Lineare Algebra I und II

185 Pages·2015·1.62 MB·German

Lineare Algebra I und II
Skript zur Vorlesung von Prof. Dr. Carl-Friedrich Bödigheimer
Wintersemester 2014/2015, Sommersemester 2015
Stand: 27. Juli 2015
Hinweis:
Im Sommersemester (ab etwa Kapitel 5) wird dieses Skript erstellt von Jürgen Kanzler.
Fehler, Korrekturen oder sonstige Anmerkungen zum Skript können gern an [email protected] ge-
schickt werden.
Inhaltsverzeichnis
0 Warum und zu welchem Ende studieren wir Lineare Algebra? 7
1 Gleichungssysteme 16
1.1 Rechnen im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.1 Algebraische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.2 Geometrische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.4 Struktur der Lösungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.5 Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Körper und Vektorräume 22
2.1 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1 Körperaxiome und Unterkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.3 Endliche Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4 Inverse in F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
p
2.1.5 Charakteristik eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Vektorraumaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2 Unterraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3 Körperwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Morphismen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Basen und Dimension 32
3.1 Erzeugendensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Prinzip der linearen Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.7 Isomorphieinvarianten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Matrizen 49
4.1 Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Matrizen und lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 Basiswechsel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Spaltenumformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6 Normalformen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Gruppen 63
5.1 Symmetrische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2 Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.1 Vorwärtsschicken/ Rückwärtsschicken von Gruppenstrukturen . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.2 Einige wichtige Isomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4 Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5 Direkte Summen von Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5.1 Externe direkte Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.5.2 Interne direkte Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6 Quotientenvektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3
Inhaltsverzeichnis
5.7 Normale Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.8 Quotientengruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 Determinanten 85
6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Axiomatische Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.1 Einige Berechnungen für normierte Determinantenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.2 Multilineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 Leibniz-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4 Determinante für Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.5 Spur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.6 Cramersche Regel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.7 Laplacescher Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.8 Adjunkte einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.9 Spezielle lineare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.10 Orientierung reeller Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.11 Volumenmessung im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.12 Unterdeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 Eigenwerte und Eigenvektoren 106
7.1 Invariante Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.2 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3 Charakteristisches Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.4 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.5 Trigonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8 Ringe 120
8.1 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.2 Unterringe und Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.3 Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.3.1 Einsetzen in Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.3.2 Division mit Rest in Polynomringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.4 Symmetrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.5 Anwendung I: Vielfachheit von Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.6 Anwendung II: Satz von Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.7 Anwendung III: Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.8 Quotientenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9 Normalformen 134
9.1 Normalformenprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.2 Nilpotente Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3 Hauptraumzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.4 Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10 Skalarprodukte 149
10.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2.1 Darstellung einer Bilinearform durch eine Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.2.2 Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.2.3 Nicht-ausgeartete Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.3 Dualraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.4 Euklidische Vektorräume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.5 Skalarprodukte, Normen, Metriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.6 Orthogonale Komplemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.7 Hilbert-Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.8 Unitäre Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.9 Orthogonale und unitäre Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4
Inhaltsverzeichnis
11 Hauptachsentransformation 173
11.1 Symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11.2 Adjungierte Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.3 Normale Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
11.4 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Stichwortverzeichnis 183
5
Inhaltsverzeichnis
Überblick
1. Lineare Gleichungssysteme
2. Vektorräume (und Körper)
3. Basen, Dimensionen, lineare Unabhängigkeit
4. Lineare Abbildungen und Matrizen
5. Gruppen, Ringe und Algebren
6. Determinanten
7. Eigenwerte und Eigenvektoren
8. Normalenform
9. Skalarprodukt
10.Hauptachsentransformationen
Achtung:
Diese Version des Skriptes ist nicht vollständig korrigiert! Verbesserungsvorschläge, Rechtschreibfehler und
inhaltliche Fehler dürfen gerne an [email protected] geschickt werden. Wir freuen uns über Rückmel-
dung!
