoren als spezielle Matrizen 45
2. Matrizeninversion 50
2.1 Input-Output-Analyse 50
2.2 Berechnung der Inversen mit dem Verfahren von Faddejev 57
2.3 Herleitung des Austauschverfahrens 64
3. Lineare Gleichungssvsteme (LGS) 77
3.1 Anwendungsbeispiele für LGS 77
3.2 Lösung von LGS mit dem Austauschverfahren 80
3.3 Lösung von LGS mit dem Eliminationsverfahren von Gauß 93
4. Analytische Geometrie 104
4.1 Grundlegende Bemerkungen 104
4.2 Paarweiser Abstand von n Punkten im R2 und ~3 105
4.3 Vektoren im R2 und R3 109
4.4 Das Skalarprodukt zweier Vektoren, Winkelberechnung 114
4.5 Prozeduren zur Vektorrechnung (Teil 1) 117
4.6 Kugel- und Kreisgleichungen, Geraden 120
4.7 Ebenengleichungen 124
4.8 Prozeduren zur Vektorrechnung (Teil 2) 129
4.9 Weitere Abstandsberechnungen 130
6
5. Vektorräume 136
5.1 Begriff des Vektorraums 136
5.2 Linearkombinationen 137
5.3 Basis, Basiswechsel 140
5.4 Lösungsmengen homogener und inhomogener LGS 147
5.5 Verschiedene Deutungen linearer Gleichungssysteme 150
6. Matrizenpotenzen 153
6.1 Kaufverhalten 153
6.2 Grenzwert einer Folge von Matrizenpotenzen 163
6.3 Stationäre Verteilung 165
7. Grundlagen aus der Eigenwerttheorie 167
7.1 Entwicklung eines Lebewesens (charakteristisches Polynom
einer Matrix) 167
7.2 Berechnung von Eigenwerten mit Hilfe von Matrizenpotenzen 175
7.3 Erläuterungen zu den Verfahren aus 7.1,7.2 180
F ALL S T U DIE N 184-279
Allgemeine Bemerkungen zur Modellbildung 184
8. Populationsdvnamik 1 186
8.1 Käferpopulation 186
8.2 Management einer Rinderherde 188
9. Das Stlicklistenproblem 199
10. Abrechnungsmatrizen 204
10.1 Skatspielabrechnung 204
10.2 Eigenschaften von Abrechnungsmatrizen 206
10.3 Geometrische Deutung 210
11. Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme 215
12. Einige Probleme bei der Lösung linearer Gleichungssysteme
mit dem Computer 223
7
13. Elementare Anwendungen der Eigenwerttheorie 228
13.1 Populationsdynamik 2 228
13.2 Berechnung von Matrizenpotenzen 232
13.3 Ein Problem aus der Abbildungsgeometrie 236
14. Markow-Ketten 241
14.1 Bevölkerungsbewegungen (Grundbegriffe) 241
14.2 Warteschlangen (Markow-Ketten mit mehr als 2 Zuständen) 249
14.3 Irrfahrten (absorbierende Markow-Ketten) 259
14.4 Zusammenfassung, Ubungsaufgaben 271
Anhang: Grundbegriffe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung 278
Literaturverzeichnis 280
Sachverzeichnis 282
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UBERSICHT UBER DIE VERWENDETEN ALGORITHMEN
Alg Seite Name, Funktion
1 15 MATRIXEINGEBEN: Eingabe einer (m,n)-Matrix, Elemente als
Bruch oder Dezimalzahl,
16 MATRIXAENDERN : Änderungsmöglichkeiten an einer eingege
benen Matrix.
2 21 MATPROD: Berechnet das Produkt zweier Matrizen.
3 22 MATRIXAUSGEBEN: Ausgabe einer (m,n)-Matrix.
4 23 AUSGABEFORMAT: Bestimmt das Ausgabeformat einer Matrix.
5 24 MATERIALVERFLECHTUNG1: Bearbeitet Materialverflechtungen.
