line´aris algebra

253 Pages·2002·1.06 MB·Hungarian

¨ ´ ´
BUDAPESTI KOZGAZDASAGTUDOMANYI
EGYETEM
Pusk´as Csaba, Szab´o Imre, Tallos P´eter
´
LINEARIS ALGEBRA
JEGYZET
BUDAPEST, 1998
A szerz˝ok Line´aris Algebra, illetve Line´aris Algebra II. c. jegyzeteinek kiad´asa.
i
El˝osz´o
Ez a jegyzet a Budapesti K¨ozgazdas´agtudom´anyi Egyetem ”emelt” szintu˝
k´epz´esben r´eszesu¨l˝o hallgat´oinak m´asodik f´el´eves line´aris algebrai tanulm´anya-
it van h´ıvatva seg´ıteni. A line´aris algebra eredetileg line´aris egyenletrendszerek
megold´as´aval foglalkozott, ez´ert el˝osz¨or csak a m´atrixaritmetika ´es determin´ans-
elm´elet tartozott t´argy´ahoz. D¨ont˝o hat´assal volt fejl˝od´es´ere, az a felismer´es, hogy
a mindennapi ´ertelemben vett t´er geometri´aj´anak ´altal´anos´ıt´asak´ent kapott vek-
torterek elm´elete a line´aris egyenletrendszerek probl´emak¨or´et m´as megvil´ag´ıt´asba
helyezi. Ebben a jegyzetben a vektorterek elm´elet´et t´argyaljuk,´es a m´atrixaritmeti-
kai eredm´enyeket ebb˝ol sz´armaztatjuk. U´gy ´erezzu¨k, hogy´ıgy k¨onnyebben megmu-
tatkozik mind a t´etelek m´elyebb ´ertelme ´es az azok k¨oz¨otti kapcsolat. Ez a fel´ep´ıt´es
lehet˝ov´e teszi, hogy az itt nyert eredm´enyeket mind a matematik´an belu¨l, mind m´as
tudom´anyteru¨leteken is alkalmazz´ak.
Sz´oljunk n´eh´any sz´ot a jegyzet szerkezet´er˝ol ´es jel¨ol´esm´odj´ar´ol. El˝osz¨or be-
mutatjuk az absztrakt vektortereket, legfontosabb tulajdons´agaikkal jellemezzu¨k
azokat, majd r´at´eru¨nk a line´aris lek´epez´esek ´es transzform´aci´ok t´argyal´as´ara. Ezek
reprezent´aci´oja szolg´altatja a m´atrixaritmetik´at. Ennek az ismeretanyagnak a bir-
tok´aban a line´aris egyenletrendszerek megoldhat´os´aga eleg´ansan t´argyalhat´o. A
k¨ovetkez˝o fejezet elm´eleti alapokat ad az euklideszi terek ´es a determin´ansok
modern szeml´eletu˝ bevezet´es´ehez ´es a t¨obbv´altoz´os fu¨ggv´enyek sz´els˝o´ert´ekeinek
meghat´aroz´as´ahoz. Ezut´an az euklideszi terek ´es a determin´ansok t´argyal´asa
k¨ovetkezik. Mindezek birtok´aban kezdhet˝o a vektorterek struktur´alis vizsg´alata,
ami a tananyag tal´an legfontosabb c´elja.
Abevezetettfogalmakt¨obbs´eg´etsz´amozottdefin´ıci´okbanadjukmeg, n´ehaazon-
ban a g¨ordu¨l´ekenys´eg ´erdek´eben csak d˝oltbetu˝s szed´essel h´ıvjuk fel r´ajuk a figyel-
met. A t´etelek ´es ´all´ıt´asok tripla sz´amoz´asa megmutatja, hogy mely fejezet, melyik
pontj´anak h´anyadik t´etel´er˝ol vagy ´all´ıt´as´ar´ol van sz´o.
