Lineare Algebra für Wirtschaftswissenschaftler: Mit Aufgaben und Lösungen PDF
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Christoph Mayer / Carsten Weber Lineare Algebra für Wirtschaftswissenschaftler Christoph Mayer / Carsten Weber Lineare Algebra für Wi rtschaftswi ssenschaftl er Mit Aufgaben und Lösungen Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar. Dipl.-Kfm. Christoph Mayer ist Doktorand am Lehrstuhl für ABWL, Risikotheorie, Portfolio Manage ment und Versicherungswirtschaft sowie Dozent für Mathematik und Lineare Algebra an der Universität Mannheim. Dipl.-Kfm. Carsten Weber ist Doktorand am Lehrstuhl für ABWL, Risikotheorie, Portfolio Manage ment und Versicherungswirtschaft sowie Dozent für Mathematik und Lineare Algebra an der Universität Mannheim. 1. Auflage März 2004 Alle Rechte vorbehalten © Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004 Lektorat: Susanne Kramer / Renate Schilling Der Gabler Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen-und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier ISBN 978-3-409-12530-7 ISBN 978-3-322-91308-1 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-91308-1 Geleitwort Fundierte mathematische Kenntnisse sind ein integrativer Bestandteil des Studiums der Wirtschaftswissenschaften. Insbesondere ein fortgeschrittenes Studium der Linea ren Algebra ist unumgänglich. Die sich aus der Matrixrechnung ergebenden Vereinfa chungen in struktureller Hinsicht zählen zum Standardrepertoire der grundlegenden und weiterführenden wirtschaftswissenschaftlichen Methoden. Ohne eine Kenntnis dieser Grundlagen sind der akademischen Weiterbildung Grenzen gesetzt. Das vorliegende Lehrbuch ermöglicht es, diese Grenzen zu durchbrechen. Es setzt keinerlei Vorwissen im Bereich der Linearen Algebra voraus und befähigt somit jeden Leser, sich umfassende grundlegende, aber auch weiterführende Kenntnisse zu ver schaffen. Das Buch eignet sich besonders für den Einsatz während des wirtschaftswis senschaftlichen Studiums, bzw. dessen Vorbereitung, ist aber auch bei einer prakti schen Implementierung matrixgestützter Anwendungen sehr hilfreich. Den Autoren gelingt es in ihrem Werk, durch das Einbinden zahlreicher Beispiele das Verständnis der theoretischen Erklärungen zu erleichtern. Die gewählte Untergliede rung in mathematische Grundlagenkapitel und ökonomische Anwendungen, welche einen Bezug zu betriebs- und volkswirtschaftlichen Problemen herstellen, überzeugt dabei in vollem Maße. So finden die wichtigsten ökonomischen Modellformulierun gen aus der Linearen Algebra, wie beispielsweise das Leontief-Modell und Modelle der Linearen Programmierung, besonderen Eingang in das Lehrbuch. Diesem rundum gelungenen Buch wünsche ich die verdiente breite Anerkennung in der akademischen Lehre. Mannheim, Januar 2004 Prof. Dr. Peter Albrecht Vorwort Das vorliegende Lehrbuch ermöglicht einen Einstieg in die Lineare Algebra ohne jegli che Vorkenntnisse und schafft ein Basiswissen, welches einen Großteil der Anwen dungen der Matrixrechnung aus Betriebs- und Volkswirtschaftslehre abdeckt. Zu nächst als ein die Lehre begleitendes Skriptum konzipiert, hat sich der Inhalt dieses Lehrbuches an der Universität Mannheim über Jahre hinweg bewährt und wurde ständig verbessert, überarbeitet und ausgebaut. Der Aufbau des Buches ist sachgemäß und aus systematischer Sicht naheliegend. Nach einer Definition des Rechenobjektes Matrix und der grundlegenden Matrixoperatio nen folgt eine Anwendung der Matrixrechnung zur Lösung linearer Gleichungssyste me. Nachfolgend wird die Matrixinversion, die Determinante sowie der Rang einer Matrix eingeführt und deren vielseitige Verwendung, insbesondere bei der Lösung linearer Gleichungssysteme, ausführlich dargestellt. Anhand der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung, der innerbetrieblichen Materialverflechtung und des Leontief Modells werden ökonomische Anwendungen der vermittelten Kenntnisse demonst riert. Nach einer Einordnung der Matrixrechnung innerhalb der Vektorraumtheorie folgt schließlich eine kurze Betrachtung der linearen Programmierung. Um die theoretischen Formulierungen dem Leser zu verdeutlichen, werden Definitio nen und Herleitungen nicht einfach aneinandergereiht. Ausführliche Beispiele veran schaulichen