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Lineare Algebra von Dr.Reiner Staszewski,Prof.Dr.Karl Strambach und Prof.Dr.HelmutVölklein Oldenbourg Verlag München Dr. Reiner Staszewski ist Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Experimentelle Mathe- matik der Universität GHS Essen. Zuvor arbeitete er unter anderem als Wissenschaftlicher Mitar- beiter am Rechenzentrum der Universität Karlsruhe und hatte die Vertretung einer C3-Professur am Fachbereich Mathematik der Universität Kopenhagen inne. Prof. Dr. Karl Strambach ist seit 1972 ordentlicher Professor an der Universität Erlangen. Nach seiner Habilitation arbeitete er zunächst als Universitätsdozent und Wissenschaftlicher Rat an der Universität Tübingen sowie als Professor an der Universität Kiel. 2007 wurde ihm von der Univer- sität Debrecen die Ehrendoktorwürde verliehen. Prof. Dr. Helmut Völklein ist seit 2004 Inhaber einer C4-Professur am Institut für Experimentelle Mathematik der Universität Essen. Nach dem Studium der Mathematik und Informatik an der Universität Erlangen und der University of California,Berkeley,folgten 1983 die Promotion und 1987 die Habilitation. Von 1996 bis 2004 war Helmut Völklein Full Professor an der University of Florida. Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.d-nb.de> abrufbar. © 2009 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145,D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außer- halb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Kathrin Mönch Herstellung: Anna Grosser Coverentwurf: Kochan & Partner,München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: Grafik + Druck,München Bindung: Thomas Buchbinderei GmbH,Augsburg ISBN 978-3-486-58681-7 Vorwort Das Buch gibt eine Einführung in die Lineare Algebra von Grund auf. Der Stoff deckt in etwaeinezweisemestrigeVorlesungfürStudienanfängerderMathematikab.DasBuchrichtet sich aber an jedermann, der die Grundprinzipien der Linearen Algebra kennen lernen will, welcheeingrundlegendesundeinfachesGebietderMathematikist,undwegenderuniversellen Anwendbarkeitaucheinesderwichtigsten. Ziel ist es, die Grundideen klar herauszuarbeiten und nicht durch unnötige Verallgemeinerun- genundAbstraktionenzuverschleiern.JedesThemawirdindemihmangemessenenGradvon Abstraktionbehandelt,sodasssicheinestufenweiseSteigerungdermathematischenTiefeer- gibt.EsistNICHTZieldesBuchs,eineumfassendeundvollständigeAbhandlungallerAspekte undVerästelungenderLinearenAlgebrazugeben.VertrautheitmitdemStoffdesMathematik- unterrichts in der Schule kann die Lektüre an manchen Stellen erleichtern, wird jedoch nicht explizitvorausgesetzt. AngesichtsderheutigenzeitlichenBeschränkungendesStudiums(z.B.Bachelor-Studiengang) miteinhergehenderAusweitungdesLehrangebotsaufneuereAnwendungenundHerausforde- rungenderMathematikinInformatik,Kodierungstheorie,Kryptographieetc.erscheinenviele derexistierendenBücherüberLineareAlgebranichtmehrzeitgemäß.Auchdeswegenwirdhier versucht,einevölligneuartigeEinführungindieLineareAlgebrazugebenohneirgendwelche Abstriche bei der mathematischen Strenge zu machen. Im Mittelpunkt steht der Begriff der GleichungunddesGleichungssystems,AusgangspunktundUrsprungdergesamtenAlgebra. Da wir hier mit der Linearen Algebra befasst sind, kommen vor allem Systeme linearer Glei- chungen vor, einschließlich deren Lösungen und Näherungslösungen (Methode der kleinsten Quadrate,siehe12.4.2).JedochwerdenauchSystemelinearerDifferentialgleichungenbetrach- tet,vorallemzurMotivierungundIllustrierungderTheoriederEigenwerte,Diagonalisierung undMatrixnormalformen.ViaResultantenwirdsogarkurzaufnicht-linearealgebraischeGlei- chungssystemeeingegangen(siehe9.7). DiefortschreitendeEntwicklungderLinearenAlgebraimBuchwirdständigdarangemessen, wassiefürGleichungssystemebedeutet.BeiderLektüreentfaltetsichalsodieBegriffsweltder