Lineare Algebra II: Aufbaukurs, SS 2006 [Lecture notes]

31 Pages·2008·0.239 MB·German

by  Annette Werner

SkriptzurVorlesung
Lineare Algebra II
Aufbaukurs
Sommersemester 2006
(dreistu¨ndig)
Prof.Dr.AnnetteWerner
Inhaltsverzeichnis
7 AffineRa¨ume 1
8 ProjektiveRa¨ume 12
9 Kegelschnitte 21
7 Affine Ra¨ume
Betrachten wir die Ebene R2 als Vektorraum, so ko¨nnen wir jedes x = (cid:0)a(cid:1) ∈ R2 als
b
Punkt eintragen. Die Addition von Vektoren x,y ∈ R2 la¨sst sich geometrisch dar-
stellen,indemmandiePunktexundy mit0verbindetundeinParallelogrammein-
zeichnet.Daskannmanauchsobeschreiben,dassmanymit0verbindetunddieses
Geradenstu¨ckparallelanxverschiebt.
Wir bezeichnen jetzt mit A2 die Ebene, in der wir den Nullpunkt vergessen“ (eine
”
formale Definition folgt spa¨ter). Dann ko¨nnen wir immer noch ein x ∈ A2 und ein
y ∈R2aufdieseWeiseaddieren.Daswollenwirjetztformalisierenunduntersuchen.
Dazubrauchenwirzuna¨chstfolgendeDefinition.
Definition7.1 EsseiGeineGruppemitVerknu¨pfung◦undneutralemElement.Fer-
nerseiM eineMenge.EineAbbildung
G×M → M
(g,m) 7→ g∗m
heißtOperationvonGaufM,fallsgilt
i) (g ◦g )∗m=g ∗(g ∗m)fu¨ralleg ,g ∈Gundm∈M
1 2 1 2 1 2
ii) e∗m=m.
Beispiel1:
i) DieAbbildung
GL (K)×Kn → Kn
n
(A,v) 7→ Av
isteineOperationvonGL (K)aufKn.
n
ii) Wir bezeichnen mit GL(V) die Menge der Automorphismen von V, d.h. die
Menge der Isomorphismen f : V → V. GL(V) bildet eine Gruppe bezu¨glich
derKomposition◦mitneutralemElementid.Danndefiniert
GL(V)×V → V
(f,v) 7→ f(v)
eineOperationvonGL(V)aufV.
Seite1
iii) SeiG=S dieGruppederPermutationenvon{1,...,n}.Dannwirddurch
n
S ×{1,...,n} → {1,...,n}
n
(σ,j) 7→ σ(j)
eineOperationvonS auf{1,...,n}definiert.
n
iv) SeiV einVektorraum.DannoperiertdieGruppeV aufderMengeV vermo¨ge
V ×V → V
(v,x) 7→ v+x.
Definition7.2 GoperiereaufderMengeM.Seim∈M.DieTeilmenge
G∗m:={g∗m:g ∈G}
vonM heißtBahnvonmunterG.
Beispiel2:
i) ImBeispiel1,i)istdieBahnder0geradeGL (K)∗0={0}.
n
Fu¨rjedesv 6=0inKnistdieBahn
GL (K)∗v =Kn.
n
ii) ImBeispiel1,iii)istfu¨rjedesk ={1,...,n}dieBahnS ∗k ={1,...,n}.
n
iii) ImBeispiel1,iv)istfu¨rjedesv ∈V dieBahnv+V =V.
Definition7.3 DieOperationG×M →M heißttransitiv,wennesfu¨rallem ,m ∈
1 2
M eing ∈ Gmitg∗m = m gibt.Fallsesfu¨rallem ,m ∈ M genaueing ∈ Gmit
1 2 1 2
g∗m =m gibt,soheißtdieOperationeinfachtransitiv.
1 2
Lemma7.4 i) GoperiertgenaudanntransitivaufM,wennfu¨rjedesm∈M gilt
G∗m=M.
ii) GoperiertgenaudanneinfachtransitivaufM,wennfu¨rallem∈M dieAbbil-
dung
G → M
g 7→ g∗m
bijektivist.
