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Grundstudium Mathematik Dirk Werner Lineare Algebra Grundstudium Mathematik WeitereBändeinderReihe:http://www.springer.com/series/5008 Dirk Werner Lineare Algebra DirkWerner FachbereichMathematikundInformatik FreieUniversitätBerlin Berlin,Deutschland ISSN2504-3641 ISSN2504-3668 GrundstudiumMathematik ISBN978-3-030-91106-5 ISBN978-3-030-91107-2(eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-030-91107-2 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillierte bibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. Birkhäuser ©Der/dieHerausgeberbzw.der/dieAutor(en),exklusivlizenziertanSpringerNatureSwitzerlandAG2022 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtausdrücklich vomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgiltinsbesondere fürVervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerar- beitunginelektronischenSystemen. DieWiedergabevonallgemeinbeschreibendenBezeichnungen,Marken,Unternehmensnamenetc.indiesem Werkbedeutetnicht,dassdiesefreidurchjedermannbenutztwerdendürfen.DieBerechtigungzurBenutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhaberssindzubeachten. DerVerlag,dieAutorenunddieHerausgebergehendavonaus,dassdieAngabenundInformationenindiesem WerkzumZeitpunktderVeröffentlichungvollständigundkorrektsind.WederderVerlagnochdieAutorenoder dieHerausgeberübernehmen,ausdrücklichoderimplizit,GewährfürdenInhaltdesWerkes,etwaigeFehler oderÄußerungen.DerVerlagbleibtimHinblickaufgeografischeZuordnungenundGebietsbezeichnungenin veröffentlichtenKartenundInstitutionsadressenneutral. Planung/Lektorat:DorothyMazlum BirkhäuseristeinImprintdereingetragenenGesellschaftSpringerNatureSwitzerlandAGundisteinTeilvon SpringerNature. DieAnschriftderGesellschaftist:Gewerbestrasse11,6330Cham,Switzerland FürIrina,FelixundNina Vorwort TraditionellstehenamBeginndesMathematikstudiumsimdeutschsprachigen Raumdie Vorlesungen zur Analysis und zur Linearen Algebra. Jede dieser Veranstaltungen stellt spezielle Anforderungen an ihre Teilnehmer(m/w/d); im Fall der Linearen Algebra ist insbesonderedieEinführungabstrakteralgebraischerBegriffezunennen. DaErstsemesterndieseabstraktenBegriffeerfahrungsgemäßnichtimmerleichtfallen, habe ich den Zugang zur Linearen Algebra in diesem Text weniger algebraisch angelegt als in anderen Quellen; der Begriff des Körpers wird erst relativ spät eingeführt und der Begriff des Moduls überhaupt nicht. Stattdessen werden die Grundlagen der Linearen Algebra (Vektorräume, lineare Unabhängigkeit, Basen, lineare Abbildungen, Matrizen, Determinanten,Eigenwerte,...)zuerstnurimreellenFalldiskutiertunddannderTransfer zuK-Vektorräumenetc.gemacht.SosollenkünstlichealgebraischeHürdenab-bzw.gar nichterstaufgebautwerden. Dem trägt auch eine dynamische Notation Rechnung. Im 1. Kapitel (über lineare Gleichungssysteme) werden Zahlen (wie x) und Vektoren (wie x(cid:2)) in der Notation unterschieden, später nicht mehr; und im 2. Kapitel (über R-Vektorräume) wird der NullvektordesVektorraumsV mit0 statteinfachnur0bezeichnet.Auchdaswirdspäter V aufgegeben,wenndieLeserinnenundLeserhinreichendvieleErfahrungenmitdenneuen Begriffengemachthaben. Ein anderes Spezifikum sind die eingestreuten „warum?“ oder die lakonische Aufforderung „nachrechnen!“, die den Lesefluss unterbrechen und als dringende Bitte zuverstehensind,dieseDetailsnachzutragen. Insgesamt werden in diesem Buch die Begriffe und Resultate vorgestellt, die man in einem einführenden Text erwartet; siehe die obige Stichpunktliste. Darüber hinaus setzt jedes Lehrbuch andere Schwerpunkte, z.B. in Richtung Algebra oder Geometrie. Mein Focus liegt auf der Analysis; ich versuche, die enge Verzahnung der Gebiete Analysis und Lineare Algebra herauszustellen, sei es durch analytische Beispiele (die aber mit Kenntnissen der Schulmathematik zugänglich sind) oder durch Abschnitte zu speziellen ThemenwieSingulärwertzerlegung,Matrix-Analysis,konvexeMengenoderCompressed Sensing,dieinderRegelkeinenEingangindieLehrbuchliteraturfinden.Generellnimmt VII VIII Vorwort die Eigenwerttheorie in Innenprodukträumen einen großen Raum in der zweiten Hälfte desBuchsein,wasmanalsAufgaloppzurFunktionalanalysisansehenkann. DiesesBuchistausSkriptenzuVorlesungenhervorgegangen,dieichanderNational UniversityofIreland,Galway,undderFUBerlingehaltenhabe.Ichmöchtemichbeiden Teilnehmern bedanken, deren Kommentare mir geholfen haben, einige Schwachpunkte zu verbessern. Gleichermaßen gilt mein Dank den vom Verlag bestellten Gutachtern für deren extrem hilfreiche Bemerkungen. Leider bin ich mir sicher, dass sich immer noch Ungenauigkeiten im Text verborgen halten – ich weiß nur nicht, wo. Wenn Sie über solche Stellen stolpern, lassen Sie mich es bitte wissen; meine Email-Adresse ist [email protected]. Berlin DirkWerner imSeptember2021 Inhaltsverzeichnis 1 LineareGleichungssysteme....................................................... 