LinearenAlgebraganznatürlich,einblindesVertrauenaufdie„Wichtigkeit“und„spätereVer- wendbarkeit“desGelerntenistnichterforderlich.Esseihierbemerkt,dassMathematiknicht, wieweitläufigundirrtümlichangenommen,kompliziertseinmuss,sondernimGegenteil,Ma- thematiksolldazudienen,komplizierteSachverhalteineinfacherWeisedarzustellen.Deshalb sind gerade die einfachsten Grundprinzipien und Schlussweisen die wichtigsten in der Ma- thematik (was auch die besondere Bedeutung der Linearen Algebra ausmacht). Zum Beispiel istderGauß-AlgorithmuszurLösungeineslinearenGleichungssystemsobseinerEinfachheit besonderswichtig(undwirdgleichamAnfangdesBuchsbehandelt). Kommen wir nun zu einer Beschreibung der einzelnen Kapitel. Bevor wir uns den linearen Gleichungssystemenzuwenden,musseinSkalarenbereichbereitgestelltwerden,demdieKoef- VI Vorwort fizientenderGleichungenunddemzufolgedieEinträgederzugehörigenMatrizenundVektoren entnommen sind. So wird in Kapitel 1 der Begriff des Körpers eingeführt, wobei neben den üblichen algebraischen Identitäten als Körperaxiome nur die eindeutige Lösbarkeit von Glei- chungen der Form a + x = b und cx = b (für c (cid:1)= c + c) gefordert wird. Als Beispiele werden Q, R und C genannt, und es werden endliche Primkörper als weitere Beispiele dis- kutiert. Da Letztere ein gegenüber dem Schulstoff neuartiges Konzept darstellen und in den neuerenAnwendungenderLinearenAlgebrabesonderswichtigsind,wirdinAnhangAnäher aufdieendlichenPrimkörpereingegangen(KlassifikationundKonstruktion).IndenAufgaben kommensieimganzenBuchimmerwiedervor.WerjedochetwanuramGrundkörper K =R interessiertist,kanndasersteKapitelüberspringen. Kapitel2,3und4bildendenelementarstenTeildesBuchs.Hierfindetsichdiegrundlegende TheoriederlinearenGleichungssysteme.NacheinigenDefinitionenundVorbereitungeninKa- pitel2kommtinKapitel3dasüblicheLösungsverfahrenviaTransformationaufTreppenform (Gauß-Algorithmus) und daraus abgeleitete Aussagen über die Struktur des Lösungsraums. Die Frage nach eindeutig lösbaren Gleichungssystemen führt zum Begriff der invertierbaren (Koeffizienten-)Matrix.InKapitel4wirddieMatrixmultiplikationeingeführt,motiviertdurch lineareSubstitutionenderUnbekannteneinesGleichungssystems,unddurchdieresultierende vereinfachteNotationfürlineareGleichungssystemewirdderZusammenhangmitinvertierba- renMatrizenhergestellt. Der zweite Teil des Buchs, welcher die Kapitel 5 bis 8 umfasst, stellt die nächste Stufe der Abstraktion dar. Um Gleichungen aufzustellen und zu lösen, braucht man algebraische Ope- rationen. Im ersten Teil wurden die Addition und Multiplikation des Grundkörpers K in natürlicherWeisezurAddition,MultiplikationundSkalarmultiplikationvonMatrizenüber K erweitert.DergeeigneteRahmenimUmgangmitsolchenalgebraischenOperationensinddie algebraischen Grundstrukturen Gruppen, Ringe und Vektorräume, welche in Kapitel 5 einge- führt werden. Die Begriffe Gruppe und Ring dienen uns hauptsächlich als Sprechweise, die Vektorräume sind jedoch zentral für die Lineare Algebra, und deren grundlegende Theorie wirdinKapitel6entwickelt.InsbesondereistderLösungsraumeineshomogenenGleichungs- systems ein Vektorraum, und es wird in Kapitel 7 gezeigt, dass umgekehrt jeder Unterraum von Kn derLösungsraumeineshomogenenGleichungssystemsist.Kapitel7enthältauchdie AnwendungderbisherentwickeltenTheorieaufdieGrundbegriffederKodierungstheorie.Li- neareAbbildungenerlaubenes,verschiedeneVektorräumezueinanderinBeziehungzusetzen undlassenGleichungssystemesowiedieVerwendungvonMatrizeninneuemLichterscheinen (Kapitel8). DerdritteTeildesBuchs,welcherdieKapitel9bis11umfasst,beschäftigtsichmitInvarian- tenquadratischerMatrizen.Zunächstwerden10verschiedeneKriterienfürdieInvertierbarkeit einersolchenMatrixangegeben.DieFragenacheinemdirektennumerischenKriteriumführt zum Begriff der Determinante. Am Ende von Kapitel 9 gehen wir kurz auf die Resultante zweierPolynome(=DeterminantederSylvestermatrix)ein,umdieuniverselleAnwendbarkeit derDeterminanteanhanddesunerwartetenZusammenhangsmit(nicht-linearen)algebraischen Gleichungssystemenzudemonstrieren.InKapitel10folgtdieTheoriederEigenwerte,Eigen- räumeundDiagonalisierbarkeit.ZurIllustrierungwirdskizziert,wiemaneinSystemlinearer Differentialgleichungen lösen kann, wenn die Koeffizientenmatrix diagonalisierbar ist. In Ka- pitel 11 wird die Jordan’sche Normalform einer triangulierbaren Matrix hergeleitet und zur LösungeineszugehörigenSystemslinearerDifferentialgleichungenverwendet. Vorwort VII EingangsdesviertenTeilswirdgezeigt,wiedasStandard-SkalarproduktinR3zurLängen-und Winkelmessungverwendetwerdenkann.EsfolgtdieüblicheTheoriederSkalarprodukteund allgemeinenBilinearformen.DieKlassifikationdernichtdegeneriertenBilinearformenüberR wirdspäterzurKlassifikationderQuadriken(=LösungsmengeneinerquadratischenGleichung inmehrerenVariablen)benutzt. DerabschließendefünfteTeilenthältdieGrundbegriffederaffinenundprojektivenGeometrie. Zunächstwirdfestgehalten,dassderLösungsraumeines(nichtnotwendighomogenen)linearen GleichungssystemseinaffinerUnterraumvon Kn ist.DiekomplizierteKlassifikationderaffi- nenreellenQuadrikenwirdweggelassen,eswirdnurgezeigt,wiesichinderDimension2die Kegelschnitte ergeben. Daran sieht man auch, wie sich alles beim Übergang zur projektiven Geometrie vereinfacht, welche anschließend behandelt wird. Die Klassifikation der projekti- venreellenQuadrikenfolgtausderTheorieinTeil4.InAnhangBwerdenabstrakteprojektive Ebenenbetrachtet,insbesonderewirdeinenicht-klassischeEbenekleinsterOrdnung(derOrd- nung9)konstruiertundderenInzidenzmatrixberechnet. Durch die Betonung von Gleichungen und Gleichungssystemen rückt der algorithmische Aspekt in den Vordergrund. Anhang C enthält ausführliche Beispielrechnungen zu den im Buch behandelten Algorithmen. Die dortigen Rechnungen können alle von Hand verifiziert werden. Die eigentliche Leistungsfähigkeit der Algorithmen der Linearen Algebra entfaltet sich allerdings erst bei Computereinsatz. Darauf wird in den „Maple-Aufgaben“ Bezug genommen, welche in den Aufgabenteilen der einzelnen Kapitel eingestreut sind und mit der Verwendung des Lineare-Algebra-Pakets des Computeralgebrasystems MAPLE vertraut machensollen.EineeheralgorithmischorientierteNutzungdesBuchsistmöglich,wennman sichvonAnhangCunddenMaple-Aufgabenleitenlässt. Das Buch ging aus einer vom letztgenannten Autor gehaltenen Vorlesung an der Universität Essen-Duisburg im akademischen Jahr 2005/2006 hervor. Den Hörern, insbesondere Herrn BjörnRaguse,undallensonstigenBeteiligtenseihiermitgedankt. ZumSchlussmöchtenwirunsganzbesondersbeiFrauapl.Prof.Dr.HubertaLauschfürdas kritischeundkonstruktiveDurcharbeitendesManuskriptssowieeineverbesserteVersionvon AnhangBbedanken. ReinerStaszewski,KarlStrambachundHelmutVölklein Inhaltsverzeichnis Vorwort V I Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1 1 DerBegriffdesKörpers 3 1.1 Mengen .................................................................... 3 1.2 Körperaxiome .............................................................. 3 1.3 GrundlegendeEigenschaftenvonKörpern ................................... 5 1.4 Teilkörper .................................................................. 7 1.5 Aufgaben................................................................... 8 1.5.1 GrundlegendeAufgaben..................................................... 