6 26 MULTEXPERIMENTE: Führt Experimente mit dem Produkt zwei
er Matrizen durch.
7 32 MATSUM: Bildet die Summe zweier (m,n)-Matrizen.
8 33 MATERIALVERFLECHTUNG2: Bearbeitet Materialverflechtungen.
9 37 MATGLEICH: Uberprüft, ob zwei Matrizen gleich sind.
10 37 EINHEITSMATRIX: Erzeugt eine Einheitsmatrix vom Grad n.
11 37 MATINITIAL: Setzt alle Elemente einer .1'1atrix auf einen
wählbaren Wert.
12 38 MATDIF: Bildet die Differenz zweier 1'1atrizen.
13 38 RMALMAT: .Multipliziert eine Matrix mit einer Zahl.
14 38 MATTRANSP: Transponiert eine (m,n)-Matrix.
15 39 .MATSPUR: Ermittelt die Spur einer Matrix.
8
Alg Seite Name, Funktion
16 59 MATINV: Ermittelt die Inverse einer Matrix.
17 60 INPUTOUTPUTANALYSE: Bestimmt den gesamtwirtschaftlichen
Produktionsvektor.
18 70 EINAUSTAUSCH: FUhrt einzelne Austauschschritte,z.B. bei
der Matrizeninversion oder Lösung eines LGS durch.
19 83 LGSKURZ: Löst lineare Gleichungssysteme.
20 96 GAUSSELIMINATION: Löst lineare Gleichungssysteme.
21 107 PUNKTABSTAENDE: Berechnet den paarweisen Abstand vieler
Punkte.
22 117 VPROZ: Prozeduren zur Vektorrechnung (Analytische Geome-
trie) •
23 118 AGTEST: Beispielprogramm zur Verwendung von Alg 22.
24 129 VPROZ2: Weitere Prozeduren zur Vektorrechnung.
25 131 ABSTANDPUNKTGERADE: Ermittelt näherungsweise den Abstand
eines Punktes von einer Geraden im R3•
26 155 MATPOT: Berechnet Potenzen einer ~atrix.
27 155 KAUFVERHALTEN: Hilft beim Analysieren des Kaufverhaltens.
28 156 MATPOTENZ: Berechnet Potenzen und Potenzenquotienten ei
ner ~atrix sowie Verteilungsvektoren.
29 173 FADDEJEVMIT: Bestimmt die Inverse einer Matrix A, das
charakteristische Polynom von A und die Determinante
von A.
30 193 HERDENGROESSE: Ermittelt die Größe einer Herde in Abhän
gigkeit von verschiedenen Parametern.
31 203 ADDPOTENZEN: Addiert Matrizenpotenzen.
32 218 LGSITERATION: Löst gewisse lineare Gleichungssysteme
durch Iteration.
33 225 MATILLCONDITIONED: Stellt fest, ob ein LGS schlecht kon
ditioniert ist.
34 268 MATMARKOW: Untersucht alle Arten von endlichen homogenen
Markow-Ketten (vergl. Bemerkung 5.267 oben und S. 268 oben) .
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UBERSICHT UBER DIE FALLSTUDIEN (KURZBESCHREIBUNG)
8. Populationsdvnamik 1
8.1 Am Beispiel der Entwicklung einer Käferpopulation werden
Grundbegriffe der Populationsdynamik entwickelt (Matrizenpo
tenzen, Verteilungen, ohne Eigenwerte) •
8.2 Es wird ein Modell erarbeitet, das Zusammenhänge über Herden
struktur, Herdengröße, Ertrag und Fortpflanzungeiner Rinder
herde vermittelt (Matrizenpotenzen, Summen, Verteilungen, In
verse) •
9. Stücklisten
Interne und externe Nachfrage regeln den Einkauf. Durch Dar
stellung des Problems mit Hilfe einer technologischen Matrix
gelingt die Berechnung des Produktionsvektors auf einfache
Weise (Matrizenpotenzen, Summen, Inverse).
10. Abrechnungsmatrizen
10.1 Es wird ein einfaches Verfahren zur Abrechnung von Skat runden
dargestellt (Multiplikation von Matrizen).