Vorwort
Lineare Algebra:
- Theorie der linearen Gleichungssysteme
- Theorie der Vektorräume und linearen Abbildungen
- Theorie der Matrizen und Vektoren
- Unbekannte / Variablen x kommen nur zur ersten Potenz vor
- Keine gemischten Terme x ·x
i j
6
0 Warum und zu welchem Ende studieren wir
Lineare Algebra?
Was ist eigentlich Lineare Algebra?
= Theorie der linearen Gleichungssysteme
= Theorie der Vektorräume und linearen Abbildungen
= Theorie der Vektoren und Matrizen
Früher hatten Lehrbücher zu Linearen Algebra öfter als heute noch den Zusatz „... und Analytische Geo-
metrie“. Wie ist der Zusammenhang?
Geometrie Analytische Geometrie
Punkte in der Ebene „Koordinatengeometrie“
P P =(x,y)
zwei Koordinaten
Geraden G Geradengleichung ax+by =c
Kreis, Ellipse, ... ax2+by2 =c
Geometrie Analytische Geometrie Vektorrechnung
(cid:18) (cid:19)
x
P P =(x,y) v =
y
• O =(0,0) −−→
=OP
(
Richtung
Ursprung Ortvektor
Länge
y-Achse Vektorenkannmanaddieren,Punk-
P =(x,y)
−−→
v=OP
0 x-Achse
te aber nicht!
Descartes und die Einführung der Koordinaten
Wirnennenheuteein(rechtwinkliges)Koordinatensystem„kartesisch“,weilKoordinatenimJahre1637von
Rene Descartes in seinem Buch „La Geometrie“ in die Geometrie eingeführt worden sind.
Er hat damit ein - seit der Antike - ungelöstes Problem des Pappus (4. Jhdt) gelöst und war mit Recht sehr
stolz darauf. Bevor wir das Problem erklären, hier eine schöne Würdigung von Descartes Leistung durch
J. d’Alembert, ein Mathematiker und Physiker, der zusammen mit D. Diderot einer der Herausgeber der
berühmten Enzyklopädie:
Er nennt 1751 in der Einleitung der Enyklopädie:
7
[die Einführung der Koordinaten] eine der umfassendsten und glücklichsten Einfälle, die der
menschlichen Geist je gehabt hat und der stets den Schlüssel zu den eingehendsten Untersu-
chungen nicht nur in der höheren Mathematik, sondern in allen mathematisch-physikalischen
Wissenschaft darstellen wird.
Pappus-Problem
gegeben: n Geraden A,B,C,D,... in der Ebene
n Winkel α,β,γ,δ,...
λ Zahl
Was ist der Ort aller Punkte P der Ebenen, deren Abstände a,b,c,d,... von A,B,C,D,... gemessen unter
den Winkeln α,β,γ,δ,... die Gleichung
ab=λcd
erfüllen?
C
A β
α
B γ
I
δ
D
Beispiel 0.1. Zwei Geraden A,B, α=β =90◦, λ=1.
B
P
P
B
Winkelhalbierende
A A
Beispiel 0.2. 4 Geraden:
A: x=−1, α=β =γ =δ =90◦,
B : x=+1,
C =D : y = 0, λ=1.
ab=c2
A B
Hyperbel
Kreis
C=D
−1≤x≤+1 (x−(−1))(1−x)=y2
=(1+x)(1−x)
=1−x2
8
x2+y2 =1 Kreis
x≤−1, x≥+1 (x−(−1)(x−1)=y2
=x2−1
x2−y2 =1 Hyperbel
Vektoren und Physik
Der Begriff ds Vektors stammt aus der Physik: er beschreibt eine Größe mit Richtung und Betrag, wie ihn
die Physik als Kraft oder Geschwindigkeit kennt.
Da sich Kräfte überlagern können oer Geschwindigkeiten addieren - eine misst die Geschwindigkeit eines
bewegten Systems, eine zweite die Geschwindigkeit relativ zum ersten - ist es völlig einleuchtend, dass man
Vektorenaddieren,subtrahieren,streckenoderstauchenkann,-währendmandiesmitPunktennichtkann:
v(t)
z(t)=PositionzurZeitt Bahn
v(t)=z˙(t)= dz(t)zurZeitt
dt
v(t) ist die Richtung, die eine Massepunkt nähme, hörten alle Kräfte, auf ihn zu wirken, plötzlich auf.
