Lineare Algebra: Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick auf die Praxis

346 Pages·2015·3.598 MB·German

by  Jörg Liesen, Volker Mehrmann

Springer Studium Mathematik – Bachelor
Jörg Liesen
Volker Mehrmann
Lineare
Algebra
Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick
auf die Praxis
2. Aufl age
Springer Studium Mathematik – Bachelor
Herausgegebenvon
Prof.Dr.MartinAigner,FreieUniversitätBerlin
Prof.Dr.HeikeFaßbender,TechnischeUniversitätBraunschweig
Prof.Dr.BarbaraGentz,UniversitätBielefeld
Prof.Dr.DanielGrieser,UniversitätOldenburg
Prof.Dr.PeterGritzmann,TechnischeUniversitätMünchen
Prof.Dr.JürgKramer,Humboldt-UniversitätzuBerlinInstitutfürMathematik
Prof.Dr.VolkerMehrmann,TechnischeUniversitätBerlin
Prof.Dr.GisbertWüstholz
Die Reihe „Springer Studium Mathematik“ richtet sich an Studierendealler mathemati-
schenStudiengängeundanStudierende,diesichmitMathematikinVerbindungmiteinem
anderen Studienfach intensiv beschäftigen, wie auch an Personen, die in der Anwen-
dung oder der Vermittlung von Mathematik tätig sind. Sie bietet Studierenden während
desgesamtenStudiumseinenschnellenZugangzudenwichtigstenmathematischenTeil-
gebieten entsprechend den gängigen Modulen. Die Reihevermittelt neben einer soliden
GrundausbildunginMathematikauchfachübergreifendeKompetenzen.Insbesondereim
BachelorstudiummöchtedieReihedieStudierendenfürdiePrinzipienundArbeitsweisen
derMathematikbegeistern.DieLehr-undÜbungsbücherunterstützenbeiderKlausurvor-
bereitung und enthalten neben vielen Beispielen und Übungsaufgabenauch Grundlagen
undHilfen,diebeimÜbergangvonderSchulezurHochschuleamAnfangdesStudiums
benötigtwerden.WeiterbegleitetdieReihedieStudierendenimfortgeschrittenenBache-
lorstudiumundzuBeginndesMasterstudiumsbeiderVertiefungundSpezialisierungin
einzelnen mathematischen Gebieten mit den passenden Lehrbüchern.Für den Master in
MathematikstelltdieReihezurfachlichenExpertiseBändezuweiterführendenThemen
mitforschungsnahenEinblickenindiemoderneMathematikzurVerfügung.DieBücher
könnendemAngebotderHochschulenentsprechendauchinenglischerSpracheabgefasst
sein.
WeitereBändedieserReihefindensieunter
http://www.springer.com/series/13446
(cid:2)
Jörg Liesen Volker Mehrmann
Lineare Algebra
Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick auf
die Praxis
2., überarbeitete Auflage
JörgLiesen VolkerMehrmann
InstitutfürMathematik InstitutfürMathematik
TechnischeUniversitätBerlin TechnischeUniversitätBerlin
Berlin,Deutschland Berlin,Deutschland
ISBN978-3-658-06609-3 ISBN978-3-658-06610-9(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-06610-9
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SpringerSpektrum
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speicherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen.
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rechtigtauch ohnebesondere Kennzeichnung nicht zuderAnnahme, dasssolcheNamenimSinneder
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benutztwerdendürften.
GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier.
SpringerSpektrumisteineMarkevonSpringerDE.SpringerDEistTeilderFachverlagsgruppeSpringer
Science+BusinessMedia
www.springer-spektrum.de
Vorwort zur 2. Auflage
Inder2.AuflagehabenwireinigekleinereKorrekturenundErgänzungenvorgenommen,
den Aufbau des Buches im Vergleich zur 1. Auflage jedoch nicht verändert. Allen Le-
serinnenundLesernder1.Auflage,dieunsTippfehler,mathematischeUngenauigkeiten
undVerbesserungsvorschlägemitgeteilthaben,möchtenwirherzlichdanken.EineErrata-
Listefürdie1.AuflagefindetsichaufderWebseite
http://www.tu-berlin.de/?78581
und dort werden wir auch eine Liste mit Verbesserungen der 2. Auflage zur Verfügung
stellen.