K´et helyen tal´alkozhat az olvas´o a ∗ jelz´essel, a Faktorterek c´ımu˝ szakasz, illetve
a determin´ansokr´ol sz´ol´o fejezet el˝ott, ami azt jelzi, hogy azok ismerete n´elku¨l is
´erthet˝o a tov´abbi anyag, de u´gy gondoltam, hogy ezeknek a r´eszeknek az elolvas´asa
hozz´aj´arulhat a vektorterek elm´elete m´as fel´ep´ıt´esu˝ t´argyal´as´anak meg´ert´es´ehez.
Itt h´ıvjuk fel a figyelmet arra, hogy az egy-egy pontot lez´ar´o feladatok ´es gyako-
rlatok nem p´otolhatj´ak a feladatgyu˝jtem´enyt. Ebb˝ol a szempontb´ol ez a jegyzet
meglehet˝osen hi´anyos. Ez´ert sem, de egy´eb szempontok szerint sem tekinthet˝o be-
fejezettnek ez a munka. Ebben az ´allapot´aban szu¨ks´eg van arra, hogy a hallgat´ok
kipr´ob´alj´ak ´es ´eszrev´eteleikkel hozz´aj´aruljanak tov´abbi alak´ıtgat´as´ahoz.
A jegyzet szed´esi munk´ait a TEX kiadv´anyszerkeszt˝o szoftver LaTEX v´altozat´ara
b´ıztuk, az ´abr´ak pedig a PICTEX szoftverrel k´eszu¨ltek.
Budapest, 1998. febru´ar 9.
Pusk´as Csaba, Szab´o Imre, Tallos P´eter
ii
Tartalomjegyz´ek
El˝osz´o i
Tartalomjegyz´ek i
1 Vektorterek ´es elemi tulajdons´agaik 1
1.1 Vektorok a s´ıkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 A vektort´er fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 P´eld´ak vektorterekre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Alterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Line´aris fu¨ggetlens´eg ´es ¨osszefu¨gg˝os´eg . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Vektort´er dimenzi´oja ´es b´azisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Koordin´ata reprezent´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6.1 Elemi b´azistranszform´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.2 Az elemi b´azistranszform´aci´o n´eh´any alkalmaz´asa . . . . . . . 38
Vektorrendszerek line´aris fu¨ggetlens´eg´enek, illetve ¨osszefu¨gg˝o-
s´eg´enek vizsg´alata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Kompatibilit´as vizsg´alat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Line´aris lek´epez´esek, transzform´aci´ok 43
2.1 A line´aris lek´epez´esek elemi tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.1 P´eld´ak line´aris lek´epez´esekre ´es transzform´aci´okra . . . . . . 44
2.1.2 Line´aris lek´epez´esek magtere ´es k´eptere . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Mu˝veletek line´aris lek´epez´esekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.1 Line´aris lek´epez´esek ¨osszead´asa ´es szorz´asa skal´arral . . . . . 48
2.2.2 Line´aris lek´epez´esek szorz´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.3 Line´aris transzform´aci´ok inverze . . . . . . . . . . . . . . . . 50
P´eld´ak invert´alhat´o line´aris transzform´aci´okra. . . . . . . . . 52
2.2.4 Faktorterek∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 M´atrix reprezent´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1 Mu˝veletek m´atrixokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
M´atrixok ¨osszead´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
M´atrixok szorz´asa skal´arral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
M´atrixok szorz´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
M´atrixok, line´aris lek´epez´esek´es transzform´aci´ok szorz´as´anak
tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3.2 Line´aris transzform´aci´ok inverz´enek m´atrixa. . . . . . . . . . 69
2.4 A´ltal´anos b´azistranszform´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
iii
iv TARTALOMJEGYZE´K
2.4.1 Line´aris transzform´aci´o m´atrixa u´j b´azisban . . . . . . . . . . 71
2.5 M´atrixok b´azisfaktoriz´aci´oja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Alkalmaz´asok 79
3.1 Line´aris egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.1 Homog´en line´aris egyenletrendszerek megold´asa . . . . . . . . 82
3.1.2 Inhomog´en line´aris egyenletrendszerek megold´asa . . . . . . . 85
3.2 M´atrixegyenletek∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3 M´atrix inverz´enek numerikus meghat´aroz´asa . . . . . . . . . . . . . 90
4 Biline´aris fu¨ggv´enyek∗ 93
4.1 Biline´aris fu¨ggv´enyek tere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.1 Biline´aris fu¨ggv´enyek ´es line´aris lek´epez´esek kapcsolata . . . . 96
4.1.2 Biline´aris fu¨ggv´eny m´atrixa u´j b´azisban . . . . . . . . . . . . 101
