Lineare Algebra, Analytische Geometrie II [Lecture notes]

76 Pages·2006·0.87 MB·German

by  Annette Huber-Klawitter

Skript
Lineare Algebra, Analytische Geometrie II
geh(cid:246)rt bei
Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter
Universit(cid:228)t Leipzig
Stand: 27. November 2006
Zusammengestellt von
Marcel Dennhardt
Lineare Algebra, Analytische Geometrie II
Dieses Skript fasst die Mitschriften der Vorlesung Lineare Algebra, Analytische Geometrie II aus dem
Sommersemester 2006 bei Frau Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter zusammen. Die Vorlesung kn(cid:252)pft an
den ersten, von Prof. Dr. Bernd Herzog gehaltenen Teil aus dem Wintersemester 2005/2006 an.
F(cid:252)r Fehlerfreiheit kann nicht garantiert werden. Werden Fehler gefunden, so bitte ich deswegen, mir
selbige per E-Mail ([email protected]) mitzuteilen.
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DieseDateidarfjederzeitgedruckt,vervielf(cid:228)ltigtundnicht-kommerziellver(cid:246)(cid:27)entlichtwerden,dochstellt
sie keinen Ersatz f(cid:252)r den Besuch der Veranstaltung dar!
Das Skript wird in Absprache mit Frau Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter vorlesungsbegleitend aktuali-
siert und erg(cid:228)nzt. Die jeweils aktuellste Version ist unter www.macdevil.net verf(cid:252)gbar. Die vorliegende
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Version stammt vom 27. November 2006.
Universit(cid:228)t Leipzig 2
Lineare Algebra, Analytische Geometrie II Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
5 Eigenwerte und Eigenvektoren 4
5.1 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5.2 Das charakteristische Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.3 Exkurs Eigenschaften von Polynomringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.4 Fahnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.5 Das Minimalpolynom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.6 Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 Euklidische und unit(cid:228)re Vektorr(cid:228)ume 15
6.1 Skalarprodukte, Normen, Metriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
6.2 Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7 Bilineare Abbildungen 23
7.1 Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Tensoren in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8 A(cid:30)ne und projektive Geometrie 36
8.1 A(cid:30)ne R(cid:228)ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8.2 Der projektive Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.3 A(cid:30)ne Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.4 Dualit(cid:228)tsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
9 Kegelschnitte 46
10 Jordansche Normalform 51
10.1 Anwendung: Die Normalform von Jordan-Chevalley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
10.2 Lineare Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
11 Algebren 67
11.1 Anwendungen von Λ(V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
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Lineare Algebra, Analytische Geometrie II 5. Eigenwerte und Eigenvektoren
5 Eigenwerte und Eigenvektoren
De(cid:28)nition 5.1. Sei f : V → V Endomorphismus eines Vektorraums V. Ein Vektor v ∈ V \{0} hei(cid:255)t
Eigenvektor zum Eigenwert λ∈K, falls gilt:
f(v)=λv
EineBasisv1,...,vn vonV hei(cid:255)tEigenbasis,fallsallevi Eigenvektorensind(zubeliebigenEigenwerten).
Zu λ∈K hei(cid:255)t
V ={v ∈V :f(v)=λv}
λ
Eigenraum zu λ.
Beispiel.
a) R2 →R2 Spiegelung:DieAbbildungl(cid:228)sstdenVektor(cid:18)→(cid:16) fest,eristEigenvektorzumEigenwert1.(cid:18)↑(cid:16) und(cid:18)↓(cid:16) sind
EigenvektorenzumEigenwert−1.
b) R2→R2 RotationumWinkelα:DieAbbildungl(cid:228)sstkeinenVektorfest.EsgibtkeineEigenvektoren,au(cid:255)erbei:
α=0◦,360◦,...:AlleVektorensindEigenvektorenzumEigenwert1:R2=R2
1
α=180◦,...:PunktspiegelungamUrsprung,Eigenwert−1:R2 =R2
−1
Bemerkung.
(i) v =0 wird ausgeschlossen, denn λ·0=0 f(cid:252)r alle λ∈K. λ=0 ist erlaubt.
(ii) Vλ ist Untervektorraum von V.