DarumbetrachtetmaninderMathematiklineareApproximationenanKurven(=GraphenvonFunktionen),
als Tangente mit der Ableitung als Steigung - und nicht, weil die lineare Approximation „einfach“ ist.
Lξ0 :R→R
v7→f0(ξ0)
f0(ξ0)
y=η0 1
x=ξ0
• BeieinerFunktionf :R→R,f(x)=y einer VariablenisteineTangenteandenGrapheneineGerade
und i.W.durch ihre Steigung (neben (x ,y )) bestimmt.
0 0
• Bei einer Funktion f :R2 →R,f(x ,x )=y von zwei Variablen haben wir einen Tangentialebene an
1 2
den Graphen; diese ist nicht mehr durch eine Zahl bestimmt, sondern durch zwei: nämlich die beiden
partiellen Ableitungen
∂f ∂f
(ξ ,η ), (ξ ,η )
∂x 0 0 ∂x 0 0
1 2
(cid:18) (cid:19)
v ∂f ∂f
L :R2 −→R 1 7−→ (ξ ,η )v + (ξ ,η )v
ξ0,η0 v2 ∂x1 0 0 1 ∂x2 0 0 2
• Bei einer vektorwertigen Funktion
 
f (x ,...,x )
1 1 n
F :Rn −→Rm F(x ,...,x )= .. 
1 n  . 
f (x ,...,x )
m 1 n
ist die Ableitung was? - Eine lineare Abbildung
 
v  a11v1+a12v2+...+a1nvn
Lξ0,η0,... :Rn −→Rm  ...17−→a21v1+a22v2...+...+a2nvn.
v
n a v +a v +...+a v
n1 1 n2 2 nn n
Diessindmlineare (weilkeinv inhöhererPotenzauftrittundauchkeingemischterTermv v )Gleichungen
i i j
in n Variablen v ,...,v .
1 n
9
Also lineare Gleichungssysteme!
Beispiel 0.3. Drehungen, Streckungen, ...
f :R2 −→R2, (x,y)7−→f(x,y)=(x0,y0)
mit
x0 =f (x,y)=ax+by,
1
y0 =f (x,y)=cx+dy.
2
e2=(0,1)
f (cid:47)(cid:47) f(e2)=(b,d) f(e1)=(a,c)
e1=(1,0)
(cid:27)
a=cosα b=−sinα
Drehung um Winkel α
c=sinα d= cosα
(cid:27)
a=−1 b=0
Spiegelung an der y-Achse
c= 0 d=1
Beispiel 0.4. Schnitt zweier Geraden im R2
v
G2
G1
w
a
b
G :=G : a+sv (v 6=0)
1 a,v
0
G :=G : b+tw (w 6=0)
2 b,w
Schnittpunkt? ∃t,s∈R:
a+sv =b+tw
(cid:12)
{sv−tw =b−a =c (cid:12) Lösen?
(cid:12)
(cid:12) v1 6=0 oder v2 6=0
(cid:26) (cid:12)
I v1s−w1t =b1−a1 =c1 (cid:12) und
(cid:12)
II v2s−w2t =b2−a2 =c2 (cid:12) w1 6=0 oder w2 6=0
Das Gleichungssystem hat keine Lösung, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen, je nachdem ob
G ,G parallel sind, sich schneiden oder gleich sind.
1 2
w I: v w s−w w t=w c
2 1 2 1 2 2 1
w II: v w s−w w t=w c
1 2 1 1 2 1 2
w I−w II: v w −v w s=w c −w c
2 1 1 2 2 1 2 1 1 2
| {z } | {z }
:=∆ h−w⊥,ci
Determinante
v I: v v s−v w t=v c
2 1 2 2 1 2 1
v II: v v s−v w t=v c
1 1 2 1 2 1 2
v I−v II: ∆t=v c −v c
2 1 2 1 1 2
| {z }
−v⊥,c
10