Lineare Algebra: Ein geometrischer Zugang

327 Pages·2003·8.02 MB·German

by  Professor Dr. Gerald Farin, Dr. Dianne Hansford (auth.)

Springer-Lehrbuch
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Gerald Farin Dianne Hansford
Lineare Algebra:
Ein geometrischer Zugang
U¨bersetztvonGuidoBrunnett
1 3
ProfessorDr.GeraldFarin Dr.DianneHansford
ArizonaStateUniversity 3DCompressionTechnologies
Dept.ofComputerScience&Engineering 4952EastMockingbirdLane
Tempe,AZ85287-5406 ParadiseValley,AZ85253
USA USA
e-mail:[email protected] e-mail:[email protected]
U¨bersetzer
ProfessorDr.GuidoBrunnett
TechnischeUniversitätChemnitz
FachbereichInformatik
StraßederNationen62
09111Chemnitz
Deutschland
e-mail:[email protected]
MathematicsSubjectClassification(2000):15-01
DieDeutscheBibliothek–CIP-Einheitsaufnahme
Farin,Gerald:
LineareAlgebra:eingeometrischerZugang/G.Farin;D.Hansford.AusdemEngl.übers.vonGuidoBrunnett.-
Berlin;Heidelberg;NewYork;Barcelona;Hongkong;London;Mailand;Paris;Tokio:Springer,2002
(Springer-Lehrbuch)
ISBN 978-3-540-41854-2 ISBN 978-3-642-55841-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-55841-2
U¨bersetzungderenglischenAusgabe:TheGeometryToolboxforGraphicsandModelingvonGeraldE.Farinand
DianneHansford.AKPeters,Natick,Massachusetts1998
ISBN 978-3-540-41854-2
DiesesWerkisturheberrechtlichgeschu¨tzt.Diedadurchbegru¨ndetenRechte,insbesonderediederÜbersetzung,des
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©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2003
Ursprünglich eschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2003
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Vorwort
Wir leben in einem visuellen Zeitalter. Das Fernsehen ist ein Teil des t¨agli-
chen Lebens geworden, und Computer spielen eine st¨andig wichtiger wer-
dende Rolle. Das World Wide Web unterstu¨tzt in zunehmendem Maße die
Beschaffung von Informationen, und viele dieser Informationen werden als
Bilder dargestellt.
VerschiedeneTeilgebietederNatur-undIngenieurwissenschaftensindder
MotoreinerEntwicklung,diezueinerbest¨andiggr¨oßerwerdendenBedeutung
dervisuellenInformationfu¨hren:Computergraphik,Kommunikationstechno-
logien und der ¨alteste Zweig der Mathematik, die Geometrie, zusammen mit
ihrem mehr computerorientierten Partner, der linearen Algebra.
GeometrieundlineareAlgebrasindvongrundlegenderWichtigkeitinvie-
len Bereichen, einschließlich der Ingenieurwissenschaften, des wissenschaftli-
chen Rechnens und der Computergraphik. Geometrische Konzepte werden
seit Jahrzehnten weitgehend auf der Grundlage trockener linearer Algebra
vermittelt, dargestellt von einem theoretischen Standpunkt, der die geome-
trische Natur des Themas nur selten in den Mittelpunkt der Untersuchung
stellt.DiesesBuchn¨ahertsichderlinearenAlgebravoneinemgeometrischen
StandpunktausundvermitteltdieGeometrieausalgorithmischerSichtweise.
Dazu geh¨ort, dass wir fu¨r jede Matrix- oder Vektorgleichung die geometri-
scheBedeutung in den Vordergrundru¨cken,anstatt reineRechenu¨bungen in
Matrixarithmetik durchzufu¨hren.
Dieses Buch richtet sich an jeden, der die grundlegenden Konzepte der
Geometrie und der linearenAlgebra erlernenm¨ochte, sei es als Student oder
alsAnwender,dessenWissenschoneinwenigeingerostetist.Dertheoretische
Anspruch wird gering gehalten – weshalb wir oftmals exakte Beweise durch
Beispiele und Bilder ersetzen.