(iii) λ Eigenvektor⇔Vλ 6=0
(iv) Begri(cid:27)e der englischen Literatur: eigenvector, eigenvalue, eigenbasis, eigenspace
(v) Sei v1,...,vn Eigenbasis zu den Eigenwerten λ1,...,λn.
5.1 Diagonalisierbarkeit
De(cid:28)nition 5.2. Ein Endomorphismus f : V → V hei(cid:255)t diagonalisierbar, wenn es eine Basis v1,...,vn
gibt, so dass die darstellbare Matrix eine Diagonalmatrix ist (cid:21) mit anderen Worten, wenn v1,...,vn eine
Eigenbasis ist.
Bemerkung. Man sagt auch: Die Matrix A ∈ Mn×n(K) ist diagonalisierbar, wenn die zugeh(cid:246)rige li-
neare Abbildung diagonalisierbar ist, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix S ∈ GLn(K) mit SAS−1
Diagonalmatrix.
Beispiel.
f :K2→K2, Multiplikationmit`21´
02
„ « „ «„ « „ « „ «
2x+y 2 1 x x λx
= =λ =
2y 0 2 y y λy
2y=λy ⇒ λ=2 oder y=0
| {z } |{z}
⇓ ⇓
2x+y=2x 2x=λx
⇓ ⇓
y=0 x=0oderλ=2
Also:y=0,λ=2,xbeliebig.f hatnureinenEigenwert,n(cid:228)mlich2.Eigenraumzurλ=2:
„ « ff
x
v2= 0 :x∈K
EsgibtkeineEigenbasis.
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Lineare Algebra, Analytische Geometrie II 5. Eigenwerte und Eigenvektoren
5.2 Das charakteristische Polynom
De(cid:28)nition 5.3. Sei f :V →V linear und V ein endlich-dimensionaler Vektorraum. Dann hei(cid:255)t
χ (T)=det(f −T Id)
f
charakteristisches Polynom von f.
(cid:0) (cid:1)
Bemerkung. Sei v ={v1,...,vn} Basis von V, A= aij die darstellende Matrix von f.
 
1 0 (
 ... =(cid:0)δij(cid:1), δij = 10 iso=nsjt
0 1
χ (T)=det(Mv(f −T Id))
f v
=det(A−T Id)
X (cid:0) (cid:1)(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
= signσ a −Tδ a −Tδ ··· a −Tδ
1σ(1) 1σ(1) 2σ(2) 2σ(2) nσ(n) nσ(n)
σ∈Sn
Dies ist ein Polynom in der Variablen T.
σ =Id (−1)nTn ist der h(cid:246)chste Term:
χf(T)=(−1)nTn+Terme niedrigerer Ordnung
Also hat χf(T) den Grad n=dimV.
Satz 5.4. Sei f Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums. Dann sind folgende Aussa-
gen (cid:228)quivalent:
(i) λ ist ein Eigenwert von f.
(ii) λ ist Nullstelle von χf(T).
Beweis. (i)⇒(ii):SeiλEigenwert,d.h.f(v)=λv,v6=0⇔(f−λId)(v)=0,v6=0
λistEigenwert⇔ker(f−λId)6=0⇔det(f−λId)=0 (cid:3)
| {z }
=χf(λ)
Beispiel. Betrachtef :R2→R2 Drehungumα,d.h.Multiplikationmit`cosα−sinα´.GesuchtsinddieEigenwerte.
sinα cosα
„ «
cosα−T −sinα
χ (T)=det
f sinα cosα−T
=(cosα−T)2+sin2α
=cos2α−2cosαT +T2+sin2α
χf(T)=0,d.h.
(cosα−T)2+sin2α=0
⇔ (cosα−T)2=−sin2α
⇔ T =cosα ∧ sinα=0
F(cid:252)rα6=0,180◦ istsinα=0,cosα=1,−1,d.h.χf(T)hatdieNullstelle1bzw.−1,f hatdenEigenwert1bzw.−1.
WassinddieEigenvektoren?
„ «„ « „ «
1 0 x x
α=0◦: =1·
0 1 y y
erf(cid:252)lltf(cid:252)ralle`xy´∈R2.