10.2 Die in 10.1 verwendeten Abrechnungsmatrizen haben spezielle
Eigenschaften (Vektorraum, Eigenwerte).
10.3 Die Skatspielabrechnung aus 10.1 wird geometrisch mit Hilfs
mitteln der Analytischen Geometrie gedeutet (Geraden, Ebenen).
11. Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme
Nach den in Kapitel 3 dargestellten exakten Verfahren wird nun
mit dem Jakobi-Verfahren ein Näherungsverfahren zur Lösung von
LGS vorgestellt (Matrizenmultiplikation, Summe, Inverse).
12. Einige Probleme bei der Lösung linearer Gleichungssysteme mit
dem Computer
Die Lösung eines LGS kann durch ungünstige Pivotwahl und durch
fast linear abhängige Spalten wesentlich beeinflußt werden!
13. Elementare Anwendungen der Eigenwerttheorie
13.1 Ergänzend zu Fallstudie 8.1 wird gezeigt, wie sich die Ent
wicklung einer Population m.H. von Eigenwerten erfassen läßt.
13.2 Die Eigenwerttheorie ermöglicht in vielen Fällen die Bestim
mung einer Formel für die n-te Potenz einer .Matrix.
13.3 Ein Quadrat wird mit einer stochastischen Matrix abgebildet
und geht schließlich in eine Strecke über.
10
14. Markow-Ketten
Kaufverhalten, Bevölkerungsbewegungen, Warteschlangen, Irr
fahrten und 'Glücksspiele sind einige Anwendungsbereiche von
Markow-Ketten. In 14.1,14.2 wird mit Eigenwerten gearbeitet,
jedoch kommt man auch ohne diese zu den wichtigsten Ergebnis
sen. In 14.3 werden absorbierende Ketten behandelt. 14.4
bringt übersichtliche Zusammenfassungen (Matrizenpotenzen,
Verteilungsvektoren, Grenzwerte von Matrizenfolgen, LGS, In
verse). Die benötigten Voraussetzungen aus der Wahrscheinlich
keitsrechnung sind gering. Einige Grundbegriffe werden im An
hang zusammengestellt.
Hinweise auf weitere geeignete Fallstudien
- AnwendungvonMatrizen bei der Beschreibung und Auswertung von
((2], Q1],
Graphen ~4], ~51)
- Lineare Optimierung ((9], Q1 ], D9 ] )
D
- Berechnung von Netzwerken ([7], 4] , [21] )
Codierungsprobleme ([7], ~ 4] )
([3])
- Affine Abbildungen
([3], D4 ] )
- Strukturbetrachtungen an Matrizen
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
EINIGE BEISPIELLEHRGÄNGE FUR DIE GYMNASIALE OBERSTUFE
& 1.1 - 1.2 - 1.3 - 3.1 - 3.3 - 2.1 - 4. - 5.,
erfüllt den Berliner Rahmenplan (Leistungskurs MA-3, Lineare
Algebra und Analytische Geometrie) ,
!;:l1.1 - 1.3 - 1.4 - 1.5 - 3.1 - 3.3 - 2.1 - 6.1 - 6.2 - 6.3 -
8.1 - 8.2 - 5.1 - 5.2 - 5.3,
Schwerpunkt Potenzen, Populationsdynamik, ohne Geometrie,
~ 3.1 - 3.3 - 4. - 1.1 - 1.2 - 10.1 - 5.1 - 5.2 - 5.3 - 10.2 -
10.3,
Schwerpunkt Geometrie,
~ 1.1 - 1.3 - 3.1 - 3.3 - 6.1 - 6.2 - 6.3 - 7.1 - 7.2 - 8.1 -
13.1 - 14.1 - 14.2,
Eigenwerte, Schwerpunkt Populationsdynamik, Markow-Ketten
~ 1. - 2. - 3. - 6. - 11. - 12.,
Schwerpunkte Matrizen, lineare Gleichungssysteme.