Lineare Algebra: Ein Skriptum für das erste Semester

249 Pages·1981·6.539 MB·German

by  Klaus Jänich (auth.)

Walter Strommer
Kanzo1wandstr. 6, T. 8940
7440 Nürtingen-Reudern
Hochschultext
Klaus Jänich
Lineare Algebra
Ein Skriptum für das erste Semester
Mit 78 Abbildungen und Diagrammen
Zweite Auflage
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg GmbH 1981
Klaus Jänich
Universität Regensburg, Fachbereich Mathematik
Universitätsstraße 31
D-8400 Regensburg
Illustrationen vom Verfasser
Schreibarbeiten Ema Dollinger
AMS Subject Classification (1970): 15-01, 15A03, 15A06, 15A09,
15A 15, 15A 18, 15A21
ISBN 978-3-540-10470-4
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Janich, Klaus:
Uneare Algebra : e. Skriptum für d. erste Semester I Klaus Jänich. - 2. Aufl.
ISBN 978-3-540-10470-4 ISBN 978-3-662-22100-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-22100-6
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1979, 1981
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork 1981
Gesamtherstellung: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr.
2144/3140-54321
Vorwort zur ersten Auflage
Ich will über die wirklichen oder vermeintlichen Vorzüge mei
nes eigenartigen Skriptums nicht reden, auch mich für seine
wirklichen oder vermeintlichen Mängel nicht entschuldigen,
sondern einfach nur zwei technische Hinweise geben, nämlich
1.) Der mit größerer Type geschriebene, etwas eingerückte
"Haupttext" gibt lakonisch aber vollständig den Stoff,
den ich vermitteln will, er ist im Prinzip auch für sich
allein lesbar und verständlich. Der mit kleinerer Type
bis an den linken Rand geschriebene "Nebentext" besteht
aus Erläuterung, Motivation und Gutem Zureden. Zuweilen
habe ich geschwankt und dann mit kleiner Type aber einge
rückt geschrieben.
2.) Einige Abschnitte sind "für Mathematiker" oder "für Physi
ker" überschrieben. Läßt man jeweils die eine Art dieser
Abschnitte aus, so bildet der Rest ein sinnvolles lesba
res Ganze.
Ich hoffe, daß jeder Benutzer dieses Skriptums etwas für ihn
Brauchbares darin finden wird, es sei nun Mathematik, Unter
haltung oder Trost.
Regensburg, im März 1979 K. Jänich
Vorwort zur zweiten Auflage
Einige Versehen, auf die mich aufmerksame Leser freundlich
hingewiesen haben, sind jetzt verbessert; sonst habe ich
nichts geändert.
Regensburg, im Juli 1980 Klaus Jänich
Inhaltsverzeichnis
§1 Mengen und Abbildungen
Grundkurs für alle: Mengen und Abbildungen
Mengen ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.•••••••••••••••••••
Abbildungen • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 7
Test 1 ••••••••••••••.••••••••••••..••••••.•••••••.••••••••.•••••••••••••••••. 13
Literaturhinweis •.••••••.••••••.•••.••••.••••••••••••••.•••.••.•••••••••••••• 14
tlbungen für alle • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 15
§2 Vektorräume
Grundkurs für alle: Reelle und komplexe Vektorräume
Reelle Vektorräume • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • . . • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • 17
Komplexe Zahlen und komplexe Vektorräume ••••.•••••••..•••••..••••• 24
Test 2 •..••••••••••••••••••••••••••••.•••••••..••••••••••••••••.•••••••••.••• 30
Fortsetzung des Grundkurses (für Mathematiker): Körper ••••••••••••••••••••••• 31
Fortsetzung des Grundkurses (für Physiker): Was sind Vektoren? .••.•••.•.•••.• 34
Historische Notiz (über komplexe Zahlen) ••••••••.•••••••••••••••••••••••••••• 37
Literaturhinweis •••••••••••••••••••••••••••.••.•••.•••.•••••••••••••••••••••• 39
tlbungen für Mathematiker • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • . • • • • • • . • • • • • • . . • • • • • • • • • • • • 39
Die (*)-Aufgabe • • • • • • • • • • . • • • • • • • . • • • • • . . • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • 40
tlbungen für Physiker ••••••.•••••••••••••.••••.•••••••.••••••••••••••••••••••• 41
§3 Dimensionen
Grundkurs für alle: Lineare Unabhängigkeit, Basis, Dimension •••.••••••••••••. 42
Test 3 ••••••••••••••••••••.•••••.•••••••••••.•••••••.••.•••••••••••••.••••••• 50