„ «„ « „ «
−1 0 x x
α=180◦: =(−1)·
0 −1 y y
erf(cid:252)lltf(cid:252)ralle`xy´∈R2.
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Lineare Algebra, Analytische Geometrie II 5. Eigenwerte und Eigenvektoren
5.3 Exkurs Eigenschaften von Polynomringen
De(cid:28)nition 5.5. Sei K ein K(cid:246)rper. Ein formaler Ausdruck der Form
P (T)=a0+a1T +a2T2+...+anTn, ai ∈K, an 6=0 oder P (T)=0
hei(cid:255)t Polynom vom Grad n.
K[T]=Menge aller Polynome (cid:252)ber K
(Pedantisch: Ein Polynom ist eine Folge (a0,a1,a2,...), ai ∈K mit ai =0 f(cid:252)r i(cid:29)0.)
Bemerkung (Nachtrag). Fasse P (T) als Abbildung auf:
P :K →K, λ7→P (λ)=a +a λ+ λ2+...+a λn
0 1 2 n
Fasse P (T) als Abbildung auf:
P :EndV →EndV, f 7→P (f)=a Id+a f +a f ◦f +...+a fn
0 1 2 n
Folgendes Diagramm ist kommutativ:
P
EndV −−−−→ EndV
 
Wahl  
dve1r,.B..,avsnisy y
M (K) −−−−→ M (K)
n×n n×n
P
Lemma 5.6. K[T] ist ein Ring1 mit der Addition
(cid:0)a +a T1+...+a Tn(cid:1)+(cid:0)b +b T1+...+b Tm(cid:1)=(a +b )+(a +b )T +...
0 1 n 0 1 m 0 0 1 1
und der Multiplikation
(cid:0)a +a T1+...+a Tn(cid:1)(cid:0)b +b T1+...+b Tm(cid:1)
0 1 n 0 1 m
=a b +(a b +a b )T +(a b +a b +a b )T2+...+a b Tn+m
0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 1 m m
 
n+m
X X
=  aibjTk.
k=0 i+j=k
Beweis.
K[T]istkommutativbez(cid:252)glich(cid:18)+(cid:16):
(cid:21) Assoziativit(cid:228)tgilt,da(cid:18)+(cid:16) inK assoziativist.
(cid:21) Kommutativit(cid:228)tgilt,da(cid:18)+(cid:16) inK kommutativist.
(cid:21) 0istneutralesElementinK[T],da0neutralesElementinK.
(cid:21) Inversesbez(cid:252)glich(cid:18)+(cid:16) f(cid:252)ra0+a1T +...+anTn ist−a0−a1T −...−anTn.
Bez(cid:252)glich(cid:18)·(cid:16) gilt:
(cid:21) Zuzeigen:
PQ=QP 9
>=
P(QR)=(PQ)R (cid:220)bungsaufgabe!
P(Q+R)=PQ+PR>;
1K[T]={(a0,a1,a2,...)∈K∞:Esgibtnmitai=0f(cid:252)ri≥n.}
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Lineare Algebra, Analytische Geometrie II 5. Eigenwerte und Eigenvektoren
EigenschaftenderMutliplikationaufMonomen:
Ti·Tj =Ti+j
DieAusdehnungaufbeliebigePolynomebenutztgeradedieRechenregeln. (cid:3)
De(cid:28)nition 5.7. SeiP =a0+a1T+...+anTn ∈K[T],λ∈K.DannistP (λ)=a0+a1λ+...+anλn ∈K.
λ hei(cid:255)t Nullstelle von P, falls P (λ) = 0. K hei(cid:255)t algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante
Polynom eine Nullstelle hat.
Beispiel. QundRsindnichtalgebraischabgeschlossen:T2+1hatkeineNullstelle.
AuchF2 istnichtalgebraischabgeschlossen,daT2+T +1keineNullstellehat.
Cistalgebraischabgeschlossen.2
Bemerkung. Jeder K(cid:246)rper K ist in einem algebraisch abgeschlossenen K(cid:246)rper K¯ enthalten.3
Beispiel. K(cid:246)rperderalgebraischenZahlen:
Q¯ ={α∈C:αistNullstelleeinesP ∈Q[T]}
Vorsicht!WeshalbistdaseinK(cid:246)rper?
