Lineare Algebra 1

342 Pages·2017·5.55 MB·German

by  Wolfgang Soergel

LINEARE ALGEBRA I
MIT GRUNDLAGEN
Wolfgang Soergel
23. März 2018
2
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Inhaltsverzeichnis
1 EinstimmungundGrundbegriffe 7
1.1 Einstimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 VollständigeInduktionundbinomischeFormel . . . . . . 8
1.1.2 Fibonacci-FolgeundVektorraumbegriff . . . . . . . . . . 16
1.2 NaiveMengenlehreundKombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.2 TeilmengenundMengenoperationen . . . . . . . . . . . . 27
1.2.3 AbbildungenundderenVerknüpfung . . . . . . . . . . . 37
1.2.4 LogischeSymboleundKonventionen . . . . . . . . . . . 48
1.3 AlgebraischeGrundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.1 MengenmitVerknüpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.3.3 Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.3.4 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.3.5 AufbaudesZahlensystems* . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.3.6 Boole’scheAlgebren* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.4 ZurDarstellungvonMathematik* . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.4.1 HerkunfteinigerSymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.4.2 GrundsätzlicheszurFormulierung . . . . . . . . . . . . . 79
1.4.3 SpracheundMathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.4.4 TerminologischeszurleerenMenge* . . . . . . . . . . . 84
1.5 Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2 LineareAlgebraI 87
2.1 GleichungssystemeundVektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.1.1 LösenlinearerGleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . 89
2.1.2 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.1.3 EndlicheProduktevonMengen . . . . . . . . . . . . . . 102
2.1.4 OrdnungenaufMengen* . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.1.5 Untervektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.1.6 LineareUnabhängigkeitundBasen . . . . . . . . . . . . 113
3
4 INHALTSVERZEICHNIS
2.1.7 DimensioneinesVektorraums . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.1.8 AustauschsatzvonSteinitz* . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.1.9 AuswahlaxiomundZorn’schesLemma* . . . . . . . . . . 124
2.2 LineareAbbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.2.1 HomomorphismenundIsomorphismen . . . . . . . . . . 131
2.2.2 DimensionsformelfürlineareAbbildungen . . . . . . . . 135
2.2.3 RäumevonlinearenAbbildungen . . . . . . . . . . . . . 139
2.2.4 LineareAbbildungenKn→Km undMatrizen . . . . . . 143
2.2.5 EinigeEigenschaftenvonMatrizen . . . . . . . . . . . . 151
2.2.6 ErgänzungenzulinearenAbbildungen* . . . . . . . . . . 157
2.3 RäumemitundohneKoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.3.1 AffineRäumeundaffineAbbildungen . . . . . . . . . . . 159
2.3.2 AffineTeilräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.3.3 AffineRäumeundihreGeraden . . . . . . . . . . . . . . 167
2.3.4 BaryzentrischeKoordinaten* . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.3.5 AbstraktelineareAbbildungenundMatrizen . . . . . . . 173
2.3.6 Möbiusfunktion* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
2.3.7 DualräumeundtransponierteAbbildungen . . . . . . . . 181
2.4 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
2.4.1 DerKörperderkomplexenZahlen . . . . . . . . . . . . . 191
2.4.2 KonstruktiondernatürlichenZahlen* . . . . . . . . . . . 199
2.4.3 UntergruppenderGruppederganzenZahlen . . . . . . . 205
2.4.4 Primfaktorzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
2.5 RingeundPolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
2.5.1 Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
2.5.2 RestklassenringedesRingsderganzenZahlen . . . . . . 216
2.5.3 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
2.5.4 PolynomealsFunktionen* . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
2.5.5 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
2.5.6 QuotientenkörperundPartialbruchzerlegung . . . . . . . 241
2.5.7 Quaternionen* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
2.6 DeterminantenundEigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
2.6.1 DasSignumeinerPermutation . . . . . . . . . . . . . . . 250
2.6.2 DieDeterminanteundihreBedeutung . . . . . . . . . . . 254
2.6.3 CharakterisierungderDeterminante . . . . . . . . . . . . 260
2.6.4 RechenregelnfürDeterminanten . . . . . . . . . . . . . . 264
2.6.5 AlgebraischeOrientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
2.6.6 EigenwerteundEigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . 274
2.7 GeometrischeErgänzungen* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
2.7.1 AffineInzidenzebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
2.7.2 ProjektiveRäume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
INHALTSVERZEICHNIS 5