die dargestellten Sachverhalte. Einen besonderen Höhepunkt bildet die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben inklusive deren Lösung zu jedem Kapitel. Sie ermöglichen eine Anwendung des vermittelten Wissens und die Überprü fung des Lernerfolges, was ein Selbststudium erleichtert. An dieser Stelle bedanken wir uns bei allen, die uns bei der Verwirklichung dieses Bu ches unterstützt haben. Hier ist insbesondere Herr Prof. Dr. Peter Albrecht zu nennen, dessen konstruktive Anregungen für das Gelingen des Buches sehr hilfreich waren. Wir wünschen Ihnen viel Freude bei der Lektüre dieses Buches. Für aktuelle Informa tionen besuchen Sie unsere begleitende Internetseite www.linearealgebra.de. Mannheim, Januar 2004 Christoph Mayer, Carsten Weber Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis GELEITWORT ...................•.•..•...........•.•.••....................................................................................... V VORWORT ........................................•......................................................................................... VII GRIECHISCHES ALPHABET UND MATHEMATISCHE SYMBOLE .................................................. XIII 1 GRUNDLAGEN DER MATRIXRECHNUNG 1 1.1 MATRIZEN UND VEKTOREN ........................................................................................... 1 1.2 MATRIXOPERATIONEN ................................................................................................... 4 1.3 RECHENREGELN UND MATRIXRELATIONEN .................................................................. 6 1.4 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME IN MATRIXDARSTELLUNG ........................................... 7 1.5 AUFGABEN .................................................................................................................... 11 2 INNERBETRIEBLICHE SIMULTANE LEISTUNGS VERRECHNUNG 19 2.1 EINORDNUNG UND METHODISCHE GRUNDLAGEN ...................................................... 19 2.2 AUFGABEN .................................................................................................................... 22 3 WEITERFÜHRENDE MATRIXRECHNUNG 31 3.1 DETERMINANTEN ......................................................................................................... 31 3.2 MATRIXINVERSION ....................................................................................................... 38 3.3 MATRIXGLEICHUNGEN ................................................................................................ .42 3.4 ANWENDUNG AUF LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME .................................................... 44 3.5 AUFGABEN ................................................................................................................... .46 IX Inhaltsverzeichnis 4 INNERBETRIEBLICHE MATERIAL VERFLECHTUNG 59 4.1 EINORDNUNG UND METHODISCHE GRUNDLAGEN .•...••..•...••.•......•....•.....•.••.•...•.•..•..•. .59 4.2 AUFGABEN •..•.......•••••.•....••••••.•...•••..•.•....•••.•.•.•...•••.•.•....•..••..••.••....•.....•.•.....•.••........•.••.• 63 5 LEONTIEF-MoDELL 73 5.1 EINORDNUNG UND MODELLGRUNDLAGEN ..•.•.•.....•.••............•.•.....•.•.....•..•...........•..... 73 5.2 AUFGABEN •..•..............................•....................•...................•..•.....•....•........•..•..........•..•8 0 6 ALLGEMEINE LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 89 6.1 LINEARKOMBINATIONEN, LINEARE (UN-) ABHÄNGIGKEIT ..................•...................... 89 6.2 RANG EINER MATRIX ...........................................................................................•........ 91 6.3 LÖSUNGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN .....................................•............. 93 6.4 LÖSUNGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN IN ABHÄNGIGKEIT VON PARAMETERN ............................................................................................................... 97 6.5 AUFGABEN .................................................................................................................. 100 7 VEKTORRAUMTHEORIE 109 7.1 AXIOME DES VEKTORRAUMS ...................................................................................... 