Lineare Algebra I im WS 2016/17

278 Pages·2017·9.99 MB·German

by  Clara Löh

Lineare Algebra I
Wintersemester 2016/17
Universit¨at Regensburg
Clara L¨oh
Version vom 20. April 2017
[email protected]
Fakult¨at fu¨r Mathematik, Universit¨at Regensburg, 93040 Regensburg
'Clara L¨oh, 2016
Inhaltsverzeichnis
Literaturhinweise vii
0 Einfu¨hrung 1
0.1 Was ist Mathematik? 1
0.2 Was ist Lineare Algebra? 2
0.3 U¨berblick u¨ber die Vorlesung 3
1 Grundlagen: Logik und Mengenlehre 5
1.1 Wozu Logik und Mengenlehre? 6
1.2 Logische Grundlagen 7
1.2.1 Aussagenlogik 8
1.2.2 Quantorenlogik 11
1.2.3 WasisteinBeweis? 13
1.3 Mengentheoretische Grundlagen 16
1.3.1 NaiveMengenlehre 16
1.3.2 Abbildungen 20
1.3.3 AxiomatischeMengenlehre 27
2 Z¨ahlen, Zahlen, K¨orper 31
2.1 Die natu¨rlichen Zahlen und Induktion 32
2.1.1 Z¨ahlenundInduktion 32
2.1.2 ArithmetischeOperationen 34
2.2 Die ganzen Zahlen und Gruppen 37
2.2.1 Vondennatu¨rlichenzudenganzenZahlen 38
2.2.2 Gruppen 42
iv Inhaltsverzeichnis
2.3 Die rationalen Zahlen und K¨orper 45
2.3.1 VondenganzenzudenrationalenZahlen 45
2.3.2 K¨orper 47
3 Vektorr¨aume 53
3.1 Vektorr¨aume 54
3.1.1 GeometrieinKoordinaten 54
3.1.2 Vektorr¨aume 57
3.1.3 Untervektorr¨aume 60
3.1.4 Erzeugendensysteme 63
3.2 Lineare Unabh¨angigkeit 66
3.2.1 Linearkombinationen 66
3.2.2 LineareUnabh¨angigkeit 67
3.2.3 Lineare(Un)Abh¨angigkeitundDarstellbarkeit 70
3.3 Basen 72
3.3.1 Basen 72
3.3.2 EndlicherzeugteVektorr¨aume 74
3.3.3 Exkurs:DasZornscheLemma 78
3.3.4 AllgemeineVektorr¨aume 80
3.3.5 Zusammenfassung 81
3.4 Dimension 82
3.4.1 DimensionvonVektorr¨aumen 82
3.4.2 Dimensionsformelnfu¨rVektorr¨aume 83
3.4.3 Komplement¨areUntervektorr¨aume 86
3.4.4 Quotientenvektorr¨aume 87
4 Lineare Abbildungen 91
4.1 Lineare Abbildungen 92
4.2 Lineare Abbildungen aus Matrizen 96
4.2.1 Matrizen 96
4.2.2 MultiplikationvonMatrizen 98
4.2.3 LineareAbbildungenausMatrizen 102
4.3 Lineare Abbildungen und Basen 105
4.4 Kern und Bild 107
4.4.1 KernundBild 107
4.4.2 IsomorphismenvonVektorr¨aumen 109
4.4.3 DieDimensionsformelfu¨rlineareAbbildungen 112
4.4.4 Konsequenzenfu¨rlineareGleichungssysteme 114
4.5 Homomorphismenr¨aume 116
5 Matrizenkalku¨l 123
5.1 Darstellung von linearen Abbildungen 124
5.1.1 InvertierbareMatrizen 124
5.1.2 DarstellungvonlinearenAbbildungen 126
5.1.3 Basiswechsel 130
5.2 Das Gaußsche Eliminationsverfahren 132
5.2.1 Zeilenstufenform 133
5.2.2 Zeilenoperationen 135
Inhaltsverzeichnis v
5.2.3 DerGaußscheAlgorithmus 137
5.2.4 Gauß-Rezepte 140
5.3 Die Determinante 146
5.3.1 DieDeterminantenfunktion 146
5.3.2 DieDeterminanteundInvertierbarkeit 151
5.3.3 DieDeterminantevonEndomorphismen 154
5.3.4 DieLeibniz-Formelfu¨rdieDeterminante 156
6 Normalformen I: Eigenwerte und Diagonalisierbar-
keit 161
6.1 Eigenwerte und Eigenvektoren 162
6.2 Diagonalisierbarkeit 168
6.3 Das charakteristische Polynom 173
6.3.1 Polynome 173
6.3.2 DascharakteristischePolynom 176
6.4 Ausblick: Die Jordansche Normalform 180
6.4.1 A¨hnlichkeitvonMatrizen 181
6.4.2 DieJordanscheNormalform 183
6.4.3 DieJordanscheNormalforminDimension2 185
A Anhang A 1
A.1 Das griechische Alphabet A3
A.2 Konstruktion der natu¨rlichen Zahlen A5
A.3 Das Spiel SET A7
A.4 M¨achtigkeit von Mengen A9
A.5 Kategorien A11
A.6 Elementare Analysis von Sinus und Kosinus A15
A.7 Funktoren A17
A.8 3D-Druck A21
A.8.1 FusedFilamentFabrication A21
A.8.2 DieSpezifikationdreidimensionalerObjekte A21
A.8.3 BerechnungderSchnitte A23
¨
B Ubungsbl¨atter B 1
C Fingeru¨bungen C 1
D Allgemeine Hinweise D 1
Literaturverzeichnis C 1
vi Inhaltsverzeichnis
Literaturhinweise
Die Vorlesung wird sich nicht an einer einzelnen Quelle orientieren – Sie
sollten also individuell je nach Thema und eigenen Vorlieben die Literatur
ausw¨ahlen, die am besten zu Ihnen passt.
Lineare Algebra
(cid:136)
S. Bosch. Lineare Algebra, fu¨nfte Auflage, Springer Spektrum, 2014.
(cid:136)
G. Fischer. Lineare Algebra, Eine Einfu¨hrung fu¨r Studienanf¨anger,
18. Auflage, Springer Spektrum, 2013.
(cid:136)
K. J¨anich. Lineare Algebra, 11. Auflage, Springer, 2013.
(cid:136)
S. Lang. Linear Algebra, UndergraduateTexts inMathematics, 3. Auf-
lage, Springer, 1987.
(cid:136)
J. Matouˇsek. Thirty-three miniatures. Mathematical and algorithmic
applications of linear algebra, Student Mathematical Library, 53. Ame-
rican Mathematical Society, 2010.
Logik und Mengenlehre
(cid:136)
P.J.Cameron.Sets, Logic and Categories,Universitext,Springer,1998.
(cid:136)
H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas. Einfu¨hrung in die mathema-
tische Logik, 5. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, 2007.
(cid:136)
R.M. Smullyan, M. Fitting. Set theory and the continuum problem,
u¨berarbeitete Auflage, Dover, 2010.
viii Literaturhinweise
Sonstige Grundlagen
(cid:136)
A. Beutelspacher. Das ist o.B.d.A. trivial!, neunte Auflage, Vieweg+-
Teubner, 2009.
http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-8348-9599-8
(cid:136)
A.Doxiadis,C.Papadimitriou,A.Papadatos,A.DiDonna,Logicomix:
An epic search for truth, Bloomsbury Publishing, 2009.
(cid:136)
A.G.Konforowitsch.Logischen Katastrophen auf der Spur,zweiteAuf-
lage, Fachbuchverlag Leipzig, 1994.
(cid:136)
C.L¨oh,S.Krauss,N.Kilbertus.Quoderatknobelandum,SpringerSpek-
trum, 2016.
(cid:136)
G. Polya, J.H. Conway (Hrsg.). How to Solve it: A New Aspect of Ma-
thematical Method, Princeton Science Library, 2014.
(cid:136)
T. Tao. Solving mathematical problems. A personal perspective, Oxford
University Press, 2006.
0
Einfu¨hrung
0.1 Was ist Mathematik?
Mathematik ist grob gesagt die Wissenschaft des abstrakten Denkens, ins-
besondere des Studiums abstrakter Strukturen (wie z.B. Zahlen, Geometrie,
...)unddesStudiumsvonformalenMethoden.DasWort Mathematik“ lei-
”
tetsichvomaltgriechischenWort µα´ϑηµα“ ab,dasinetwa Lernen,Wissen,
” ”
Wissenschaft, ...“ bedeutet.
Die Mathematik baut sich von den grundlegenden logischen und mengen-
theoretischen Axiomen Schritt fu¨r Schritt aus den folgenden Bausteinen auf:
(cid:136)
Axiome legen die Spielregeln fu¨r das betrachtete Gebiet fest.
(cid:136)
Definitionen fu¨hren neue Begriffe ein.
(cid:136)
S¨atze, Lemmata, KorollareformulierenAussagenu¨bermathematische
Objekte.
(cid:136)
Beweise sind formale Begru¨ndungen fu¨r behauptete Aussagen. Man
beachtedabei,dassauchderBegriffdesBeweisesmathematischpr¨azise
definiert ist.
(cid:136)
Beispiele veranschaulichen die Bedeutung und Tragweite der betrach-
teten Begriffe und S¨atze.
Das Faszinierende an der Mathematik ist, dass sie einen exakten und ele-
ganten Rahmen liefert, der aber auch in der Praxis (z.B. in den Naturwis-
senschaften, in der Informatik, in der Wirtschaft, ...) erfolgreich eingesetzt
und angewendet werden kann.
2 0. Einfu¨hrung
DiskreteMathematik Stochastik
Wasistkombinatorisch? WasistZufall?
Algebra Analysis
WassindZahlen? WasistApproximation?
Geometrie
WasistKru¨mmung?
Logik Mengenlehre
WasisteinBeweis? WasisteineMenge?
Abbildung 0.1.: Schematischer Aufbau der Mathematik, stark vereinfacht
EingroberschematischerU¨berblicku¨berdenAufbauderMathematikund
ihrer Teilgebiete findet sich in Abbildung 0.1; stellvertretend ist jeweils eine
zentraleFragejedesGebietsgenannt,dieandeutet,womitsichdasGebietbe-
fasst. Zwischen den Gebieten gibt es vielf¨altige Verbindungen und unz¨ahlige
Mischgebiete(z.B.algebraischeGeometrie,diskreteGeometrie,stochastische
Geometrie, geometrische Analysis, ...).
0.2 Was ist Lineare Algebra?
Die Algebra befasst sich mit der abstrakten Struktur allgemeiner Zahlen-
”
bereiche“. Eine besonders einfache und zug¨angliche Art solcher Strukturen
sindlineareStrukturen,d.h.Vektorr¨aumeundlineareAbbildungenzwischen
Vektorr¨aumen.LineareStrukturentretenanvielenverschiedenenStellenauf:
(cid:136)
L¨osung linearer Gleichungssysteme,
(cid:136)
elementare ebene und r¨aumliche Geometrie,
(cid:136)
Computergeometrie und dreidimensionale Modellierung,
(cid:136)
geschlossene Darstellung kombinatorischer Ph¨anomene,
(cid:136)
als zentraler Approximationsbaustein in der Analysis,
(cid:136)
als erste Abstraktionsstufe in der Algebra,
(cid:136)
...