Lineare Algebra I - Institut für Algebraische Geometrie

30 Pages·2012·0.54 MB·German

(cid:1)(cid:3)(cid:2)
(cid:1)(cid:5)(cid:4)
(cid:6)
(cid:0)
Lineare Algebra I
Eine Vorlesung von Prof. Dr. Klaus Hulek
[email protected]
c Klaus Hulek
(cid:176)
Institut fu˜r Mathematik
Universit˜at Hannover
D { 30060 Hannover
Germany
E-Mail : [email protected]
Inhaltsverzeichnis
0 Mengen, Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
x
OperationenmitMengen{Abbildungen
1 Elementargeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
x
GeradenimRn {EbenenimRn {L˜angenundWinkelmessung{Winkelmessung{EigenschaftendesWinkels
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3
4
0 Mengen, Abbildungen
x
Deflnition. (G. Cantor) Eine Menge ist die Zusammenfassung wohlunterschiedener Ob-
jekte unseres Denkens zu einem Ganzen.
Beispiele.
(i) N := 1;2;3;4;5;::: (natu˜rliche Zahlen)
f g
(ii) Z := 0; 1; 2;::: (ganze Zahlen)
f § § g
(iii) Q := p;p, q ganze, teilerfremde Zahlen, q = 0 (rationale Zahlen)
fq 6 g
(iv) R := Menge der reellen Zahlen
(v) M := Menge der Studierenden in diesem H˜orsaal
Schreibweise.
(1) a A: a ist Element von A (2 N, p2 R, … R)
2 2 2 2
a = A : a ist kein Element von A ( 2 N;p2 Q)
2 ¡ 62 62
(2) A B: A ist Teilmenge von B. (a A a B)
‰ 2 ) 2
(cid:0) (cid:1)
Abb. 1: Teilmenge
Bemerkung. Dies l˜a…t auch A = B zu.
Beispiel. N Z Q R.
‰ ‰ ‰
Operationen mit Mengen
(1) Durchschnitt A B := x; x A und x B
\ f 2 2 g
(cid:2)(cid:5)(cid:4) (cid:3)
(cid:2) (cid:3)
Abb. 2: Durchschnitt
0. MENGEN, ABBILDUNGEN 5
x
Allgemeiner:
A = x; x A fu˜r alle i I
i i
f 2 2 g
i I
\2
(2) Vereinigung
A B := x; x A oder x B
[ f 2 2 g
(cid:0)(cid:3)(cid:2) (cid:1)
(cid:0) (cid:1)
Abb. 3: Vereinigung
(3) Difierenz von Mengen
A B := x A; x = B :
n f 2 2 g
(cid:4)(cid:7)(cid:6)
(cid:5)
(cid:4) (cid:5)
Abb. 4: Difierenz
(4) Kartesisches Produkt
A B := (a;b); a A;b B (Menge von Paaren)
£ f 2 2 g
Beispiel.
R2 := (x1;x2); x1;x2 R :
f 2 g
6
(cid:0)(cid:2)(cid:1)
Abb. 5: Zahlenebene
Allgemeiner:
A A := (a ;::: ;a ); a A (Menge der n-Tupel)
1 n 1 n i i
£¢¢¢£ f 2 g
Abbildungen
X;Y seien Mengen.
Deflnition. Eine Abbildung f : X Y ist eine Vorschrift, die jedem Element x X
! 2
genau ein Element f(x) Y zuordnet.
2
X hei…t Deflnitionsbereich, Y hei…t Zielbereich (Wertebereich) von f.
Beispiele.
(i)
f : M N
¡!
Student/in Geburtsjahr
7¡!
(ii) Normalparabel:
f : R R
¡!
f(x) = x2
(iii)
f : R 0;1
¡! f g
0 falls x Q
f(x) := 2
(1 falls x Q:
62
Fu˜r jede Menge X ist die Identit˜at
id : X X
X
¡!
x x
7¡!
deflniert.
Deflnition. Es sei f : X Y eine Abbildung und M X, N Y Teilmengen.
! ‰ ‰
0. MENGEN, ABBILDUNGEN 7
x
(i) Das Bild von f ist die Menge
f(X) := f(x); x X :
f 2 g
Ist M X eine Teilmenge, so ist entsprechend
‰
f(M) := f(x); x M :
f 2 g
(ii) Ist N Y eine Teilmenge, so ist das Urbild von N unter f deflniert als
‰
f 1(N) := x X; f(x) N :
¡
f 2 2 g
Beispiele. Fu˜r f : R R;f(x) = x2 gilt:
!
(i) f(R) = x R; x 0 =: R 0;
f 2 ‚ g ‚
f([0;2]) = [0;4]
(ii) f 1([0;4]) = [ 2;2].
¡
¡
Deflnition. Es sei f : X Y eine Abbildung und M X eine Teilmenge. Dann ist die
! ‰
Einschr˜ankung von f auf M deflniert durch
f : M Y
M
j ¡!
x f(x):
7¡!
Es seien f : X Y;g : Y Z Abbildungen.
! !
Deflnition. Die Hintereinanderschaltung (Komposition) von f und g ist die Abbildung
g f : X Z
– ¡!
x g(f(x)):
7¡!