8 1.5.2 WeitergehendeAufgaben.................................................... 8 1.5.3 Maple ...................................................................... 8 2 LineareGleichungssystemeundMatrizen 9 2.1 LineareGleichungssysteme.................................................. 9 2.2 Matrizen,Transponierte,Zeilen-undSpaltenvektoren ........................ 10 2.3 LösungenundÄquivalenzvonGleichungssystemen.......................... 11 2.4 Aufgaben................................................................... 12 3 DerGauß-AlgorithmuszurLösunglinearerGleichungssysteme 13 3.1 MatrizeninTreppenform.................................................... 13 3.2 LösungeneinesGleichungssystemsinreduzierterTreppenform ............... 15 3.3 ElementareZeilenumformungen............................................. 16 3.4 TransformationaufreduzierteTreppenform .................................. 17 3.5 DieStrukturdesLösungsraums.............................................. 18 3.5.1 ReduktionaufhomogeneGleichungssysteme................................. 19 3.5.2 HomogeneGleichungssysteme .............................................. 19 3.6 EindeutiglösbareGleichungssystemeundinvertierbareMatrizen ............. 21 X Inhaltsverzeichnis 3.7 Aufgaben................................................................... 23 3.7.1 GrundlegendeAufgaben..................................................... 23 3.7.2 WeitergehendeAufgaben.................................................... 24 3.7.3 Maple ...................................................................... 24 4 MultiplikationvonMatrizen 25 4.1 MultiplikationeinerMatrixmiteinemSpaltenvektor ......................... 25 4.2 IterierteMultiplikationenundlineareSubstitutionen.......................... 26 4.3 AllgemeineDefinitionderMatrizenmultiplikation............................ 27 4.4 DieInverseeinerMatrix .................................................... 28 4.5 GeometrischeInterpretation ................................................. 30 4.6 Aufgaben................................................................... 33 4.6.1 GrundlegendeAufgaben..................................................... 33 4.6.2 WeitergehendeAufgaben.................................................... 33 4.6.3 Maple ...................................................................... 34 II Vektorräume und lineare Abbildungen 35 5 Gruppen,RingeundVektorräume 37 5.1 Gruppen.................................................................... 37 5.2 Ringe....................................................................... 38 5.3 Vektorräume................................................................ 40 5.4 Aufgaben................................................................... 43 5.4.1 GrundlegendeAufgaben..................................................... 43 5.4.2 WeitergehendeAufgaben.................................................... 44 6 LineareUnabhängigkeit,BasisundDimension 45 6.1 LineareUnabhängigkeitundBasenfürallgemeineVektorräume .............. 45 6.2 Endlich-dimensionaleVektorräume.......................................... 47 6.3 Aufgaben................................................................... 50 6.3.1 GrundlegendeAufgaben..................................................... 50 6.3.2 WeitergehendeAufgaben.................................................... 51 7 Unterräumevonendlich-dimensionalenVektorräumen 53 7.1 SummeundDurchschnittvonUnterräumen.................................. 53 7.2 GeometrischeInterpretation ................................................. 57 7.2.1 GeometrischeInterpretationderUnterräumefür K =R ...................... 57