Inhaltsu¨bersicht
Unter Zuhilfenahme vieler Abbildungen werden in den Kap. 1 bis 9 zwei-
dimensionale Konzepte dargestellt. Das Verst¨andnis dieser Konzepte wird
vertieft durch ihreBehandlung in drei Dimensionen (sofern sie dortanwend-
barsind)indenKap.10bis13.DadiedreidimensionaleWeltaufKonzepten
beruht, die in 2 Dimensionen nicht existieren, mu¨ssen diese ebenfalls unter-
VT Vorwort
sucht werden. Höhere Dimensionen werden nur verwendet, um systematische
~. .. rethoden zur Lösung allgemeiner linearer Gleichungssysteme in Kap. 14 ein
zuführen. In Kap. 8 und 15 werden Dreiecke und Polygone als grundlegende
gL'Ometrische Objekte behandelt, welche von großer 13e<!cutung Hit· die Er
zeugung computergenet'iener Bilder sind. InK ap. 16 werden die Gntndlagen
zur Erzeugung von Kurven vorgestellt; dies ist ein schönes Beispiel dafiir, wie
geometrische Konzepte angewendet werden können.
Am Ende eines jeden Kapitels finden Sie Übungsaufgaben, und im An
hang B werden einige (ausgewählte) Lösungen präsentiert. Anhang A gibt ei
ne Einführung in die Postscript.--Sprache. Dieser kurze Lehrgang bietet genug
Informationen, um es dem Leser zu ermöglichen, seine egienen Postscript.-
Bilder, iilmlich zu denen in diesem Buch, zu erzeugen.
Dieses Buch wird illustriert durch Abbildungen und Skizzen. Die Abbil
dungen sind im Ilegelfall rL'Cht komplex und stellen die Anwendung eines
Konzeptes dar, während die einfiIcheren Skizzen dazu dienen, Einzelheiten
eines Konzepts darzustellen. Die Skizzen sind handgezeichnet. Sie verdeutli
chen die Möglichkeit, die eine schnell erstellte Skizze für das Verstehen und
Einprägen VOll Kon;.;epten bietet.
Einsatz in der Lehre
Dieses Buch sit für StudienanHinger und Studenten vor dem Vordiplom ge
schrieben worden. Es eignet sich als Einführung in die lineare Algebra. für
Ingenieure oder Illformatikcr genauso wie als generelle Einführung in die
Geometrie. Darüber hinaus bietet es eine ideale Vorbereitung für die Com
putcrgraphik und das Geometrische Modellieren.
Für eine einscmestrige Einfiihrung in die lineare Algebra sollten die fol
getHlen Kapitel herangezogen werden: I bis 7, 9,1 2 und 14.
Für die einsemestrige Einführung in die Geometrie eignen sich Kap.1 bis
6,8 und 10 bis 13.
Zur Vorbcreitullg auf die Computergrilpl1ik und das geometrische ~. .. Iodel
Jieren schlagen wir die Kap. 1 bis 6, 8, 15 und 16 vor.
Materialien im Internet
Diescs Buch besitzt eine Webscite: I
http://eros.cagd.eas.asu.edu/-farin/gbook/gbook.html.
Diese Seite enthült allgemeine InfonnatiOllel1 sowie neue Bearbeitungen;
cs finden sich dort die meisten Postscript-Files sowie sämtliche Datell, auf
Links auf diese Seite linden sieh a ucha lLf den Homepages des Verlages und der
Autoren.
Vorwort VII
die im TextBezug genommenwird.Hinweisezum Ladendieser Files werden
auf der Webseite gegeben.
Postscript ist eine Sprache zur Beschreibung zweidimensionaler Ob-
jekte; als fortgeschrittener Leser sind Sie m¨oglicherweise daran interes-
siert, die mit Geomview erstellten Beispiele zu verwenden. Hierzu besu-
chen Sie die Webseite des Geometry Center der Universit¨at von Minnesota.
http://www.geom.umn.edu/software/geomview/. (Leider ist diese Soft-
waregegenw¨artignurfu¨rUnixverfu¨gbar.)DieGeomviewFilessindebenfalls
auf der Webseite dieses Buches verfu¨gbar.
Danksagung
WirbedankenunsbeiW.Boehm,H.Eaton,R.Goldman,J.Hanson,D.Hol-
liday,R.Pidiparti,A.Razdan,B.Steinberg,M.Throl,H.Wolters,A.Worsey.
Wir bedanken uns daru¨ber hinaus bei allen Mitarbeitern des amerikani-
schen Verlages, die dazu beigetragen haben, das Schreiben dieses Buches zu
einer angenehmen Erfahrung werden zu lassen.
