Lineare Algebra für Informatiker: I. Grundlagen, diskrete Mathematik. II. Lineare Algebra

273 Pages·2000·8.26 MB·German

by  Prof. Dr. Bodo Pareigis (auth.)

Springer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Bodo Pareigis
Lineare Algebra
fur Informatiker
I. Grundlagen, diskrete Mathematik
II. Lineare Algebra
i
Springer
Prof. Dr. Bodo Pareigis
Ludwig-Maximilians-Universitiit Miinchen
Mathematisches Institut
TheresienstraBe 39
80333 Miinchen, Deutschland
e-mail: [email protected]
Mathematics Subject Classification (2000): 15-01
Die Deutsche Bibliothek -CIP-Einheitsaufnahme
Pareigis, Bodo:
Lineare Algebra fiir Informatiker I Bodo Pareigis.
(Springer-Lehrbuch)
ISBN 978-3-540-67533-4 ISBN 978-3-662-08384-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-08384-0
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Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2000
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Vorwort
Die Mathematik ist eine der tragcnden Wissensehaften fUr die Inforrnatik.
Daher wird ein Informatik-Student besonders in den friihen Semestern in
hohcm Maf3e mit den Grundlagen der Mathematik konfrontiert. Uber viele
Jahre hinweg habe ieh sclbst solche Anfanger-Vorlesungen tiber Grundlagen
der Mathematik und tiber line are Algebra fUr Informatiker an der Univer
sitat Mtinehen angcboten. Aus cliesen Vorlesungen ist das vorliegende Bueh
entstanden.
Die beiden Teile des Buehes entspreehen den beiden Grundvorlesungsse
mestern. Bei der Auswahl deH Stoffes habe ieh mieh an den Bedtirfnissen der
lnformatiker orientiert, ohne jedoch zu stark in eine algorithmische Behand
lung des Stoffes iiberzugehen. 1m Vordergrund stand irnmer das Verstandnis
fUr die hinter den rnathematischen Aussagen stehenden Strukturen. Dabei
kommen aueh viele Strukturen zur Sprache, die tragend fUr die Informa
tik sind. Erst das Verstandnis der hinter seinen Prograrnmen, Algorithmen
und Daten stehenden abstrakten Strukturen ermoglieht es dem Informatiker
schopferiseh zu arbeiten und neue Wege einzuschlagen.
Meine Vorlesungen waren nicht einfaeh eine Einfiihrung in die line are
Algebra, wie man sic oft fiir andere Ncbenfachstudenten halt, sondern Hie
sollten auch allgernein in die Mathematik einfiihren und Grundlagen fiir in
der Informatik verwendete mathcmatischc Bgriffe anbieten, die sonst schwie
rig in der Lehrbllchlitcratur zu findcn sind. So wurde neben eine griindliehe
(axiomatisehe) Einfiihrung der Mcngcnlehrc auch die Diskussion von Fuzzy
Mengen und von Multi-Mengen gcstellt. 1m Rahmen des Aufbaus des Zah
lens systems wurde die in der Inforrnatik haufig verwendete primitive Re
kursion besproehen. Die Einfiihrung der algebraischen Grundstrukturen ist
soweit gefiihrt worden, daB es den Informatik-Studenten spater leicht fallt,
algebraisehe Datenstrukturen und algehraische Spezifikationen zu verstehen.
Eine kurze Einfiihrung in die Graphentheorie fiihrt his zu binaren Baumen
und einigen ihrer Eigensehaftcn.
Der Teil zur linearen Algebra (Vorlesung fiir das zwcite Semester) fUhrte
aus Zeitgrtinden nur bis zu dell Euklidischen Vektorraumen, soil den Studen
ten jedoch helfen, die Briickc zwischen der Beschreibllng einfaeher geornetri-
VI Vorwort
scher Begriffe in affinen Raumen und ihrer algorithmischen Behandlung mit
Matrizen und damit auch mit geeigneten Computerprogrammen zu schla
gen. Es wurden einige fiir die Anwendung in der Informatik weniger wichtige
Gebiete der linearen Algebra ausgelassen, insbesondere Kapitel iiber qua
dratische Formen und Flachen, iiber die Jordansche Normalform und iiber
projektive Geometrie. Es fiel mir besonders schwer, den Stoff zur projekti
ven Geometrie zu streichen, da sie in der Computer-Graphik eine zentrale
SteHung einnimmt.
Ich habe mich bei der Auswahl des Stoffes auch an den Studienplanen
fUr das Informatik Studium an der Universiat Miinchen orientiert und hoffe,
daB mit der getroffenen Auswahl die fiir Informatiker wichtigsten mathemati
schen Begriffe aus den Grundlagen der Mathematik und der linearen Algebra
abgehandelt worden sind.
Ich hoffe, daB dieses Buch fUr die Informatik-Studenten, aber auch fUr
Mathematik-Studenten und Studenten, die die Mathematik als Nebenfach
gewahlt haben, niitzlich sein wird. Danken mochte ich den KoHegen aus
der Institut fUr Informatik der Universitat Miinchen, insbesondere Herrn
Prof. Dr. F. Kroger fUr viele Gesprache und Hinweise zur Stoffauswahl fUr
diese Vorlesung.
Miinchen, im Mai 2000 Bodo Pareigis
Inhaltsverzeichnis
Teil I. Grundlagen, diskrete Mathematik
1. Grundbegriffe der Mengenlehre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Mengen............................................... 3
1.2 Relationen und Abhildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19
1.3 Multimengen und Fuzzy-Mengen (fuzzy sets). . . . . . . . . . . . . .. 33
1.4 Aquivalenzrelationen.................................... 42
1.5 Ordnungen............................................ 49
2. Natiirliche Zahlen ........................................ 53
2.1 Die nattirlichen Zahlen und die vollstandige Induktion. . . . . .. 53