Bels˝o szorzat u´j b´azisban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2 Line´aris lek´epez´esek ´es m´atrixok rangt´etele . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3 Kvadratikus alakok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4 Biline´aris ´es hermitikus alakok∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5 Euklideszi ´es unit´er terek 119
5.1 Euklideszi terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2 Az euklideszi t´er topol´ogi´aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.2.1 Pontsorozatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3 Geometriai fogalmak ´altal´anos´ıt´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4 Unit´er terek∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6 Determin´ansok 155
6.1 Permut´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2 k-line´aris fu¨ggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3 Determin´ansok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3.1 A determin´ans tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3.2 A line´aris transzform´aci´ok determin´ans´anak numerikus meg-
hat´aroz´asa, m´atrixok determin´ansa . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.4 Karakterisztikus polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7 Invari´ans alterek 171
7.1 Invari´ans alterek, transzform´aci´ok polinomjai . . . . . . . . . . . . . 171
7.1.1 Polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.1.2 Line´aris transzform´aci´ok ´es m´atrixaik polinomjai . . . . . . . 178
7.2 Saj´atvektorok ´es saj´at´ert´ekek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3 Val´os vektorterek komplexifik´aci´oja∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.4 Egyszeru˝ line´aris transzform´aci´ok∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.4.1 O¨nadjung´alt line´aris transzform´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . 189
7.4.2 Unit´er transzform´aci´ok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.4.3 Norm´alis line´aris transzform´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.5 Euklideszi terek line´aris transzform´aci´oi . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.5.1 Szimmetrikus line´aris transzform´aci´ok . . . . . . . . . . . . . 196
7.5.2 Ortogon´alis line´aris transzform´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . 197
TARTALOMJEGYZE´K v
7.6 A s´ık elemi line´aris transzform´aci´oi∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.7 Line´aris transzform´aci´ok reduk´al´asa∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.7.1 Nilpotens transzform´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.7.2 A Jordan-f´ele kanonikus alak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8 Differenci´alsz´am´ıt´as 213
8.1 M´atrixok norm´aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.2 Differenci´alhat´os´ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.3 Parci´alis deriv´altak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.4 Folytonos differenci´alhat´os´ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.5 M´asodrendu˝ deriv´altak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.6 A sz´els˝o´ert´ek m´asodrendu˝ felt´etelei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
8.7 Az implicitfu¨ggv´eny-t´etel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.8 Felt´eteles sz´els˝o´ert´ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
vi TARTALOMJEGYZE´K
1. Fejezet
Vektorterek ´es elemi
tulajdons´agaik
Ebben a fejezetben a k¨oznapi ´ertelemben vett s´ık vektorain ´ertelmezett ¨osszead´as
´es vektorok val´os sz´amokkal val´o szorz´as´anak tulajdons´agait vizsg´aljuk, majd a sz-
erzett tapasztalatok birtok´aban defini´aljuk az absztrakt vektort´er fogalm´at. M´ar
itt szeretn´enk arra biztatni az olvas´ot, hogy a k´es˝obbiekben bevezetett fogalmak ´es
´all´ıt´asokpontosmeg´ert´ese´erdek´ebenmindigvizsg´aljameg,hogyasz´obanforg´ofoga-
lomnak, illetve ´all´ıt´asnak mi a geometriai jelent´ese a s´ıkon´es a t´erben. A geometriai
modell, b´ar nem helyettes´ıti a bizony´ıt´ast, de seg´ıti a meg´ert´est.
Ak¨ozgazd´aszhallgat´oksz´am´araaval´oskoordin´ataterekismeretealegfontosabb,
m´egis, ahol a minden vektort´erre jellemz˝o tulajdons´agokat t´argyaljuk, a tiszt´abb
fogalomalkot´as ´erdek´eben nem haszn´aljuk a vektorok koordin´at´ait.