Unser besonderer Dank gilt Olivier Sète, der den Entwurf der 2. Auflage gründlich
durchgearbeitet und uns zahlreiche nützliche Hinweise gegeben hat. Außerdem danken
wirLeonhardBatzke,CarlDeBoor,SadeghJokar,RobertLuce,ChristianMehl,JanPeter
Schäfermeier, Daniel Wachsmuth und Gisbert Wüstholz. Ulrike Schmickler-Hirzebruch
und die Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter des Springer-Spektrum-Verlagshaben uns bei
derFertigstellungdieserAuflageunseresBucheswiederausgezeichnetunterstützt.
Berlin,imNovember2014 JörgLiesenundVolkerMehrmann
V
Vorwort
DasInstrument,welchesdieVermittlungbewirktzwischenTheorieundPraxis,
zwischenDenkenundBeobachten,istdieMathematik;siebautdieverbindende
Brückeundgestaltetsieimmertragfähiger.Daherkommtes,dassunsere
ganzegegenwärtigeKultur,soweitsieaufdergeistigenDurchdringungund
DienstbarmachungderNaturberuht,ihreGrundlageinderMathematikfindet.
(DavidHilbert)
DieseEinschätzungdesberühmtendeutschenMathematikersDavidHilbert(1862–1943)
ist heute aktueller denn je. Die Mathematik hat nicht nur die klassischen Naturwissen-
schaften Biologie, Chemie und Physik durchdrungen, ihre Methoden sind auch unver-
zichtbargewordenindenIngenieurwissenschaften,immodernenWirtschaftsleben,inder
Medizin und in vielen anderen Lebensbereichen. Die fortschreitende Mathematisierung
derWelt wirdermöglichtdurchdie transversale StärkederMathematik:Diein der Ma-
thematikentwickeltenabstraktenObjekteundOperationenkönnenzurBeschreibungund
LösungvonProblemenindenunterschiedlichstenSituationenbenutztwerden.
Währendder hoheAbstraktionsgrad der modernenMathematik ihre Einsatzmöglich-
keitenständigerweitert,stellterfürStudierendebesondersindenerstenSemestern eine
großeHerausforderungdar.VieleneueundungewohnteBegriffesindzuverstehenundder
sichereUmgangmitihnenistzuerlernen.UmdieStudierendenfürdieMathematikzube-
geistern,istesfürunsalsLehrendeeinerGrundlagenvorlesungwiederLinearenAlgebra
besonders wichtig, die Mathematik als eine lebendige Wissenschaft in ihren Gesamtzu-
sammenhängen zu vermitteln. In diesem Buch zeigen wir anhand kurzer historischer
Notizen im Text und einer Liste ausgewählter historischer Arbeiten am Ende, dass der
heutigeVorlesungsstoffderLinearenAlgebradasErgebniseinesvonMenschengestalte-
ten,sichentwickelndenProzessesist.
EinwesentlicherLeitgedankediesesBuchesistdasAufzeigenderunmittelbarenprak-
tischenRelevanzderentwickeltenTheorie.GleichzuBeginndesBuchesillustrierenwir
das Auftreten von Konzepten der Linearen Algebra in einigen Alltagssituationen. Wir
diskutierenunteranderemmathematischeGrundlagenderInternetSuchmaschineGoogle
undderPrämienberechnunginderKFZ-Versicherung.DieseundweitereamAnfangvor-
gestellteAnwendungenuntersuchenwirinspäterenKapitelnmitHilfedertheoretischen
VII
VIII Vorwort
Resultate. Dabeigeht es unsnichtvorrangigum die konkretenBeispiele selbst oder um
ihreLösung,sondernumdieDarstellungderobenerwähntentransversalenStärkemathe-
matischerMethodenimKontextderLinearenAlgebra.
DaszentraleObjektinunseremZugangzurLinearenAlgebraistdieMatrix.Wirfüh-
renMatrizensofortnachderDiskussionvonunverzichtbarenmathematischenGrundlagen
ein. Über mehrere Kapitel studieren wir ihre wichtigsten Eigenschaften, bevor wir den
SprungzudenabstraktenVektorräumenundHomomorphismenmachen.UnsererErfah-
rung nach führt der matrizenorientierte Zugang zur Linearen Algebra zu einer besseren
AnschauungundsomitzumbesserenVerständnisderabstraktenKonzepte.
Diesem Ziel dienen auch die über das Buch verteilten MATLAB-Minuten1, in denen
die Leserinnen und Leser wichtige Resultate und Konzepte am Rechner nachvollziehen
können. Die notwendigen Vorkenntnisse für diese kurzen Übungen werden im Anhang
erläutert. Neben den MATLAB-Minuten gibt es eine Vielzahl von klassischen Übungs-
aufgaben,fürdienurPapierundBleistiftbenötigtwerden.