Satz 5.8. Sei P ∈K[T]. Dann gilt:
P =(T −α )ν1(T −α )ν2···(T −α )νn ·C
1 2 n
mit αi ∈ K paarweise verschieden, νi ≥ 1, n ≥ 0, C ∈ K[T] ohne Nullstellen. Ist K algebraisch
abeschlossen, so gilt C =const., C ∈K.
Bemerkung. F(cid:252)r P =χf sind die αi gerade die Eigenwerte von f.
Beweis. Induktion nach degP:
(cid:21) degP =0⇒P =C=const.X
degP =1,P =a0+a1T (a1=6=0)a1“T + aa10”,a1=C,α1=−aa01,ν=1X
(cid:21) DerSatzseibewiesenf(cid:252)rallePolynomevomGrad≤n.SeiF ∈K[T]vomGradn+1.
Erster Fall:F hatkeineNullstelle.DannistF =C.Esistnichtszuzeigen.
Zweiter Fall:F hateineNullstelleα∈K.PolynomdivisionvonF durch(T −α)ergibt:F =Q(T −α)+R
degR<deg(T −α)=1
Einsetzenvonα:
F(α)=(α−α)Q(α)+R=R
|{z} | {z }
=0 =0
Also:
F =(T −α)Q, degQ=degF −1=n
Q kann nach Induktionsvoraussetzung als Produkt von Linearfaktoren mal C geschrieben werden, also auch: F =
(T −α)Q (cid:3)
Bemerkung. K algebraisch abgeschlossen ⇒ χf hat eine Nullstelle, d.h. f hat einen Eigenwert. Hat V
eine Eigenbasis? Nein!
Beispiel. Betrachte`21´:
02
χ (T)=(2−T)2
f
Aber:
V2={(x0):x∈K} (dimV2=1)
2BeweisinFunktionentheorieoderAlgebraI.
3BeweisinAlgebraIbenutztZornschesLemma.
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Lineare Algebra, Analytische Geometrie II 5. Eigenwerte und Eigenvektoren
De(cid:28)nition 5.9. Sei f : V → V Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums, λ Eigenwert
von f. Dann hei(cid:255)t dimVλ geometrische Multiplizit(cid:228)t. Die Multiplizit(cid:228)t von λ in χf hei(cid:255)t algebraische
Vielfachheit.
Satz 5.10. Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum, f :V →V Endomorphismus. Seien λ1,...,λn
die Eigenwerte von f mit geometrischer Vielfachheit µi und algebraischer Vielfachheit νi. Dann gilt
µ ≤ν , i=1,...,n.
i i
Dann sind folgende Aussagen (cid:228)quivalent:
(i) Das charakteristische Polynom χf zerf(cid:228)llt in Linearfaktoren. µi =νi f(cid:252)r i=1,...,n.
(ii) V hat eine Eigenbasis bez(cid:252)glich f.
(iii) Es gilt V ∼=Vλ1 ⊕...⊕Vλn.
Beweis. Sei λ Eigenwert, v1,...,vk Basis von Vλ. Erg(cid:228)nze zu einer Basis v1,...,vN von V. Berechne χf in der Basis
v1,...,vN:Matrixvonf bez(cid:252)glichdieserBasis:
0λ 0 ··· 0 1
B .. C
ff((vv12))==λλvv129>>>= BBBBB0... λ ... .... A CCCCC
f(fvk(+vk1))==?λvk>>>;⇒M =BBBBBB@00... ······ ······ λ0... B CCCCCCA
0 ··· ··· 0
x (T)=det(M−λT)=det(λId−TId)detB−TId=(λ−T)kdet(B−TId)
f
geometrischeVielfachheit=dimVλ=k≤algebraischeVielfachheitvonλ
(i)⇒(ii):Seiv1,...,vn eineEigenbasis.DannistdiedarstellendeMatrixvonf bez(cid:252)glichv1,...,vn eineDiagonalmatrix.
DascharakteristischePolynomhatdanndieForm
(λ1−T)ν1(λ2−T)ν2···(λk−T)νk,
wobeiλi−T geradesooftauftritt,wiederEigenvektorλi f(cid:252)rv1,...,vn.