Seite2
Beweis:
i) GoperiertgenaudanntransitivaufM,wennesfu¨rallem∈M zujedemn∈M
eingmitg∗m=ngibt.Dasista¨quivalentzuG∗m=M fu¨rallem.
ii) G operiert genau dann einfach transitiv auf M, wenn es fu¨r alle m ∈ M zu
jedemn ∈ N eineindeutigbestimmtesg ∈ Gmitg∗m = ngibt.Dasbedeutet
gerade,dassfu¨rallemdieAbbildungg 7→g∗meineBijektionG→M liefert.
(cid:3)
Beispiel3:
i) InBeispiel1,i)operiertGL (K)nichttransitivaufKn,daGL (K)∗0={0}ist.
n n
ii) Analogsiehtman,dassinBeispiel1,ii)dieGruppeGL(V)nichttransitivaufV
operiert.
iii) In Beispiel 1, iii) operiert S transitiv auf {1,...,n}, da wir schon gesehen ha-
n
ben,dassalleBahnengleich{1,...,n}sind.Fu¨rn≥3istdieseOperationjedoch
nichteinfachtransitiv,denn|S |=n!>n.Daherkann
n
S → {1,...,n}
n
σ 7→ σ(k)
fu¨rkeink ∈{1,...,n}eineBijektionsein.
iv) InBeispiel1,iv)operiertV transitivaufV,denn
V → V
v 7→ v+x
istfu¨rallex∈V eineBijektion(mitUmkehrabbildungw 7→w−x).
Definition7.5 GoperiereaufderMengeM.Fu¨rallem∈M heißt
G ={g ∈G:g∗m=m}
m
derStabilisatorvonm∈G.
Offenbariste ∈ G undmitg undg liegtauchg−1 undg ◦g inG .AlsoistG
m 1 2 1 1 2 m m
eineUntergruppevonG.
Lemma7.6 EinetransitiveOperationderGruppeGaufderMengeM istgenaudann
einfachtransitiv,wennfu¨rallem∈M derStabilisatorG ={e}ist.
m
Seite3
Beweis:Seim∈M beliebig.DieAbbildung
G → M
g 7→ g∗m
istsurjektiv,daGtransitivaufM operiert.Esgiltg∗m = h∗mgenaudann,wenn
(g−1h)∗m=mist,alsogenaudann,wenng−1h∈G ist.
m
AlsoistdieAbbildungg 7→g∗mgenaudanninjektiv,wennG ={e}ist. (cid:3)
m
WirwollennundieSituationausBeispiel1,iv)na¨heruntersuchen.Abjetztbezeichne
V immereinenn-dimensionalenK-Vektorraum.
Definition7.7 EineMengeM,aufderdieGruppeV (bezu¨glich+)einfachtransitiv
operiert,heißtaffinerRaummitzugeho¨rigemVektorraumV.
InBeispiel1,iv)habenwirgesehen,dassV zusammenmitderOperation
V ×V → V
(v,x) 7→ v+x
einaffinerRaummitzugeho¨rigemVektorraumV ist.
Lemma7.8 SindM undM affineRa¨umemitzugeho¨rigemVektorraumV,sogibt
1 2
eseineBijektionM →M .
1 2
Beweis:NachLemma7.4gibtesBijektionenα : V → M undβ : V → M .Alsoist
1 2
β◦α−1 :M →M eineBijektion. (cid:3)
1 2
DawirabjetztnurnochdieGruppeV operierenlassen,schreibenwir+fu¨rdieVer-
knu¨pfung ◦ und 0 fu¨r das neutrale Element e. Wir bezeichnen einen affinen Raum
mitzugeho¨rigemVektorraumV alsA(V).DieElementevonA(V)nennenwirPunk-
te.DieeinfachtransitiveOperation
V ×A(V)→A(V)
zueinemaffinenRaumbezeichnenwirstattmit∗vonjetztanmit+,alsoals(v,x)7→
v+x.
FixierenwireinenPunktx∈A(V),soistdieAbbildung
V → A(V)
v 7→ v+x
Seite4
bijektiv. Wir bezeichnen die Umkehrabbildung mit v : A(V) → V. Anders ausge-
x
dru¨ckt:Fu¨ralley ∈ A(V)istderVektorv (y) ∈ V daseindeutigbestimmteElement
x
inV mit
y =v (y)+x.
x
ImSpezialfallV =Knschreibenwir
An(K)=A(Kn)
undnennendiesenRaumdenn-dimensionalenaffinenRaumu¨berK.