2.2 Primitive Rekursion .................................... 57
2.3 Die Strukturen auf den natiirlichen Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . .. 62
2.4 Anzahlaussagen........................................ 69
2.5 Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . .. 76
2.6 Ein kurzer Aufbau des Zahlensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86
3. Algebraische Grundstrukturen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91
3.1 Halbgruppen, Monoide und Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91
3.2 Homomorphismen...................................... 97
3.3 Freie Halbgruppen, Monoide und Gruppen. . . . . . . . . . . . . . . .. 99
3.4 Kongruenzrelationen und Restklassen ..................... 101
3.5 Restklassengruppen ..................................... 107
3.6 Ringe und Karper ...................................... 113
3.7 Boolesche Ringe und Algebren ........................... 118
4. Kombinatorik und Graphen .............................. 127
4.1 Schlichte Graphen ...................................... 127
4.2 Ebene Graphen ........................................ 130
4.3 BauIIle ................................................ 137
VIII Inhaltsverzeichnis
Teil II. Lineare Algebra
5. Vektorraume ............................................. 143
5.1 Grundbegriffe, Untervektorriiume ......................... 143
5.2 Linearkombinationen, Basen, Dimension ................... 151
5.3 Direkte Summen ....................................... 161
5.4 Lineare Abbildungen .................................... 166
5.5 Die darstellende Matrix ................................. 179
5.6 Restklassenriiume, affine Riiume .......................... 190
6. Matrizen und lineare Gleichungssysteme .................. 195
6.1 Lineare Gleichungssysteme ............................... 195
6.2 Das GauBsche Eliminationsverfahren ...................... 199
6.3 Inverse Matrizen, die LU-Zerlegung und die Pivot-Methode .. 206
6.4 Ein Kapitel Codierungstheorie ........................... 216
7. Eigenwerttheorie......................................... 227
7.1 Determinanten ......................................... 227
7.2 Eigenwerte und Eigenvektoren ........................... 234
7.3 Das charakteristische Polynom ........................... 236
7.4 Diagonalisierbare Matrizen und Endomorphismen .......... 238
7.5 Potenzmethode zur Bestimmung dominanter Eigenwerte (R.
v. Mises) ............................................. 240
8. Euklidische Vektorraume ................................. 243
8.1 Skalarprodukte ......................................... 243
8.2 Normierte Vektorriiume ................................. 247
8.3 Die Hessesche Normalform ............................... 252
8.4 Isometrien ............................................. 254
8.5 Orthogonale Matrizen ................................... 255
8.6 Adjungierte Abbildungen ................................ 258
8.7 Die Hauptachsentransformation .......................... 262
Literaturhinweise ............................................. 265
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Teil I
Grundlagen, diskrete Mathematik
1. Grund begriffe der Mengenlehre
An den Anfang der Mathematik stellt man gemeinhin die Mengenlehre. Sie
bietet die Sprache an, mit der sich Mathematiker verstandigen konnen, prazi
se, kurz, exakt, aber fUr den AuBenstehenden auch oft unverstandlich. Ihre
elementaren GrundbegrifIe sind jedoch leicht verstandlich. Mit der Sprache
der Mengen k6nnen alle mathematischen Ergebnisse und Einsichten formu
liert werden. Uber diese Sprachenfunktion und Hilfsfunktion hinaus ist die
Mengenlehre aber auch ein Teilgebiet der Mathematik, in der wesentliche
Forschung vor sich geht und besonders tiefliegende Resultate in den letzten
Jahrzehnten erzielt worden sind. Wir werden uns lediglich mit den Anfangs
grunden der Mengenlehre befassen und dabei die der Mathematik zugrunde
liegende Sprache einuben.
1.1 Mengen
Als GrundbegrifIe verwendet die Mathematik den BegrifI des Elements und
den der YIenge, die man sich aus Elementen zusammengefUgt vorstellt. Ele
mente k6nnen im wesentlichen alles sein, was wir uns vorstellen k6nnen. U nd
ihre Zusammenfassung zu einer Menge scheint eine fast triviale Angelegen
heit zu sein. Man kann von der Menge der Horer einer Vorlesung sprechen,
von der Menge aller Elementarteilchen des U niversums, von der Menge der
Speicherplatze eines Computers, von der Menge aller natiirlichen Zahlen,
von der Menge aller denkbaren Computerprogramme und von vielen anderen
Mengen.
Eine erste Definition des BegrifIes einer Menge geht auf Georg Cantor
zuruck. Er definierte wie folgt:
Definition 1.1.1 (Georg Cantor, 1845-1918; Vater der Mengenlehre): Ei
ne Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen
Objekten unserer Anschauung oder unseres Dcnkcns welche Elemente der
Menge genannt werden· zu einem Ganzen.
Die Bedeutung dieser Definition fUr die Mathematik wird durch einen
Ausspruch Hilberts unterstrichcn.
B. Pareigis, Lineare Algebra für Informatiker
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000