Also:algebraischeVielfachheit=geometrischeVielfachheitundχf zerf(cid:228)lltinLinearfaktoren.
(ii)⇒(iii):Seiµi=νi f(cid:252)ralleEigenwerteλ1,...,λn.Wirbetrachten
ϕ:V ⊕V ⊕...⊕V →V
λ1 λ2 λn
(v1,v2,...,vn)7→v1+v2+...+vn
DieseAbbildungistlinear.NachVoraussetzunggilt:
n n n
` ´ X X (i)X
dim Vλ1⊕...⊕Vλn = dimVλi = µi = νi=degχf,
i=1 i=1 i=1
daχf inLinearfaktorenzerf(cid:228)llt:
χf(T)=(λ1−T)ν1(λ2−T)ν2···(λn−T)νn
Also:
degχ =dimV,
f
d.h.beideSeitenhabendieselbeDimension.
Behauptung:ϕistbijektiv.(⇔ϕinjektiv)
Beweis. Zuzeigen:vi∈Vλi mitv1+v2+...+vn=0⇒vi=0
Angenommen (v1,...,vn) ∈ kerϕ\{0}. Sei s die Anzahl der i mit vi 6= 0, also s ≥ 1. O.B.d.A. ist v1,...,vs 6= 0 und
vs+1=...=vn=0.Seisdiekleinstm(cid:246)glicheZahlmitdieserEigenschaft.
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Lineare Algebra, Analytische Geometrie II 5. Eigenwerte und Eigenvektoren
1
s=1bedeutet Pvi=0,alsov1=0.Widerspruch!Esgiltalsos>1.AlsogibteswenigstenszweiverschiedeneEigenwerte
i=1
undesgibteinenEigenwertungleichNull,o.B.d.A.seiλ16=0.Esgilt:
v1+v2+...+vs=0 ⇒ 0=f(v1)+f(v2)+...+f(vs)
=λ1v1+λ2v2+...+λsvs
=v1+ λ2v2+...+ λsvs
λ1 λ1
BeideGleichungenzusammenergeben:
„1− λ2«v2+„1− λ3«v3+...+„1− λs«vs=0
λ1 λ1 λ1
| {z } | {z } | {z }
∈Vλ2\{0} ∈Vλ3\{0} ∈Vλs\{0}
DiesisteinWiderspruchzurWahlvons.Alsogilt:kerϕ=0
DasDiagramm
ϕ
V ⊕...⊕V −−−−−→ V
λ1 λn ∼=
? ?
h?y ?yf h:(v1,...,vn)7→(λ1v1,...,λnvn)
V ⊕...⊕V −−−∼=−−→ V
λ1 λn ϕ
istkommutativ.
SSeeiivv1112,,......,,vvµµ1211 BBaassiissvvoonnVVλλ12..9>>>>>>=
BasisvonVnach(iii)
.
Seiv1n,.....,vµn1 BasisvonVλn.>>>>>>;
DiesistdiegesuchteEigenbasis. (cid:3)
Korollar 5.11. Sei f :V →V Endomorphismus eines n-dimensionalen Vektorraums. f habe n verschie-
dene Eigenwerte, d.h. χf hat n verschiedene Nullstellen. Dann ist f diagonalisierbar (es existiert eine
Eigenbasis).
5.10
Beweis. Nach De(cid:28)nition ist µi ≥ 1 und nach Voraussetzung ist νi = 1 ≤ µi ≤ νi. Also gilt µi = νi f(cid:252)r i = 1,...,n.
(i)⇒(ii)besagt,dasseseineEigenbasisgibt. (cid:3)
Bemerkung. In der Physik nennt man Eigenr(cid:228)ume mit geometrischer Vielfachheit gr(cid:246)(cid:255)er 1 degeneriert.
Durch kleine St(cid:246)rungen wird die Matrix nichtdegeneriert. (cid:220)ber C ist jede nichtdegenerierte Matrix dia-
gonalisierbar.
Satz 5.12. Sei K algebraisch abgeschlossen, V endlich-dimensional und f : V → V Endomorphismus.