Lemma7.9 Es sei A(V) ein affiner Raum mit zugeho¨rigem Vektorraum V, und es
seienx,y,z ∈A(V).
Danngilt
v (z)=v (y)+v (z).
x x y
Beweis:Definitionsgema¨ßgilt
y = v (y)+xsowie
x
z = v (z)+y,
y
alsofolgt
(v (y)+v (z))+x = v (z)+(v (y)+x)
x y y x
= v (z)+y
y
= z,
worausv (z)=v (y)+v (z)folgt. (cid:3)
x x y
Definition7.10 Wir definieren die Dimension eines affinen K-Vektorraums A(V)
mitzugeho¨rigemVektorraumV als
dimA(V):=dimV.
Mit dieser Definition gilt dimAn(K) = dimKn = n, so dass die Bezeichnung n-
”
dimensionaleraffinerRaum“ sinnvollist.
AbjetztseiimmerA(V)einaffinerRaummitzugeho¨rigemVektorraumV.
Definition7.11 Eine nicht-leere Teilmenge M ⊂ A(V) heißt affiner Unterraum von
A(V),fallseinPunktx∈M undeinUnterraumW ⊂V existierenmit
M =W +x={w+x:w ∈W}.
Seite5
Lemma7.12 Ein affiner Unterraum M = W +x von A(V) ist ein affiner Raum mit
zugeho¨rigemVektorraumW.
Beweis:Wirmu¨ssenzeigen,dassW einfachtransitivaufM operiert.Wirschra¨nken
dazudieeinfachtransitiveOperationV ×A(V) → A(V)aufW ×M ein.Istw0 ∈ W
undw+x∈M,soist
w0+(w+x)=(w0+w)+x∈W +x.
AlsoerhaltenwirsoeineOperation
W ×M →M.
Dieseistebenfallseinfachtransitiv.Sindm = w +xundm = w +xElementein
1 1 2 2
M,soist(w −w )+m =m .Daherexistierteinw ∈W (na¨mlichw =w −w )mit
2 1 1 2 2 1
w+m =m .DiesesElementisteindeutigbestimmt,daV einfachtransitivaufA(V)
1 2
operiert. (cid:3)
Ist M = W + x ein affiner Unterraum, so ist der lineare Unterraum W ⊂ V als
Bild von M unter der Abbildung v : A(V) → V eindeutig bestimmt. Offenbar ist
x
M =W +x=W +yfu¨ralley ∈M.
Man u¨berlegt sich leicht, dass eine Teilmenge M ⊂ A(V) genau dann ein affiner
Unterraum ist, wenn fu¨r ein x ∈ M das Bild v (M) ⊂ V ein Unterraum ist. Ist M
x
ein affiner Unterraum der Dimension 0,1 bzw. 2 von A(V), so nennen wir M einen
affinenPunkt,eineaffineGeradebzw.eineaffineEbeneinA(V).
Definition7.13 Seienx,y zweiPunkteinA(V).Istx 6= y,sodefiniertdervonv (y)
x
erzeugteUnterraumhv (y)i⊂V einenaffinenUnterraum
x
L(x,y)=hv (y)i+x.
x
DieserheißtaffineGeradedurchxundy.Definitionsgema¨ßisty =x+v (y).Wegen
x
v (y)=−v (x)(pru¨fenSiedas!)folgtalso
x y
hv (y)i+x = hv (y)i+y
x x
= hv (x)i+y.
y
DieseDefinitionha¨ngtalsonichtvonderReihenfolgevonxundyab.
Beispiel:ImAn(R)istL(x,y)={λx+µy :λ+µ=1}.
Seite6
Im Gegensatz zu linearen Unterra¨umen von Vektorra¨umen, die alle 0 enthalten,
ko¨nnen affine Unterra¨ume auch disjunkt sein: Es sei W ein eindimensionaler Un-
tervektorraumdesR2.BetrachtenwirzweiPunktex,yinA2(R)=R2mitx∈W und
y 6∈ W,soistx+W ∩y+W = ∅.Ansonstenmu¨sstena¨mlichx+w = y+w mit
1 2
w ,w ∈W gelten,worausy ∈W folgte.
1 2 2
Allgemeingiltfu¨raffineUnterra¨umeM ,M vonA(V)zuVektorra¨umenW ,W :
1 2 1 2
M ∩M 6=∅⇔ fu¨rallex ∈M ,x ∈M istv (x )∈W +W .