2.7.3 ProjektiveInzidenzebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
2.7.4 LineareKonvexgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
2.8 Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
2.9 DieVorlesungLA1imWintersemester14/15 . . . . . . . . . . . 324
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
6 INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Einstimmung und Grundbegriffe
In diesen Abschnitten habe ich Notationen und Begriffsbildungen zusammenge-
faßt, von denen ich mir vorstelle, daß sie zu Beginn des Studiums in enger Ab-
stimmungzwischendenbeidenGrundvorlesungenerklärtwerdenkönnten.
7
8 KAPITEL1. EINSTIMMUNGUNDGRUNDBEGRIFFE
1.1 Einstimmung
1.1.1 Vollständige Induktion und binomische Formel
Satz1.1.1.1. FürjedenatürlicheZahln ≥ 1gilt1+2+...+n = n(n+1).
2
Beispiel 1.1.1.2. Im Fall n = 5 behauptet unser Satz etwa 1 + 2 + 3 + 4 +
5 = 5 × 6/2 und in diesem Fall stimmt das schon mal: Beide Seiten sind 15.
Man bemerke hier, daß wir beim Rechnen mit Symbolen wie etwa n(n + 1) die
Multiplikationssymbole weggelassen haben, die beim Rechnen mit durch Ziffern
dargestelltenZahlensowesentlichsind.
Beweis. Bei diesem Beweis sollen Sie gleichzeitig das Beweisprinzip der voll-
ständigenInduktionlernen.WirbezeichnenmitA(n)dieAussage,daßdieFor-
melimSatzfüreingegebenesngilt,undzeigen:
Induktionsbasis: Die Aussage A(1) ist richtig. In der Tat gilt die Formel 1 =
1(1+1).
2
Induktionsschritt: Aus der Aussage A(n) folgt die Aussage A(n + 1). In der
Tat,unterderAnnahme,daßunsereFormelfüreingegebenesngilt,derso-
genannten Induktionsannahme oder Induktionsvoraussetzung, rechnen
wir
1+2+...+n+(n+1) = n(n+1) + 2(n+1)
2 2
= (n+2)(n+1)
2
= (n+1)((n+1)+1)
2
undfolgernso,daßdieFormelauchfürn+1gilt.
Esistdamitklar,daßunsereAussageA(n)richtigistaliasdaßunsereFormelgilt
fürallen = 1,2,3,....
1.1.1.3. DasZeichen deutetindiesemTextdasEndeeinesBeweisesanundist
inderneuerenLiteraturweitverbreitet.BuchstabeninFormelnwerdeninderMa-
thematik üblicherweise kursiv notiert, so wie etwa das n oder auch das A im vor-
hergehenden Beweis. Nur Buchstaben oder Buchstabenkombinationen, die stets
dasselbe bedeuten sollen, schreibt man nicht kursiv, wie etwa sin für den Sinus
oderlog fürdenLogarithmus.
1.1.1.4. DervorhergehendeBeweisstütztsichaufunserintuitivesVerständnisder
natürlichen Zahlen. Man kann das Konzept der natürlichen Zahlen auch formal
einführen und so die natürlichen Zahlen in gewisser Weise „besser“ verstehen.
Das wird in 1.2.3.38 und ausführlicher in 2.4.2.5 diskutiert. Das Wort „Indukti-
on“ meint eigentlich „Hervorrufen“, so wie etwa das Betrachten einer Wurst die
1.1. EINSTIMMUNG 9
Ausschüttung von Spucke induziert alias uns den Mund wässrig macht. Im Zu-
sammenhangdervollständigenInduktionistesdahingehendzuverstehen,daßdie
RichtigkeitunsererAussageA(1)dieRichtigkeitvonA(2)induziert,dieRichtig-
keitvonA(2)hinwiederumdieRichtigkeitvonA(3),dieRichtigkeitvonA(3)die
RichtigkeitvonA(4),undimmersoweiter.
1.1.1.5. Es herrscht keine Einigkeit in der Frage, ob man die Null eine natürliche
Zahl nennen soll. In diesem Text ist stets die Null mit gemeint, wenn von natürli-
chenZahlendieRedeist.WollenwirdieNulldennochausschließen,sosprechen
wirwieobenvoneiner„natürlichenZahln ≥ 1“.
1.1.1.6. Ich will kurz begründen, warum es mir natürlich scheint, auch die Null
eine natürliche Zahl zu nennen: Hat bildlich gesprochen jedes Kind einer Klasse
einen Korb mit Äpfeln vor sich und soll seine Äpfel zählen, so kann es ja durch-
aus vorkommen, daß in seinem Korb gar kein Apfel liegt, weil es zum Beispiel
alle seine Äpfel bereits gegessen hat. In der Begrifflichkeit der Mengenlehre aus-
gedrückt, die wir in 1.2.1 einführen werden, muß man die leere Menge endlich
nennen, wenn man erreichen will, daß jede Teilmenge einer endlichen Menge
wieder endlich ist. Will man dann zusätzlich erreichen, daß die Kardinalität je-
der endlichen Menge eine natürliche Zahl ist, so darf man die Null nicht aus den
natürlichenZahlenherauslassen.
1.1.1.7. Man kann sich den Satz anschaulich klar machen als eine Formel für die
Fläche eines Querschnitts für eine Treppe der Länge n mit Stufenabstand und
Stufenhöhe eins. In der Tat bedeckt ein derartiger Querschnitt ja offensichtlich
einhalbesQuadratderKantenlängennebstnhalbenQuadratenderKantenlänge
Eins.EinweitererBeweisgehtso:
1+2+...+n = 1/2 + 2/2 +... + n/2
+ n/2 +(n−1)/2 +... + 1/2
= n+1 + n+1 +... + n+1
2 2 2
= n(n+1)/2
IchwilldiesenBeweisbenutzen,umeineneueNotationeinzuführen.
Definition1.1.1.8. Gegebena ,a ,...,a schreibenwir
1 2 n
n
(cid:88)
a := a +a +...+a
i 1 2 n
i=1
(cid:80)
Das Symbol ist ein großes griechisches S und steht für „Summe“. Das Sym-
bol := deutet an, daß die Bedeutung der Symbole auf der doppelpunktbehafteten
Seite des Gleichheitszeichens durch den Ausdruck auf der anderen Seite unseres
10 KAPITEL1. EINSTIMMUNGUNDGRUNDBEGRIFFE
DieGesamtflächediesesTreppenquerschnittsistoffensichtlich
42/2+4/2 = 4·5/2