Fortsetzung des Grundkurses (für Mathematiker): Beweis des Basisergänzungs-
satzes und des Austauschlemmas •••••••••••••.••••••..•••.••••.••••••••••.••.•. 51
Fortsetzung des Grundkurses (für Physiker): Das Vektorprodukt ••.••.•••••••.•• 54
VIII
Historische Notiz (über den Steinitzschen Austauschsatz) •................... 59
Literaturhinweis . . • . . • • . • • . . . . . • • . . . . . . . • • . . • . . . . . . • . . . • . . . . • . . • . . . • • • • . . • • • 60
Übungen für Mathematiker • . . . . • . • • • . . • • . • • • • . . . . • . • • • • . • • . . . • . . . • • . . . • • . . • • • • 61
Die (*)-Aufgabe . . . • • . . • • . • . • • • • . • . . . . . . . . . . • • • • . . . • . • • • . • . . . . • . . . • . . . . • . . . . • 62
Übungen für Physiker . . . . • . . . . • . . . . • • . . . • . . . . . . . . . . . • • . . . . • . • • . . • . • • . . . • • . . . . 62
§4 Lineare Abbildungen
Grundkurs für alle: Lineare Abbildungen und Matrizen
Lineare Abbildungen . • . • • • • . . • . • . . • . . • . . • . . . • . . . . . • . . • . . . . . • • . . • • . 63
Matrizen . . . . . • • . . • • . . . • . . . . • • . . • . . . . . • • . • • . • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 69
Test 4 75
Fortsetzung des Grundkurses (für Mathematiker): Quotientenvektorräume ..••.•• 76
Fortsetzung des Grundkurses (für Physiker) : Drehungen und Spiegelungen des ~2 79
Historische Notiz (über Motive) . • • • • • • • . . . . . • . • . . . . . . . . • • . . . . . . . • • • • • • . • • • . • 84
Literaturhinweis . • . • . • • . • • • . . . . • • • • • • • • • . • • • • • • . . . . . • . . . . . . . • . • • • • . . . . • . • . . • 85
Übungen für Mathematiker . . . • . • • • • • . • . . • • • . . • . . • . • • • . . • • . • • . • • • • • • • . • . . . . . • . • 86
Die (*)-Aufgabe . . . . . . • . . . . . . . . . . • . . • . . . • • . . . . . . • • . • . • . . • . . • • . • . . . • . . . • • . • . • • 87
Übungen für Physiker • • • • • • • . • • . • • . • . . . . • • • . . • . . . . . . • . . . . . . • • • • . • . • • • . . . • • • . • 87
§5 Matrizenrechnung
Grundkurs für alle: Matrizenrechnung
Multiplikation . • . . • . . • • . . . • . • • • • • • . . . . . • . . • . . . • • . . • . • . • . . • • . . • • . • 89
Rang einer Matrix . . • . • • . . • . • . • • • • . . . • . . . • . • • • . . . • • • • . . . . . • • . . • • • . 94
Elementare Umformungen . • . . . . • • • • . • . • . . • • . . • . • . • . . • • • • . . . . . . • • • . • . 95
Rangbestimmungsverfahren • • . . • . . • . . . . . . • . . . • • • . . . . • . • . • • • . . • . . . • . . 97
Test 5 98
Fortsetzung des Grundkurses (für Mathematiker): Wie invertiert man eine
Matrix? . . . • • • • . . . • • . • . • • • • . . . • • • • • . • . . . . • . • • . . • • • . • • . . . . . . • . • • • . • • • . • . . . • • • . 99
Fortsetzung des Grundkurses (für Physiker): Mehr über Drehungen und
Spiegelungen . • . . . . . . • • • • • • . . . . . • . . . • . • • • • . • • • . . • . . . . • • . • . . . . . • . . • . . . . . • . . . . • 102
Historische Notiz (über Matrizen) . • . . . . . . • • • • . • . • . • • . . • . . . . . . • . • . • . . . . • • • • . • 105
Literaturhinweis • . . • • • • . . . • . . • . . • . . • • . . • . . • • . . . • . . • . . . • . . . . . • • • • • • • . • . • • . • . . 106
Übungen für Mathematiker • . • • . • • . • . . . . . • . • • . • • . • . • . . • . . . • • . • • . . . • • • . . . • . . . . . . 107
Die (*)-Aufgabe . • . • . . • • • • . • . • . • • • • • . • • . . . • • . • . . • • • . • • . . • . • . • • • • • • • . • . . • . . . . • 108
Übungen für Physiker • . • • • • . • • • • • • • • . . • • • • . . • • . . . • . . • . • • . . . . . . • • • . • . . . • • • • • • • 108
IX
§6 Die Determinante
Grundkurs für alle: Die Determinante • • • • . • • • . • • • • • • . • • • • • • • • • • • • . . • • • • • • . • • . 110
Test 6 •••.•••••..••.•••••••.••••••.•••••......•••••.•.••••••••••.•••••••.••• 119
Fortsetzung des Grundkurses (für alle):
(a) Determinante eines Endemorphismus 120
(b) Orientierte Vektorräume •..••.•••.•••••••••••.••••.••••••.••.. 121
Historische Notiz (über die Determinante) .••.•.•.••••.••..•••..•••••.••..•.• 124