1 1.1 BeispielelinearerGleichungssysteme..................................... 1 1.2 VektorenimRnundMatrizenüberR ..................................... 4 1.3 DerGaußscheAlgorithmus ................................................ 13 1.4 ExkursüberAbbildungen .................................................. 17 1.5 InvertierbareMatrizen...................................................... 20 1.6 DieLR-Zerlegung .......................................................... 23 1.7 Aufgaben.................................................................... 27 2 R-Vektorräume .................................................................... 31 2.1 VektorräumeundihreUnterräume......................................... 31 2.2 BasisundDimension....................................................... 37 2.3 DerRangeinerMatrix...................................................... 45 2.4 SummenvonUnterräumen................................................. 50 2.5 Aufgaben.................................................................... 53 3 LineareAbbildungen.............................................................. 57 3.1 DefinitionundersteEigenschaften ........................................ 57 3.2 IsomorpheVektorräume.................................................... 62 3.3 MatrixdarstellungundKoordinatentransformation ....................... 65 3.4 Aufgaben.................................................................... 70 4 Determinanten..................................................................... 73 4.1 Determinantenformen ...................................................... 73 4.2 DieDeterminante........................................................... 79 4.3 Anwendungen............................................................... 86 4.4 EinersterBlickaufEigenwerte............................................ 89 4.5 Aufgaben.................................................................... 95 IX X Inhaltsverzeichnis 5 EtwasAlgebra...................................................................... 97 5.1 KörperundK-Vektorräume................................................ 97 5.2 Polynome,RingeundK-Algebren ........................................ 101 5.3 Quotientenvektorräume..................................................... 106 5.4 Aufgaben.................................................................... 112 6 Innenprodukträume............................................................... 115 6.1 Skalarprodukte.............................................................. 115 6.2 Orthonormalbasen .......................................................... 120 6.3 LineareAbbildungenaufInnenprodukträumen........................... 128 6.4 Aufgaben.................................................................... 137 7 EigenwerteundNormalformen.................................................. 141 7.1 NochmalsPolynome........................................................ 141 7.2 EigenwerteundDiagonalisierbarkeit...................................... 146 7.3 TriangulierbareAbbildungenundMatrizen............................... 155 7.4 DieHauptraumzerlegung................................................... 161 7.5 DieJordanscheNormalform ............................................... 167 7.6 DerFundamentalsatzderAlgebra ......................................... 177 7.7 Aufgaben.................................................................... 183 8 EigenwerttheorieinInnenprodukträumen..................................... 187 8.1 SelbstadjungierteAbbildungenundMatrizen............................. 187 8.2 NormaleAbbildungenundMatrizen ...................................... 192 8.3 PositivdefiniteAbbildungenundMatrizen ............................... 196 8.4 DieSingulärwertzerlegung................................................. 201 8.5 DieMethodederkleinstenQuadrate ...................................... 205 8.6 DieNormeinerMatrix..................................................... 211 8.7 EtwasMatrix-Analysis ..................................................... 217 8.8 Aufgaben.................................................................... 226 9 EtwasGeometrie................................................................... 229 9.1 Isometrien................................................................... 229 9.2 GeometrieimR2............................................................ 235 9.3 GeometrieimR3............................................................ 238 9.4 Kegelschnitte................................................................ 243 9.5 QuadratischeFormenundQuadriken...................................... 247 9.6 KonvexeMengen ........................................................... 253 9.7 DieMinkowskischenSätze................................................. 257 9.8 Aufgaben.................................................................... 268