ParadiseValley, AZ, Gerald Farin
April 1998 Dianne Hansford
Inhaltsverzeichnis
1 Descartes’ Entdeckung.................................... 1
1.1 Lokale und globale Koordinaten in 2D .................... 2
1.2 Der U¨bergang von globalen auf lokale Koordinaten ......... 7
1.3 Lokale und globale Koordinaten in 3D .................... 8
1.4 Wir verlassenden Quader ............................... 10
1.5 Wie man Koordinaten erh¨alt............................. 11
1.6 Aufgaben.............................................. 13
2 Hier und Dort: Punkte und Vektoren in 2D .............. 15
2.1 Punkte und Vektoren ................................... 16
2.2 Wo liegen die Unterschiede? ............................. 18
2.3 Vektorfelder ........................................... 20
2.4 Wie Punkte kombiniert werden........................... 22
2.5 Die L¨ange eines Vektors ................................. 24
2.6 Lineare Unabh¨angigkeit ................................. 27
2.7 Das Skalarprodukt...................................... 28
2.8 Ungleichungen ......................................... 33
2.9 Aufgaben.............................................. 34
3 Geraden in 2D............................................ 35
3.1 Definition der Geraden.................................. 35
3.2 Die Parameterdarstellungeiner Geraden................... 37
3.3 Die implizite Darstellung einer Geraden ................... 39
3.4 Die explizite Darstellung einer Geraden ................... 42
3.5 Konvertierung zwischen parametrischer
und impliziter Darstellung............................... 43
3.5.1 Umwandlung von parametrisch zu implizit........... 43
3.5.2 Umwandlung von implizit zu parametrisch........... 44
3.6 Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden .............. 46
3.6.1 Abstandsberechnung bei impliziter Darstellung....... 46
3.6.2 Abstandsberechnung fu¨r eine parametrischeDarstellung 48
3.7 Der Lotfußpunkt ....................................... 50
3.8 Treffpunkte: Zur Berechnung von Schnittpunkten........... 51
3.8.1 Parametrischeund implizite Darstellung............. 52
X Inhaltsverzeichnis
3.8.2 Zwei parametrische Darstellungen .................. 54
3.8.3 Zwei implizite Darstellungen....................... 56
3.9 Aufgaben.............................................. 57
4 Lineare Abbildungen in 2D ............................... 59
4.1 Schiefes Zielgebiet ...................................... 60
4.2 Die Matrixdarstellung................................... 61
4.3 Weiteres u¨ber Matrizen ................................. 63
4.4 Skalierungen ........................................... 66
4.5 Spiegelungen........................................... 68
4.6 Rotationen ............................................ 70
4.7 Scherungen ............................................ 71
4.8 Projektionen........................................... 73
4.9 Fl¨acheninhalte und lineare Abbildungen: Determinanten..... 76
4.10 Hintereinanderschaltung linearer Abbildungen.............. 79
4.11 Weiteres u¨ber Matrixmultiplikation ....................... 83
4.12 Weitere Gesetze der Matrixarithmetik..................... 84
4.13 Aufgaben.............................................. 85
5 Lineare Systeme der Dimension 2×2 ..................... 87
5.1 Koordinatentransformationen ............................ 88
5.2 Die Matrixdarstellung................................... 89
5.3 Ein direkter Ansatz: die Cramer’scheRegel ................ 90
5.4 Gauß-Elimination ...................................... 91
5.5 Invertierung von Abbildungen und Matrizen ............... 93
5.6 Unl¨osbare Systeme ..................................... 100
5.7 Unterbestimmte Systeme ................................ 100
5.8 Homogene Systeme ..................................... 101
5.9 Numerische Strategien: Pivotelemente..................... 102
5.10 Bestimmung einer Abbildung ............................ 104
5.11 Aufgaben.............................................. 104
6 Dinge in Bewegung setzen:
Affine Abbildungen....................................... 107
6.1 Affine und lineare Abbildungen........................... 107
6.2 Translationen .......................................... 109
6.3 Allgemeinere affine Abbildungen.......................... 110
6.4 Dreiecke auf Dreiecke abbilden ........................... 112
6.5 Hintereinanderausfu¨hrung affiner Abbildungen ............. 114
6.6 Aufgaben.............................................. 118
7 Eigenwerte und Eigenvektoren............................ 121
7.1 Fixierte Richtungen..................................... 122
7.2 Eigenwerte ............................................ 123
7.3 Eigenvektoren.......................................... 125