Dann gibt es eine Basis von V,so dass die darstellende Matrix von f bez(cid:252)glich dieser Basis eine Drei-
ecksmatrix ist.
01 1 ··· 01
Beispiel. Kn mitderStandardbasis,A=BBBBB@...... ... ...... 1...CCCCCA.
0 ··· ··· 1
DieUnterr(cid:228)umehe1,...,eiiwerdenvonf insichabgebildet.
5.4 Fahnen
De(cid:28)nition 5.13. Sei V ein Vektorraum. Eine Fahne der L(cid:228)nge r von V ist eine echt aufsteigende Folge
von Untervektorr(cid:228)umen:
V (V (V (...(V
0 1 2 r
Die Fahne hei(cid:255)t vollst(cid:228)ndig, wenn
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Lineare Algebra, Analytische Geometrie II 5. Eigenwerte und Eigenvektoren
(i) V0 =0,
(ii) Vr =V,
(iii) dimVi+1 =dimVi+1.
Sei f ein Endomorphismus. Ein Untervektorraum U ⊂ V hei(cid:255)t f-invariant oder stabil unter f, falls
f(U)⊂U. Eine Fahne hei(cid:255)t f-invariant, falls alle Vi f-invariant sind.
Beispiel.
a) 0⊂V isteinef-invarianteFahne,vollst(cid:228)ndiggenaudann,wenndimV =1.
b) Vλ⊂V istf-invariant,dennf(v)=λv∈Vλ,v∈Vλ.
c) v1,...,vn BasisvonV.Vi=hv1,...,vii.DieVi bildeneinevollst(cid:228)ndigeFahne.
d) Gegeben eine vollst(cid:228)ndige, f-invariante Fahne Vi. dimV1 = 1, v 6= 0 in V1. f(v) ∈ V1 ⇒ f(v) = λv f(cid:252)r ein λ ∈ K
Eigenvektor.
Satz 5.14. Sei K algebraisch abgeschlossen, V endlich-dimensionaler K-Vektorraum, f :V →V Endo-
morphismus. Dann existiert eine vollst(cid:228)ndige f-invariante Fahne.
Beweis. Induktion nach dimV.IstdimV =0,istnichtszuzeigen.
Seinunn=dimV >0.V0=0.Seiv einEigenvektorzumEigenwertλ,V1=hvi.
Danngiltf(µv)=λµv∈V1.
SeiV0=V/V1={v+V1:v∈V},%:V →V0,v7→v+V1.
f
V −−−−−→ V
? ?
%? ?%
y y
V0 −−−−−→ V0
f0
Setzef0:V0→V0,v+V17→f(v)+V1.
f0 istlinear:
f0((v+V1)+(w+V1))=f0(v+w+V1)
=f(v+w)+V1
=f(v)+f(w)+V1
=(f(v)+V1)+(f(w)+V1)
=f0(v+V1)+f(w+V1)
Wohlde(cid:28)niertheitvonf0:
v+V1=w+V1
Zuzeigen:f(v)+V1=f(w)+V1.
⇔v−w∈V1.
⇒f(v)−f(w)=f(v−w)=λv−w∈V1
⇔f(v)+V1=f(w)+V1.
EsgiltdimV0=dimV −dimV1=n−1.WirwendendieInduktionsvoraussetzungauff0:V0→V0 an.Alsoexistierteine
vollst(cid:228)ndigeFahnef0-invarianteFahneinV0:
0⊂V0⊂V0⊂V0⊂...⊂V0 =V0
1 2 3 n
f0`V0´⊂V0, dimV0=i−1
i i i
SeiVi=%−1`Vi0´.
%−1`V10´=%−1(0)=V1.
⇒0=V0⊂V1⊂V2⊂...⊂Vn
Vn=%−1(Vn0)=%−1(V0)=V,da%:V →V0=V/V1.
Behauptung:dimVi=i.F(cid:252)ri=0richtig.
Seinuni>0.%:V →V0 istsurjektiv.⇒%|Vi :Vi→Vi0 istsurjektiv.
Dimensionsformel:dimVi=dimim%|Vi+dimker%|Vi =dimVi0+dimV1=i−1+1=i.
Universit(cid:228)t Leipzig 10