109 7.2 SPEZIELLE VEKTORRÄUME UND UNTERRÄUME ......................................................... 112 7.3 ERZEUGENDENSYSTEM, BASIS UND DIMENSION VON UNTERRÄUMEN ..................... 113 7.4 LÖSUNGSMENGEN VON LINEAR HOMOGENEN GLEICHUNGSSYSTEMEN ALS UNTERRÄUME ............................................................................................................. 116 7.5 AUFGABEN .................................................................................................................. 118 x Inhaltsverzeichnis 8 LINEARE OPTIMIERUNG 127 8.1 AUFSTELLEN EINES VOLLSTÄNDIGEN LINEAREN PROGRAMMS .................................. 127 8.2 GRAPHISCHE LÖSUNG ................................................................................................ 128 8.3 ANALY TlSCHE LÖSUNG .............................................................................................. 133 8.4 AUFGABEN .................................................................................................................. 139 LÖSUNGEN 157 KAPITEL 1 ........................................................................................................................... 157 KAPITEL 2 ........................................................................................................................... 161 KAPITEL 3 ........................................................................................................................... 164 KAPITEL 4 ........................................................................................................................... 173 KAPITELS ........................................................................................................................... 176 KAPITEL 6 ........................................................................................................................... 181 KAPITEL 7 ........................................................................................................................... 187 KAPITEL 8 ........................................................................................................................... 195 SnCHWORTVERZEICHNIS .......................................................................................................... 203 XI Griechisches Alphabet und mathematische Symbole Griechisches Alphabet und mathematische Symbole A (l alpha '<:j der Allquantor (für alle) B ß beta :3 der Existenzquantor (es existiert ein) r y gamma Ln Xi die Summe über Xi von i = 1 bis n i;l ~ 0 delta /\ das logische Und E E epsilon v das logisches Oder Z ~ zeta das logisches Nicht H 11 eta e e theta [a;b] das geschlossene Intervall von abis b iota (a;b) das offene Intervall von abis b K K kappa 0, { } die leere Menge A f... lambda aEB a ist ein Element der Menge B M 11 mü aeB a ist kein Element der Menge B N v nü AcB die Menge A ist eine echte Teilmenge ~ xi ~ der Menge B 0 0 omicron A~B die Menge A ist eine unechte Teil- I1 1t pi menge der Menge B p p rho AuB die Vereinigungsmenge der Mengen E (J sigma AundB T tau 't AnB die Schnittmenge der Mengen A und B y u upsilon <l> cj>,q> phi X X chi 'I' 'V psi n (J) omega XIII 1 Grundlagen der Matrixrechnung 1.1 Matrizen und Vektoren Definition 1-1: Matrix Ein zweidimensionales, geordnetes Zahlenschema A mit den Kom ponenten 8ij eR, welches aus m Zeilen und n Spalten besteht, heißt (mxn)-Matrix und wird wie folgt dargestellt: A= ai1 <imn Dabei bezeichnet (m x n) [gesprochen: um Kreuz n die Ordnung der Matrix. Matrizen U] werden gewöhnlich mit lateinischen Großbuchstaben benannt. Unabhängig von ihrer Ordnung besitzt jede Matrix genau eine Hauptdiagonale, welche alle Komponenten aij mit i = j enthält. Beispiel 1-1: Anwendung der Matrixdarstellung Ein Unternehmen stellt n Produkte unter Verwendung von m Rohstoffen her. aij ist die Menge des Rohstoffs i, der zur Herstellung einer Einheit des Produkts j benötigt wird (Produktionskoeffizient). Neben einer tabellari schen Darstellung der Produktionskoeffizienten (unten links) ist auch eine Darstellung in Matrixform (unten rechts) möglich, durch welche die Pro duktionskoeffizienten operational zusammengefasst werden und somit di rekt in die Berechnung einfließen können.
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