Lineare Algebra I -- II

259 Pages·2005·1.667 MB·German

by  Claus Scheiderer

Claus Scheiderer
Lineare Algebra I – II
Vorlesung, 2004 – 2005
Universit¨at Konstanz
(cid:13)c C. Scheiderer 2005
ii
Inhaltsverzeichnis
Kapitel I. Grundlagen 1
1. Mengen und Abbildungen 1
2. Gruppen 8
3. Ringe und K¨orper 12
Kapitel II. Vektorr¨aume 19
1. Erste Definitionen 19
2. Lineare Abh¨angigkeit, Basen, Dimension 21
3. Summen von Unterr¨aumen 29
Kapitel III. Lineare Abbildungen, Matrizen,
und lineare Gleichungssysteme 33
1. Matrizen 33
2. Homomorphismen von Gruppen und Ringen 38
3. Lineare Abbildungen 41
4. Quotienten von Gruppen, Ringen und Vektorr¨aumen 47
5. Koordinaten, Basiswechsel, Koordinatentransformation 54
6. Rang 58
7. Elementare Umformungen von Matrizen, Gauß-Algorithmus 62
Kapitel IV. Determinanten 71
1. Polynome 71
2. Vorzeichen von Permutationen 74
3. Determinante einer quadratischen Matrix 77
4. Spezielle Determinanten, Entwicklungssatz 82
5. A¨hnlichkeitvonMatrizen,DeterminanteundSpurvonEndomorphismen,
Orientierung 88
Kapitel V. Eigenwerte 93
1. Definition, Beispiele 93
2. Das charakteristische Polynom 95
3. Minimalpolynom, Satz von Cayley-Hamilton 100
4. Jordansche Normalform 103
Kapitel VI. Bilinearformen und Skalarprodukte 115
1. Linearformen und Dualraum 115
2. Bilinearformen, quadratische und alternierende Formen 118
3. Skalarprodukte 132
4. Orthogonale und unit¨are Abbildungen 148
5. Vektorprodukt im R3 152
6. Adjungierte Abbildung 158
iii
iv INHALTSVERZEICHNIS
7. Selbstadjungierte und normale Abbildungen, Spektralsatz 160
Kapitel VII. Moduln u¨ber Hauptidealringen 171
1. Ringe und Ideale 171
2. Teilbarkeit 173
3. Allgemeines u¨ber Moduln 181
4. Moduln u¨ber Hauptidealringen 186
5. Zyklische Endomorphismen 194
Kapitel VIII. Affinit¨aten und Hauptachsentransformation 199
1. Affine R¨aume und Affinit¨aten 199
2. Affine Quadriken und Hauptachsentransformation 203
Literaturverzeichnis 213
Anhang: U¨bungsaufgaben und Klausuren 215
KAPITEL I
Grundlagen
1. Mengen und Abbildungen
Der Mengenbegriff geht auf Cantor1 zuru¨ck, und ist heute in allen Bereichen
der Mathematik die Grundlage der mathematischen Sprache und Ausdrucksweise.
Die Frage, wie man den Begriff der Menge pr¨azise einfu¨hrt, ist keineswegs leicht
zu beantworten. Wenn man zu naiv vorgeht, erh¨alt man Antinomien, unaufl¨osliche
Widerspru¨che. Mit solchen Grundlagen besch¨aftigt sich eine eigene mathematische
Disziplin, die Mengenlehre. Fu¨r die meisten Bereiche der Mathematik ist es jedoch
garnichtn¨otig,diesesProblemmitletzterStrengezul¨osen.Wichtigistfu¨runsvor
allem, welche Beziehungen zwischen verschiedenen Mengen bestehen, und wie man
aus bestehenden Mengen neue bilden kann.
WirwerdenindererstenVorlesungswochedieelementarenBegriffeumMengen
und Abbildungen erl¨autern, bevor wir dann mit dem Stoff der linearen Algebra im
eigentlichen Sinn beginnen.