1.1 Vektorok a s´ıkon
A line´aris algebra, vagy kifejez˝obb nev´en a vektorterek elm´elete a k¨oz´episkol´a-
ban tanult vektoralgebra, illetve koordin´atageometria ´altal´anos´ıt´asa. Ez´ert eb-
ben a bevezet˝o szakaszban a k¨oz´episkol´aban tanult, s´ıkbeli vektorok algebr´aj´anak
¨osszefoglal´as´at tal´alja az olvas´o, hangsu´lyozva azokat a tulajdons´agokat, amelyek a
k´es˝obbiekben defini´alt absztrakt vektorterek ´ertelmez´es´en´el elengedhetetlenek.
Avektorokbevezet´es´etazaz´eszrev´eteltetteszu¨ks´egess´e, hogybizonyosmennyi-
s´egek matematikai jellemz´es´ere a sz´amok nem elegend˝oek, p´eld´aul egy mozg´o ob-
jektum viselked´es´enek le´ır´asakor nemcsak az objektum sebess´eg´enek nagys´aga, de
mozg´as´anak ir´anya is fontos jellemz˝o. Hasonl´oan, egy testre hat´o er˝o okozta elmoz-
dul´as nemcsak az er˝o nagys´ag´anak, hanem ir´any´anak is a fu¨ggv´enye.
Azilyen´eshasonl´omennyis´egekjellemz´es´erehaszn´altukavektorokat, amelyeket
ir´any´ıtott szakaszok reprezent´altak. Tekintettel arra, hogy p´eld´aul egy objektumra
egyszerre t¨obb er˝o is hathat ´es azok ¨osszhat´asa d¨onti el az objektum mozg´as´at,
szu¨ks´eges, hogy ez az ¨osszhat´as kisz´am´ıthat´o legyen az ¨osszetev˝ok ismeret´eben.
Ez´ert c´elszeru˝ a vektorok¨osszead´as´at´ertelmezni. Persze az ¨osszead´ast u´gy k´ıv´antuk
defini´alni, hogy az egyes er˝ohat´asokat reprezent´al´o vektorok ¨osszege alkalmas le-
gyen az u´gynevezett, ered˝o er˝o reprezent´al´as´ara. Sok esetben, p´eld´aul gyorsabb
mozg´as el´er´ese ´erdek´eben meg kell ”sokszorozni” egy objektumra hat´o er˝ot. Ez
1
2 1. FEJEZET VEKTORTEREK E´S ELEMI TULAJDONSA´GAIK
a vektorokkal val´o reprezent´aci´o nyelv´en azt jelenti, hogy egy vektornak sz´ammal
val´o szorzat´at is kellett defini´alnunk. Ha az objektumra hat´o er˝oket vektorokkal
k´ıv´anjuk reprezent´alni, akkor tekintve, hogy az er˝o fu¨ggetlen az objektum t´erbeli
hely´et˝ol, c´elszer˝o k´et vektort egyenl˝onek tekinteni, amennyiben azok hossza is ´es
ir´anya is egyenl˝o. Az al´abbiakban a s´ık egy r¨ogz´ıtett pontj´ab´ol kiindul´o u´gynevezett
helyvektorokhalmaz´an´ertelmezett¨osszead´as´esskal´arralval´oszorz´astulajdons´agait
foglaljuk¨ossze. Annak´erdek´eben,hogy´abr´ainkszeml´eleteseklegyenek,avektorokat
Descartes–f´eleder´eksz¨ogu˝ koordin´atarendszerbenhelyeztu¨kel, dehangsu´lyoznisze-
retn´enk, hogy sem a vektorok ¨osszead´as´an´al, sem azok skal´arral val´o szorz´asakor a
koordin´ata rendszer felv´etele nem szu¨ks´eges, annak, a defini´aland´o mu˝veletek szem-
sz¨og´eb˝ol nincs szerepe.
K´et a ´es b vektor ