Lineare Algebra

138 Pages·1975·3.74 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Theo Kreutzkamp

ML
Mathematik für die
Lehrerausbildung
Buchmann
Nichteuklidische Elementargeometrie
Einführung in ein Modell
126 Seiten. DM 18,80
Freund / Sorger
Aussagenlogik und Beweisverfahren
136 Seiten. DM 14,80
Kreutzkamp / Neunzig
Lineare Algebra
136 Seiten. DM 15,80
Messerle
Zahlbereichserweiterungen
119 Seiten. DM 15,80
Walser
Wahrscheinlichkeitsrechnung
164 Seiten. DM 15,80
Die Reihe Mathematik für die Lehrerausbildung
wird durch weitere Bände fortgesetzt.
Preisänderungen vorbehalten.
B. G. Teubner Stuttgart
Mathematik für die Lehrerausbildung
Th. Kreutzkamp / W. Neunzig
Lineare Algebra
Mathematik für die
Lehrerausbildung
Herausgegeben von
Prof. Dr. G. Buchmann, Flensburg, Prof. Dr. H. Freund, Kiel
Prof. Dr. P. Sorger, Kiel, Dr. W. Walser, Baden/Schweiz
Die Reihe Mathematik für die Lehrerausbildung behandelt studiumsgerecht in
Form einzelner aufeinander abgestimmter Bausteine grundlegende und weiter
führende Themen aus dem gesamten Ausbildungsbereich der Mathematik für
Lehrerstudenten. Die einzelnen Bände umfassen den Stoff, der in einer ein
semestrigen Vorlesung dargeboten wird. Die Erfordernisse der Lehreraus
bildung berücksichtigt in besonderer Weise der dreiteilige Aufbau der einzel
nen Kapitel jedes Bandes: Der erste Teil hat motivierenden Charakter. Der
Motivationsteil bereitet den zweiten, theoretisch-systematischen Teil vor.
Der dritte, auf die Schulpraxis bezogene Teil zeigt die Anwendung der Theorie
im Unterricht. Aufgrund dieser Konzeption eignet sich die Reihe besonders
zum Gebrauch neben Vorlesungen,zur Prüfungsvorbereitung sowie zur Fort
bildung von Lehrern an Grund-, Haupt-und Realschulen.
Lineare Algebra
Von Dr. rer. nato Th. Kreutzkamp
Professor an der Pädagogischen Hochschule Freiburg
und Dr. phil. W. Neunzig
Professor an der Pädagogischen Hochschule Freiburg
1975. Mit 24 Figuren sowie zahlreichen Beispielen und Aufgaben
B. G. Teubner Stuttgart
Prof. Dr. rer. nato Theo Kreutzkamp
Geboren 1941 in Hildesheim. Von 1960 bis 1966 Studium
der Mathematik in Innsbruck, München und Göttingen. 1966
Diplom in Mathematik. Von 1967 bis 1971 wiss. Assistent
am Mathematischen Institut A der Universität Stuttgart,
1969 Promotion, 1970 2. Staatsexamen. Seit 1971 Dozent,
seit 1973 Professor an der Pädagogischen Hochschule Frei
burg.
Prof. Dr. phi!. Walter Neunzig
Geboren 1926 in Köln. Von 1946 bis 1951 Studium der
Mathematik und Physik in Köln, 1951 Staatsexamen. Von
1951 bis 1966 im Schuldienst am Hansa-Gymnasium in
Köln. Von 1962 bis 1966 Studium der Pädagogik und Phi
losophie an der Universität Köln, 1966 Promotion in Päda
gogik. Seit 1966 Professor für Mathematik und Didaktik der
Mathematik an der Pädagogischen Hochschule Freiburg.
OP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Kreutzkamp, Thoo
Lineare Algebra.
(Mathematik flir die Lehrerausbildung)
ISBN 978-3-519-02704-1 ISBN 978-3-322-94755-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-94755-0
NE: Neunzig, Walter:
Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten
Rechte, besonders die der tlbersetzung, des Nachdrucks, der Bildent
nahrne, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem
oder ähnlichem Wege, der Speicherung und Auswertung in Datenver
arbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des
Werkes, dem Verlag vorbehalten.
Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielf'ältigung ist an den Ver
lag gemäß § 54 UrhG eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit dem
Verlag zu vereinbaren ist.
©B. G. Teubner, Stuttgart 1975
UmschIaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
Vorwort
Der vorliegende Band behandelt die fiir das Studium und die spätere Unterrichtstätig
keit der Lehrer an Grund-, Haupt-und Realschulen wesentlichen Themen aus dem Be
reich der Linearen Algebra.
Entsprechend der Zielsetzung der Reihe Mathematik flir die Lehrerausbildung haben
die Verfasser auf eine relativ breite Darstellung Wert gelegt, die insbesondere durch die
Dreiteilung der einzelnen Abschnitte in einen motivierenden Teil A, einen methodisch
systematischen Teil B und einen praxisorientierten Teil C dem Leser den Zugang zu
diesem Gebiet erleichtert.
Ein erster überblickartiger Zugang zu dem jeweiligen Problemkreis wird dem Leser in
den A-Teilen eröffnet. In besonders einfacher und durchsichtiger Form werden die
einzelnen Probleme umrissen, Querverbindungen aufgezeigt und erste Hinweise zur
Lösung gegeben. Die in den A-Teilen angeschnittenen Fragen werden in den B-Teilen
exakt formuliert und systematisch gelöst.
In den C-Teilen knüpfen die Verfasser an die Überlegungen aus den A-Teilen an, um
dann Wege zur Übersetzung des methodisch-systematischen Teiles in die Schulpraxis
aufzuzeigen.
Bei der Darstellung wird ferner darauf geachtet, daß der Vektorraumbegriff als eine
grundlegende mathematische Struktur bei der Behandlung von linearen Gleichungs
systemen und linearen Abbildungen besonders hervortritt, um hierdurch die inneren
Zusammenhänge hervorzuheben und das Verständnis zu fördern. Im Hinblick auf die
Anwendungen wird neben den üblichen Themen insbesondere der Problemkreis Lineare
Optimierung behandelt.·
Der erste Abschnitt enthält die grundlegenden Begriffe und Sätze über den Vektorraum,
die am Beispiel eines vierdimensionalen Einkaufsvektorraurns veranschaulicht werden.
Die systematischen Ausführungen dieses Abschnitts werden durch vorwiegend endlich
dimensionale Beispiele aus verschiedenen Gebieten der Mathematik abgerundet. Die
Vektoren des dreidimensionalen bzw. zweidimensionalen Anschauungsraums als wich
tige Beispiele fiir eine Vektorraumstruktur werden ausflihrlich im C-Teil dieses Ab
schnitts dargestellt, da es sich hierbei größtenteils um Schulstoff aus der Sekundarstufe
I und 11 handelt.
Die erzielten Ergebnisse werden im zweiten Abschnitt dazu verwendet, den Problem
kreis lineare Gleichungssysteme im Zusammenhang mit dem Vektorraumbegriff zu
erläutern. An die begriffliche Klärung schließt sich das eher praktische Problem an,
welches Verfahren man zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwenden soll. Als
Standardverfahren wird hierzu das Gaußsche Eliminationsverfahren ausflihrlich an
Beispielen und danach auch allgemein erläutert. Am Schluß des Abschnitts wird auf
die elementaren Umformungen einer (m, n)-Matrix und deren Rangbestimmung einge
gangen, wobei wiederum der Bezug zu linearen Gleichungssystemen hergestellt wird.
Im dritten Abschnitt werden lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen erklärt und
der Zusammenhang mit Matrizen diskutiert. Die Anwendungsmöglichkeiten von Ma
trizen im Schulunterricht werden ausflihrlich im C-Teil dieses Abschnitts behandelt.
6 Vorwort
Im vierten Abschnitt werden die in den vorangegangenen Abschnitten gewonnenen
Ergebnisse dazu benutzt, um den Problemkreis Lineare Optimierung insbesondere an
Beispielen zu erläutern. Besonderer Wert wird darauf gelegt, Gründe und Möglichkeiten
f1ir die Behandlung von Fragestellungen der Linearen Optimierung in der Schule anzu
sprechen.
Freiburg, im Frühjahr 1975 Th. Kreutzkamp, W. Neunzig
Inhalt
Vektorraum, Untervektorräume, Basis
A 1.1 Einkaufsvektorraum als Modell eines endlich-dimensionalen Vektor-
raumsV ....... _ .. 9
1.1.1 Einführung der Menge V . . . . . 9
1.1.2 Verknüpfungen in V . . . . . . 10
1.1.3 Zum Begriff des Einkaufsvektorraums 18
1.1.4 Unterräume des Einkaufsvektorraums V 19
1.1.5 Basis des Einkaufsvektorraums 21
B 1.2 Vektorräume und ihre Eigenschaften 22
1.2.1 Zum Begriff des Vektorraums 22
1.2.2 Untervektorräume, lineare Hülle 26
1.2.3 Lineare Abhängigkeit . . . . 31
1.2.4 Basis und Dimension . . . . 35
c
1.3 Vektoren des dreidimensionalen Anschauungsraums 42
1.3.'1 Die Menge V der Vektoren des Raumes . . 43
1.3.2 Die abeische Gruppe (V, +) . . . . . . 43
1.3.3 Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl 46
1.3.4 Basis und Dimension, Untervektorräume . . . 49
2 Struktur der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems
A 2.1 Lösungsmenge eines speziellen homogenen Gleichungssystems mit vier
Variablen . . . . . . . . . . . . 50
B 2.2 Lineare Gleichungssysteme ..... . 56
2.2.1 Zum Begriff linearer Gleichungssysteme 56
2.2.2 Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems 61
2.2.3 Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmenge eines linearen
Gleichungssystems, Gaußsches Eliminationsverfahren 65
2.2.4 Dimension der Lösungsmenge eines homogenen Gleichungs-
systems, Koeffizientenmatrix . . . . 71
c
2.3 Lineare Gleichungssysteme in der Sekundarstufe I 79
2.3.1 Schnittpunktbestimmung von Geraden 79
2.3.2 Bewegungsaufgaben . . . . . . 81
2.3.3 Mischungsaufgaben ..... . 82
2.3.4 Systematische Lösung von (2,2)-und (3,3)-Systemen nach ver
schiedenen Verfahren . . . . . . . . . . . . . . 83
3 lineare Abbildungen von Vektorräumen
A 3.1 Beispiel aus dem Handel ftir lineare Abbildungen und ihre Verknüpfungen 84
3. L 1 Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen. . 84
8 Inhalt
3.1.2 Verknüpfungen von linearen Abbildungen und zugehörigen
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
B 3.2 Lineare Abbildungen von Vektorräumen . . . . . . . .. 89
3.2.1 Definition der linearen Abbildung zwischen Vektorräumen 89
3.2.2 Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen 95
3.2.3 Strukturen in der Menge der Matrizen ....... 98
3.2.4 Anwendung der Matrizenschreibweise von linearen Abbildungen
auf lineare Gleichungssysteme 104
C 3.3 Matrizen im Schulunterricht 110
4 lineare Optimierung
A 4.1 Beispiel aus dem Gewürzhandel 114
4.1.1 Lösung auf graphischem Wege 114
4.1.2 Lösung auf algebraischem Wege 116
B 4.2 Beschreibung der Simplexmethode 119
4.2.1 Beschreibung des allgemeinen Normalfalles ohne Beachtung der
Sonderfälle . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.2 Darstellung der Simplexmethode in Matrizenschreibweise 122
4.2.3 Sonderfälle und Verallgemeinerungen der Simplexmethode 126
C 4.3 Lineare Optimierung im Schulunterricht . . . . . . . . . 129
4.3.1 Gründe, die flir die Einftihrung der linearen Optimit,rung in den
Schulunterricht sprechen . . . . . . . . . . . . 129
4.3.2 Beispiele flir die Schule . . . . . . . . . . . . 129
4.3.3 Verteilung des Themas auf die verschiedenen Schulstufen und
Schularten ............... . 133
Literaturverzeichnis 134
Sachverzeichnis . 135
l. Vektorraum, Untervektorräume, Basis A
1.1 Einkaufsvektorraum als Moden eines endlich-dimensionaIen Vektorraums V
1.1.1 Einführung der Menge V
Ein Großhändler hat sich auf den Import und den Verkauf von folgenden vier Gewürzen
aus Indien spezialisiert:
Curry (C); Koriander (K); Pfeffer (P); Safran (S)
Für seine Buchfuhrung verwendet der Großhändler ein vereinfachtes Verfahren, um den
Wareneingang und den Verkauf zu notieren. So enthalten z. B. seine Rechnungen und
andere Formulare folgende Vordrucke:
( .......... C, .......... K, .......... P, .......... S)
In die Leerstellen werden die Gewichte der bezogenen oder verkauften Waren in Kilo
gramm eingetragen, wobei jedoch die Bezeichnung kg ausgelassen wird. So können z. B.
in einer Wareneingangsliste folgende Eintragungen vorkommen
6. 7. 1973 (125 C, 85,5 K, 270 P, 192,3 S)
( 0 C, 0 K, -34,6P, 0 S)
15. 7. 1973 (175,8 C, 0 K, 151,6 P, 200 S)
16.7. 1973 (-50 C, -26,5 K, -81 P, 0 S)
Diese Angaben bedeuten im einzelnen: Am 6.7. 1973 hat der Großhändler folgende
Waren bezogen
125 kgCurry 270 kg Pfeffer
85,5 kg Koriander 192,3 kg Safran
Bei dieser Sendung sind auf dem Transport 34,6 kg Pfeffer durch Beschädigung un
brauchbar geworden, bei den anderen Gewürzen dagegen nichts. Daher wird bei Curry,
Koriander und Safran je eine Null eingetragen, bei Pfeffer die negative Zahl -34,6.
Am 15.7. 1973 hat der Händler weitere Waren bezogen, allerdings keinen Koriander.
Am 16.7. 1973 hat er folgende Gewürze verkauft, was aus den negativen Vorzeichen
der betreffenden Zahlen ersichtlich ist:
50 kgCurry 81 kg Pfeffer
26,5 kg Koriander OkgSafran
Wrr wollen nun dieses Beispiel rur die Notationen des Gewürzgroßhändlers weiter aus
bauen und eine bestimmte Ausdrucksweise vereinbaren. Dazu überlegen wir, was bis
jetzt vorliegt. Jede einzelne Notation des Händlers besteht aus vier Gewichtsangaben
in Kilogramm, die abhängig von der Warenart, nämlich den vier Gewürzen, in einer
bestimmten Reihenfolge in einer Klammer durch Kommata getrennt aufgeflihrt werden.