(cid:0) (cid:1) (cid:2)
(cid:4) (cid:9)
(cid:3) (cid:4)(cid:6)(cid:5) (cid:3)(cid:8)(cid:7) (cid:9) (cid:5)(cid:10)(cid:4)(cid:6)(cid:5) (cid:3)(cid:8)(cid:7)(cid:11)(cid:7) Abb. 6: Komposition
Beispiel.
f : R R; f(x) = p2x
¡!
1
g : R R; g(x) = :
¡! 1+x2
Dann ist
1 1
(g f)(x) = g(f(x)) = g(p2x) = = :
– 1+(p2x)2 1+2x2
8
Lemma 0.1
Sind f : X Y;g : Y Z;h : Z W, so gilt
! ! !
h (g f) = (h g) f (Assoziativit˜at von Abbildungen)
– – – –
Beweis. Beides sind Abbildungen von X nach W. Fu˜r alle x X gilt:
2
((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x)))
– – –
(h (g f))(x) = h(g f(x)) = h(g(f(x))):
– – –
⁄
Deflnition. Eine Abbildung f : X Y hei…t
!
(i) injektiv, falls gilt: Ist x = y, so ist auch f(x) = f(y).
6 6
(ii) surjektiv, falls f(X) = Y, d.h.zu jedem y Y gibt es ein x X mit f(x) = y.
2 2
(iii) bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.
Lemma 0.2
Die folgenden beiden Aussagen sind ˜aquivalent:
(i) f ist bijektiv.
(ii) Es gibt eine Abbildung g : Y X mit g f = id und f g = id .
X Y
! – –
Beweis. (i) (ii) Es sei y Y. Da f bijektiv ist, gibt es genau ein x X mit f(x) = y.
) 2 2
Wir setzen g(y) := x. Dann ist nach Konstruktion von g:
(f g)(y) = f(x) = y; (g f)(x) = g(f(x)) = x:
– –
(ii) (i) Wir zeigen zun˜achst, da… f injektiv ist:
)
f(x) = f(x) g(f(x)) = g(f(x)) x = x:
0 0 0
) )
Die Abbildung f ist auch surjektiv, da fu˜r y Y gilt:
2
f(g(y)) = y:
⁄
Deflnition. g hei…t dann die Umkehrabbildung von f, bezeichnet mit f 1.
¡
Beispiel. Die Abbildung f : R R;f(x) = x2 ist weder injektiv (f( 1) = f(1)) noch
! ¡
surjektiv. Es ist
f(R) = R 0 = x R; x 0 :
‚ f 2 ‚ g
Die Abbildung f ist injektiv, aber nicht surjektiv. Dagegen ist die Abbildung
jR‚0
f : R 0 R 0
‚ ¡! ‚
f(x) = x2
bijektiv mit Umkehrabbildung
1
f¡ (x) = px:
1. ELEMENTARGEOMETRIE 9
x
1 Elementargeometrie
x
Man kann die reellen Zahlen als Zahlengerade interpretieren.
(cid:1) (cid:1) (cid:6) (cid:7)
(cid:0) (cid:0)(cid:3)(cid:2)(cid:5)(cid:4) (cid:2)
Abb. 7: Zahlengerade
(cid:9) (cid:1) (cid:8)
Wir betrachten nun eine Ebene E (z. B. die Tafelebene). Legt man einen Ursprung 0 und
ein Koordinatenkreuz fest, so kann man die Ebene mit R2 identiflzieren.
(cid:12) (cid:15)
(cid:14)
(cid:10) (cid:11)(cid:13)(cid:12)
Abb. 8: Ebene
Die Abbildung
E R2
¡!
P (x ;y )
P P
7¡!
ist bijektiv. Man nennt (x ;y ) die kartesischen Koordinaten des Punktes P. (Descartes,
p p
1596{1650).
(cid:21)
(cid:20) (cid:18)
(cid:19) (cid:18)
(cid:16) (cid:17)(cid:13)(cid:18)
Abb. 9: 3-dimensionaler Raum
Analog sei R der Anschauungsraum. Dann hat man nach Wahl eines Koordinatensystems
10
eine Bijektion
R R3
¡!
P (x ;y ;z ):
P P P
7¡!
Entsprechend nennt man Rn den n-dimensionalen Raum. Ein Element
(x1;::: ;xn) Rn = R R R
2 £ £¢¢¢£
n-mal
hei…t ein Vektor, genauer ein Zeilenvektor. Wir|schreib{zen }
x = (x ;::: ;x ):
1 n
Man kann mit diesen Vektoren algebraische Operationen ausfu˜hren:
(1) Vektoraddition: x = (x1;::: ;xn) Rn, y = (y1;::: ;yn) Rn
2 2
x+y := (x +y ;::: ;x +y ):
1 1 n n
Geometrische Deutung: (n = 2)
Abb. 10: Vektoraddition
(2) Skalarmultiplikation: x = (x1;::: ;xn) Rn;fi R
2 2
fi x := (fix ;::: ;fix ):
1 n
¢
Abb. 11: Skalarmultiplikation