Übungen für Mathematiker ••••.•.••••••••.••••..•.•••.••..•••••••.••••.•..•••• 124
Die (*)-Aufgabe .••••••..••••.•.•••.••••.••...••••••••••..••.••••••.•••.••.•• 125
Übungen für Physiker . • • • • • • • • • • • • • . • • • • . . • • • • • . • • • • . • • • • . • . • . • • • • • • • • • • • • • • • 126
§7 Lineare Gleichungssysteme
Grundkurs für alle: Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 127
Gaußscher Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme •••.•• 131
Test 7 133
Fortsetzung des Grundkurses (für Mathematiker): Mehr über lineare
Gleichungssysteme • • • • • . • • • . • • • • • • . • • • • • • • • . • • • • • • . • • • • • • • . • • • . • • • • • • • • • • • • • • 135
Fortsetzung des Grundkurses (für Physiker): Wiegen mit der Kamera ••••.•••••• 138
Historische Notiz (über Gleichungssysteme) ••••••••..•••••..•••..••.••••••••• 141
Literaturhinweis •••.••••••..•••.•••••••••••.•••.••••.••••..•••.••..••••••.•• 141
Übungen für Mathematiker ••.•••.•••..•••.••...•••••.•••••••••.••••••••••••••• 142
Drei (*)-Aufgaben • . • • . • • • • . • • • • • • • . • • • . . • • • • • • • • • • . • • • . • • . • • • • • • • • • • . . • • • . • • 142
tlbungen für Physiker •..•••.•••.••..•••.•••••••••••.•••.••••••••••.•••.•.••.• 143
§8 Affine Geometrie
Grundkurs
Affine Teilräume eines Vektorraums •••.••.••..••..••••.••••.•••••. 145
Affine Hülle und allgemeine Lage .••••.•.••.••••••••.•..•..•.•.••• 148
Affine Abbildungen ••.••..••••••••••••••••••.••••••••..••••..••••• 150
Konvexität •••..•••••••••.•..••••••••••••••...•..••••••.•••.•••••• 152
Test 8 155
tlbungen für Mathematiker •••••••••••.••••••.•••.•••.••••••.••...••.••••.••••. 157
Drei (*)-Aufgaben • • • . • • • • • • . • • . • • • • • • . • • • . • • • • . • • • • • • • • • • . . • • • • • • . • • . • • • • • • . 158
Übungen für Physiker •••.•••.••••••.•••.•••.••..••.•••••.•..••.•••••••.•••••• 158
X
§9 Euklidische Vektorräume
Grundkurs
Skalarprodukte •...•...•••....••.....•.....•...................•.. 160
Orthogonal, orthonormal 163
Orthogonale Abbildungen 167
Gruppen . . . . . • . . . . . . . . . . • . . . . . • . . . . . . . . . • . • . . • . . . . . . • . . . . . • • . . . . . . 168
Test 9 170
tlbungen für Mathematiker . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Drei (*)-Aufgaben . . . . . • • . • . • • . . . • . . . . . . . . . • . • . . . . . . . . • . . . . . . • . . . . . . . • . . . . . . . 173
tlbungen für Physiker . • . . • . . . . . . . • . . . . . • . . . . • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . • . . . . 173
§10 Klassifikation von Matrizen
Grundkurs
Was heißt "Klassifizieren"? ......•...•.•........•.•.........•.... 175
Äquivalenzrelationen für Matrizen .•.•...••....•....•.......•.•... 179
Ausführliche Motivation am Beispiel~ .••...•....•......•...•••.•. 181
2
Bedeutung von ~, ~, - 183
I 3 4
Die Klassifikationssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . 187
Test 10 190
tlbungen für Mathematiker .•........•.....•....•.........••.•........•........ 192
Zwei (*)-Aufgaben ••••..•••••.•..••••..••..•.•..•.••.•••....•.•.•...•..••••.• 193
tlbungen für Physiker ..........•...•......................................... 193
§11 Eigenwerte
Grundkurs
Eigenwerte, Eigenvektoren . • • . . • . . • • . . . . . . . . • . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Direkte Summen • . . • • . . • • . • • • . • . . . . . . . . • . . . . . • . . . . • . . . . . • . . . . . • . . . . 196
Diagonalisierbarkeit von Endemorphismen ...•....•.....•.•....•.... 199
Das charakteristische Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . • . . . . • . . . . . . . 201
Test 11 203
tlbungen für Mathematiker • . . . . . . . • . . . . . . . . • • . . . . • . . . . . • . . . • . . . . . • . . . • . . • . . . • . 204
Zwei (*)-Aufgaben . . . . • • . . . . . . • . • . . . . . . . • . . . . . • . • . . . • • . . . . . • . . . • . • . • • • . . . . . . . 205
Obungen für Physiker . • . • . . . . . . . . . . • . • . • . . . . • . . . . • • . . . • • . . . . . . . . . • . . . . . • • . . • . 205