1.1. DieSymbolederAussagenlogik: ∧(und),∨(oder),¬(nicht),∀(fu¨ralle),∃
(esexistiert),⇒(impliziert),⇔(genaudannwenn,¨aquivalentzu).IhreBedeutung
ist:
A∧B: sowohl A als auch B
A∨B: A oder B (oder beide)
¬A: nicht A
A⇒B: wenn A, dann B
A⇔B: genau dann A, wenn B
∃x P(x): es existiert ein x mit der Eigenschaft P(x)
∀x Q(x): fu¨r alle x gilt die Eigenschaft Q(x)
Durch ihr h¨aufiges Vorkommen wird uns der Gebrauch dieser Symbole schnell ver-
traut werden.
1.2. Mengen: Eine Menge besteht aus Elementen, und ist dadurch bestimmt,
welche Elemente zu ihr geh¨oren. Eine Menge wird angegeben, indem man alle ihre
Elemente angibt. Das kann etwa durch Aufz¨ahlen geschehen:
{1,2,3,4,5,6},
ist die Menge der natu¨rlichen Zahlen von 1 bis 6,
N:={1,2,3,4,5,...}
ist die Menge der natu¨rlichen Zahlen,
N :={0,1,2,3,4,5,...}
0
1GeorgCantor(1845–1918)
1
2 I.GRUNDLAGEN
ist die Menge der natu¨rlichen Zahlen zusammen mit der Null,
Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
istdieMengederganzen Zahlen.DieSchreibweise“...”(“undsoweiter”)darfnur
verwendet werden, wenn das Gesetz, nach dem die Aufz¨ahlung weitergehen soll,
aus dem ausgeschriebenen Teil eindeutig erkennbar ist. Eine Beschreibung wie
{1,3,...}
ist zu knapp; es k¨onnte die Menge
{1,3,5,7,9,...}={2n−1: n∈N}
aller ungeraden natu¨rlichen Zahlen gemeint sein, oder auch die Menge
{1,3,7,15,31,...}={2n−1: n∈N},
usw.Hiersehenwirschoneineandereh¨aufiggebrauchteNotation:MangibtMengen
oft in der Form
{x: P(x)} (oder {x|P(x)})
an,dieMengeallerElementex,diedieEigenschaftPhaben.ZumBeispielk¨onnten
wir die Menge aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 nicht in aufz¨ahlender Form
angeben, wohl aber in der Form
{x∈R: 0≤x≤1}.
Mengen mu¨ssen wohldefiniert sein, d.h. es muß zumindest im Prinzip eindeutig
entscheidbar sein, was ihre Elemente sind.
InderBeschreibungeinerMengebrauchendieangegebenenElementenichtalle
voneinander verschieden zu sein, sie werden aber trotzdem “nur einmal gez¨ahlt”.
So ist etwa
np o
Q:= : p,q ∈Z, q 6=0
q
dieMengederrationalen Zahlen,obwohljedevonihneninderAufz¨ahlungvielfach
vorkommt (z.B. 1 = 2 = −7 ...). Auch spielt die Reihenfolge der Elemente keine
2 4 −14
Rolle. So ist etwa
{1,2}={2,1}={2,1,1,2,1},
und diese Menge enth¨alt genau 2 Elemente.
DieAnzahlder(verschiedenen)ElementeineinerMengeX ist|X|,dieM¨achtig-
keit (oder Kardinalit¨at) von X. |X| ist eine natu¨rliche Zahl, oder 0, oder ∞. Eine
Menge heißt endlich, falls |X|=6 ∞ ist, sonst unendlich. Die leere Menge ∅ ist die
Menge, die kein einziges Element enth¨alt; es ist also |∅|=0.
Ist x ein Element der Menge X, so schreibt man x ∈ X; ist x nicht Element
von X, so schreibt man x ∈/ X. Zwei Mengen X, Y heißen gleich, i. Z. X = Y,
wenn sie dieselben Elemente enthalten.