1 2 1 1 2 2 x1 2 1 2
Istna¨mlichx ∈ M ∩M ,soschreibenwirx = x +v (x) ∈ M fu¨ri = 1,2,woraus
1 2 i xi i
v (x)∈W folgt.MitLemma7.9folgt
xi i
v (x ) = v (x)+v (x )
x1 2 x1 x 2
= v (x)−v (x)∈W +W .
x1 x2 1 2
Istumgekehrtv (x )=w +w ∈W +W ,soist
x1 2 1 2 1 2
x −w = x +v (x )−w
2 2 1 x1 2 2
= x +w ∈M ∩M .
1 1 1 2
Manzeigtleicht,dassfu¨raffineUnterra¨ume(M ) mitVektorra¨umen(W ) der
i i∈I i i∈I
Schnitt
\
M
i
i∈I
entweder∅oderwiedereinaffinerUnterraumvonA(V)mitVektorraum T W ist.
i
i∈I
(Pru¨fenSiedas!)
Definition7.14 Fu¨r eine Teilmenge ∅ 6= N ⊂ A(V) definieren wir die affine Hu¨lle
vonN als
\
hNi = M,
aff
M⊂A(V)aff.UR
N⊂M
wobeiderSchnittu¨beralleaffinenUnterra¨umeM ⊂A(V)la¨uft,dieN enthalten.Die
affineHu¨llehNi ist∅odereinaffinerUnterraumvonA(V).
aff
Wirsetzenzusa¨tzlichh∅i =∅.
aff
Sind M und M affine Unterra¨ume von A(V) mit zugeho¨rigen Vektorra¨umen W
1 2 1
undW ,sobezeichnenwirmithM ,M i =hM ∪M i dieaffineHu¨llevonM ∪
2 1 2 aff 1 2 aff 1
M .
2
Seite7
Seix ∈ M undx ∈ M .DannisthM ,M i = (W +W +hv (x )i)+x .Um
1 1 2 2 1 2 aff 1 2 x1 2 1
dies zu zeigen, mu¨ssen wir nachweisen, dass der affine Unterraum auf der rechten
SeiteinjedemaffinenUnterraumW +xenthaltenist,derM undM entha¨lt.Inder
1 2
Tat,ausM ∪M ⊂W +xfolgtW ⊂W undW ⊂W.
1 2 1 2
Satz7.15(affineDimensionsformel)
i) IstM ∩M 6=∅,sogilt
1 2
dim hM ,M i =dim M +dim M −dim (M ∩M )
K 1 2 aff K 1 K 2 K 1 2
.
ii) IstM ∩M =∅,sogilt
1 2
dim hM ,M i =dim M +dim M +1−dim (M ∩M )
K 1 2 aff K 1 K 2 K 1 2
Beweis:
Seix ∈M undx ∈M .
1 1 2 2
i) IstM ∩M 6=∅,soisthv (x )i⊂W +W ,alsohM ,M i =(W +W )+x .
1 2 x1 2 1 2 1 2 aff 1 2 1
DaM ∩M einaffinerRaummitzugeho¨rigemVektorraumW ∩W ist,folgt
1 2 1 2
dieBehauptungausderDimensionsformelfu¨rlineareUnterra¨ume.
ii) IstM ∩M = ∅,soisthv (x ) 6⊂ W +W ,d.h.dim(hv (x )i+W +W ) =
1 2 x1 2 1 2 x1 2 1 2
1+dim(W +W ).WiederfolgtdieBehauptungmitderDimensionsformelfu¨r
1 2
lineareUnterra¨ume.
(cid:3)
Definition7.16
i) Zwei affine Unterra¨ume M ,M von A(V) mit zugeho¨rigen Vektorra¨umen
1 2
W ,W heißenparallel(M ||M ),fallsW =W gilt.
1 2 1 2 1 2
ii) M undM heißenschwachparallel(M M ),fallsW ⊂W gilt.Mankann
1 2 1 2 1 2
alsodieOperationvonV aufA(V)auchal(cid:1)s Parallelverschiebung“ verstehen.
”
Proposition7.17 Seien M ,M affine Unterra¨ume von A(V) mit Vektorra¨umen
1 2
W ,W .
1 2
i) IstM ||M ,soistM =M oderM ∩M =∅.
1 2 1 2 1 2
Seite8