Ein weiterer Vorteil der matrizenorientierten Darstellung in der Linearen Algebra ist
dieErleichterungder späterenAnwendungtheoretischer Resultateundihrer Umsetzung
inpraxisrelevanteAlgorithmen.Matrizentrifftmanheuteüberalldortan,woDatensyste-
matischgeordnetundverarbeitetwerden.DiesistinfastallentypischenBerufsfeldernder
Bachelor-StudierendenmathematischerStudiengängevonBedeutung.Hieraufausgerich-
tet ist auch die Stoffauswahl zu den Themen Matrix-Funktionen,Singulärwertzerlegung
undKroneckerprodukteimhinterenTeildesBuches.
Trotz manchem Hinweis auch auf algorithmische und numerische Aspekte steht in
diesemBuchdieTheoriederLinearenAlgebraimVordergrund.DemdeutschenPhysiker
GustavRobertKirchhoff(1824–1887)wirdderSatzzugeschrieben:
„EineguteTheorieistdasPraktischste,wasesgibt.“
IndiesemSinnemöchtenwirunserenZugangverstandenwissen.
DiesesBuchbasiertaufunserenVorlesungenanderTUChemnitzundderTUBerlin.
WirmöchtenunsbeiallenStudierenden,MitarbeiterinnenundMitarbeiternsowieKolle-
ginnenundKollegenbedanken,dieunsbeimErstellenundKorrekturlesenvonSkripten,
FormulierenvonAufgabenundinhaltlichenGestaltenderVorlesungenunterstützthaben.
InsbesonderegiltunserDankAndréGaul,FlorianGoßler,DanielKreßner,RobertLuce,
Christian Mehl, Matthias Pester, RobertPolzin, Timo Reis, Olivier Sète, TatjanaStykel,
ElifTopcu,WolfgangWüllingundAndreasZeiser.
Ebenfalls bedanken möchten wir uns bei den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des
Vieweg+TeubnerVerlagsundhier insbesonderebeiFrau UlrikeSchmickler-Hirzebruch,
dieunserVorhabenstetsfreundlichunterstützthat.
Berlin,imMai2011 JörgLiesenundVolkerMehrmann
1MATLAB®isteineingetragenesWarenzeichenvonTheMathWorksInc.
Inhaltsverzeichnis
1 LineareAlgebraimAlltag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 DerPageRank-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 SchadensfreiheitsklasseninderKraftfahrzeug-Versicherung . . . . . . . . 3
1.3 ProduktionsplanungineinemverarbeitendenBetrieb . . . . . . . . . . . . 5
1.4 LineareRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Schaltkreissimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 MathematischeGrundbegriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 MengenundAussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Relationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 AlgebraischeStrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 RingeundKörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 GrundlegendeDefinitionenundOperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Matrizengruppenund-ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 DieTreppennormalformundderRangvonMatrizen. . . . . . . . . . . . . . 57
5.1 Elementarmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 DieTreppennormalformundderGauß’scheAlgorithmus. . . . . . . . . . 59
5.3 RangundÄquivalenzvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 LineareGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
IX
X Inhaltsverzeichnis
7 DeterminantenvonMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.1 DefinitionderDeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2 EinigeEigenschaftenderDeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.3 MinorenunddieLaplace-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8 DascharakteristischePolynomundEigenwertevonMatrizen . . . . . . . . 105
8.1 DascharakteristischePolynomundderSatzvonCayley-Hamilton . . . . 105
8.2 EigenwerteundEigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.3 EigenvektorenstochastischerMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.1 GrundlegendeDefinitionenundEigenschaftenvonVektorräumen . . . . 119
9.2 BasenundDimensionvonVektorräumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.3 KoordinatenundBasisübergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.4 BeziehungenzwischenVektorräumenundihrenDimensionen . . . . . . . 134
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10 LineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.1 GrundlegendeDefinitionenundEigenschaftenvonlinearenAbbildungen 141
10.2 LineareAbbildungenundMatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11 LinearformenundBilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.1 LinearformenundDualräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2 Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.3 Sesquilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12 EuklidischeundunitäreVektorräume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.1 SkalarprodukteundNormen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.2 Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
12.3 DasVektor-ProduktimR3;1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
13 AdjungiertelineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
13.1 GrundlegendeDefinitionenundEigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 197
13.2 AdjungierteEndomorphismenundMatrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207