1.3. Neue Mengen aus alten: Aus gegebenen Mengen kann man auf verschie-
dene Weise neue bilden. Sind X ,...,X endlich viele Mengen (hier ist n∈N), so
1 n
ist
n
S
X ∪···∪X = X ={x: x∈X ∨ ··· ∨ x∈X }
1 n i 1 n
i=1
die Vereinigung von X ,...,X , und
1 n
n
T
X ∩···∩X = X ={x: x∈X ∧ ··· ∧ x∈X }
1 n i 1 n
i=1
1. MENGEN UND ABBILDUNGEN 3
derDurchschnitt vonX ,...,X .(Venn-Diagramme!)DieProduktmenge (oder:das
1 n
kartesische Produkt) von X ,...,X ist die Menge
1 n
n
Q
X ×···×X = X ={(x ,...,x ): x ∈X ,...,x ∈X }
1 n i 1 n 1 1 n n
i=1
aller geordneten n-Tupel, deren i-ter Eintrag in X liegt, i = 1,...,n. (Hierbei
i
heißen zwei n-Tupel (x ,...,x ) und (y ,...,y ) gleich genau dann, wenn x =y
1 n 1 n i i
fu¨r alle i=1,...,n gilt.) Man schreibt Xn :=X×···×X (n Faktoren).
Y heißt eine Teilmenge von X, i. Z. Y ⊂X oder X ⊃Y, wenn gilt:
(cid:0) (cid:1)
∀y y ∈Y ⇒y ∈X .
Man beachte: Bei den Symbolen ⊂, ⊃ ist Gleichheit zugelassen, insbesondere ist
also X ⊂X. Will man Gleichheit ausschließen, schreibt man $ bzw. %:
Y $X :⇔ X %Y :⇔ Y ⊂X und Y 6=X.
Es gilt: X =Y ⇔ X ⊂Y und Y ⊂X.
Sind X, Y Mengen, so heißt XrY :={x: x∈X, x∈/ Y} die (mengentheore-
tische) Differenz “X ohne Y”. Fu¨r die Bildung von XrY muß Y nicht notwendig
TeilmengevonX sein.IstjedochY ⊂X,soheißtXrY das(relative)Komplement
von Y in X.
DiePotenzmenge P(X)vonX istdieMengeallerTeilmengenvonX.Alsoz.B.
P(∅) = {∅} (das ist eine 1-elementige Menge!), P({1}) = {∅, {1}}, P({1,2}) =
{∅, {1}, {2}, {1,2}}, usw. Man kann leicht beweisen: Ist |X| = n < ∞, so ist
|P(X)| = 2n. Versuchen Sie einmal, dies als U¨bungsaufgabe fu¨r sich zu beweisen
(z. B. mit vollst¨andiger Induktion).
Es gibt eine Reihe von Gesetzen fu¨r die diversen mengentheoretischen Opera-
tionen. Das sind also Gesetze wie etwa
X∪Y =Y ∪X,
X∩(Y ∩Z)=(X∩Y)∩Z,
(X ×X )∩(Y ×Y )=(X ∩Y )×(X ∩Y ),
1 2 1 2 1 1 2 2
usw. Die meisten sind so einfach und selbstverst¨andlich, daß wir es uns ersparen
wollen, sie alle aufzulisten. Stattdessen fu¨hren wir exemplarisch eine etwas kompli-
ziertere Identit¨at ausfu¨hrlich vor. Dabei sehen wir nebenbei, wie man generell die
Gleichheit zweier Mengen beweist:
1.4.Lemma. SeienM ,...,M undN ,...,N Mengen(r,s∈N).Danngelten
1 r 1 s
die beiden folgenden Distributivgesetze:
r s
(cid:16)\ (cid:17) (cid:16)\ (cid:17) \
M ∪ N = (M ∪N )
i j i j
i=1 j=1 i=1,...,r
j=1,...,s
und
r s
(cid:16)[ (cid:17) (cid:16)[ (cid:17) [
M ∩ N = (M ∩N ).
i j i j
i=1 j=1 i=1,...,r
j=1,...,s
Beweis. Wir beweisen die erste Gleichheit (der Beweis der zweiten geht ana-
log). Beachte: Auf der rechten Seite steht ein Durchschnitt von rs Mengen (i und
j laufen unabh¨angig voneinander). Man k¨onnte dieselbe Menge auch schreiben als
\
(M ∪N ),
i j
(i,j)∈{1,...,r}×{1,...,s}
4 I.GRUNDLAGEN
oder als
r s
\ \
(M ∩N ).
i j
i=1j=1
Eine Gleichheit “A=B” von zwei Mengen beweist man, indem man sowohl “A⊂
B” als auch “B ⊂A” zeigt.
T T
“⊂”: Sei x ∈ ( M )∪( N ), seien i ∈ {1,...,r} und j ∈ {1,...,s}. Ist
i i j j
x∈M ∪···∪M , so ist x∈M ; ist x∈N ∪···∪N , so ist x∈N . In jedem Fall
1 r i 1 s j
T
ist also x∈M ∪N . Dies fu¨r alle Paare (i,j) zeigt x∈ (M ∩N ).
i j i,j i j
T T
“⊃”:Seix∈ (M ∪N ).Fallsx∈ M ,sosindwirfertig.Wirk¨onnenalso
i,j i j i i
T
annehmen, daß x∈/ M fu¨r ein i∈{1,...,r} ist. Behaupte, dann ist x∈ N . In
i j j
der Tat, sei j ∈{1,...,r}. Nach Voraussetzung ist x∈M ∪N und x∈/ M . Also
i j i
muß x∈N sein. (cid:3)
j
1.5. Abbildungen: Seien X, Y Mengen. Eine Abbildung von X nach Y ist eine
Vorschrift,diejedemElementausX einElementausY zuordnet.Manschreibtsie
typischerweise in der Form
f: X →Y, x7→f(x) (x∈X).
Man nennt X die Definitionsmenge und Y die Zielmenge der Abbildung f. Die
MengeallerAbbildungenvonX nachY wirdmitAbb(X,Y)odermitYX bezeich-
net.
1.6. Beispiele.
1. Zwei Abbildungen f: X → Y und f0: X0 → Y0 sind gleich, wenn X = X0,
Y =Y0 und f(x)=f0(x) fu¨r alle x∈X ist. So ist etwa die Abbildung
f: R→R, f(x):=x2
zu unterscheiden von der Abbildung
g: R→[0,∞[, f(x):=x2,
die bis auf die Verkleinerung der Zielmenge dieselbe wie f ist.
2. Fu¨r jede Menge X hat man die identische Abbildung id = id : X → X,
X
x 7→ x (x ∈ X). Allgemeiner hat man fu¨r jede Teilmenge Y von X die Inklusion
i:Y →X, i(y)=y (y ∈Y).
3. Abbildungen f: {1,...,n} → X identifiziert man oft mit Elementen von
Xn, n¨amlich f mit (f(1),...,f(n)). Man identifiziert also Abb({1,...,n},X) =
X{1,...,n} mit Xn. Analog identifiziert man Abbildungen N→X mit (unendlichen)
Folgen (x ,x ,x ,...) von Elementen aus X.
1 2 3
1.7. Komposition: Sind f: X → Y und g: Y → Z Abbildungen, so kann man
siezusammensetzen,oderkomponieren:g◦f istdieAbbildungX →Z,x7→g(f(x))
(x∈X). Vorsicht: Die Komposition g◦f entsteht dadurch, daß man zuerst f und
dann g ausfu¨hrt! (Reihenfolge!)
Zwei Abbildungen kann man nur komponieren, wenn die Zielmenge der ersten
gleich der Definitionsmenge der zweiten ist.
Komposition von Abbildungen ist assoziativ: Ist h: Z →W eine dritte Abbil-
dung, so gilt (h◦g)◦f =h◦(g◦f), als Abbildungen X →W: Beide sind n¨amlich
die Abbildung x7→h(g(f(x))).
1. MENGEN UND ABBILDUNGEN 5
1.8. Beispiel. Ist f: R∪{∞}→R∪{∞} die folgende Abbildung

−1− 1 falls x∈/ {0,∞},
 x
f(x):= ∞ falls x=0,
−1 falls x=∞,
so ist f ◦f ◦f =id. (Man verifiziere dies durch Nachrechnen.)
1.9. Sei f: X → Y eine Abbildung. Fu¨r M ⊂ X heißt f(M) := {f(x):
x∈M} das Bild (oder die Bildmenge) von M; es ist f(M)⊂Y. Fu¨r N ⊂Y heißt
f−1(N) := {x ∈ X: f(x) ∈ N} das Urbild (oder die Urbildmenge) von N; es ist
f−1(N) ⊂ X. Ist M ⊂ X, so bezeichnet f| : M → Y, x 7→ f(x) (x ∈ M) die
M
Einschr¨ankung (oder Restriktion) von f auf M.
1.10. Beispiel. Die Abbildung f: R → R, f(x) = x2, hat als Bild die Teil-
menge
f(R)=[0,∞[={x∈R: x≥0}
von R. Fu¨r x∈R ist
(
∅ falls x<0,
f−1({x})= √ √
{ x, − x} falls x≥0
und

0 falls x<0,
(cid:12)(cid:12)f−1({x})(cid:12)(cid:12)=1 falls x=0,
2 falls x>0.
1.11. Bemerkung. Manchmal veranschaulicht man Abbildungen durch ihren
Graph: Ist f: X →Y eine Abbildung, so ist der Graph von f die Teilmenge
Γ :={(x,f(x)): x∈X}
f
von X×Y. Die Abbildung f kann man aus Γ wieder zuru¨ckgewinnen (wie?).
f
Beispiel:Istf: R→Rdefiniertdurchf(x)=x2,undidentifiziertmanR×R=
R2 mit den Punkten der Ebene, so ist Γ die Parabel.
f
6 I.GRUNDLAGEN
Es gibt Abbildungen, deren Graph man nicht malen kann, z.B. die Abbildung
(
1 falls x∈Q,
f: R→R, f(x):=
0 falls x∈/ Q.
Trotzdem ist das eine vollwertige (wenn auch keine stetige) Abbildung!
1.12. Die Abbildung f: X →Y heißt
• injektiv, wenn |f−1({y})| ≤ 1 fu¨r jedes y ∈ Y ist, oder anders gesagt,
wenn gilt:
(cid:16) (cid:17)
∀x,x0 ∈X f(x)=f(x0) ⇒ x=x0 ;
• surjektiv (oder Abbildung von X auf Y), wenn |f−1({y})| ≥ 1 fu¨r jedes
y ∈Y ist, oder anders gesagt, wenn gilt:
∀y ∈Y ∃x∈X f(x)=y;
• bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist, also wenn |f−1({y})| = 1 fu¨r
jedes y ∈Y ist.
Synonym verwendet man auch die Begriffe Injektion, Surjektion, Bijektion. H¨aufig
verwendet man Pfeile ,→ fu¨r Injektionen, bzw. (cid:16) fu¨r Surjektionen.
1.13. Umkehrabbildung: Wir nehmen jetzt an, daß die Abbildung f: X → X
bijektiv ist. Zu jedem y ∈ Y gibt es dann genau ein x ∈ X mit f(x) = y. Wir
k¨onnen also eine Abbildung f−1: Y → X (in umgekehrter Richtung!) definieren
durch
f−1: y 7→x, falls f(x)=y (y ∈Y).
Die Abbildung f−1: Y → X heißt die Umkehrabbildung (oder inverse Abbildung)
von f. Es gilt f−1 ◦ f = idX und f ◦ f−1 = idY. Auch f−1 ist bijektiv, und
(f−1)−1 =f.
Vorsicht: Die Notation fu¨r die Umkehrabbildung ist scheinbar dieselbe wie die
fu¨rdieUrbildmenge.Aberdasistnurscheinbarso,undkannnichtzuVerwechslun-
genfu¨hren:DieUmkehrabbildungwirdaufElemente aus Y angewandt,undliefert
Elemente aus X; die Operation “Urbildmenge nehmen” wird auf Teilmengen von
Y angewandtundliefertTeilmengen von X!Insbesonderemußman,fu¨ry ∈Y,das
Urbild von y,
f−1(y),
(ein Element von X) von der Urbildmenge von {y},
f−1({y}),
unterscheiden; es ist
f−1({y})={f−1(y)},
eine 1-elementige Teilmenge von X.
Ein weiterer Unterschied: Die Umkehrabbildung ist nur definiert, wenn f bi-
jektiv ist, w¨ahrend man Urbildmengen fu¨r beliebiges f bilden kann.
1.14. Die in Beispiel 1.6.3 erw¨ahnte Identifizierung (etwa) von Abbildungen
N → X mit Folgen (x1,x2,...) = (xi)i∈N von Elementen aus X verallgemeinert
sich auf beliebige Abbildungen wie folgt.
Sei I eine Menge (eine “Indexmenge”, wobei der Pr¨afix “Index” streng genom-
men die leere Bedeutung hat), und sei X eine Menge. Eine Abbildung x: I → X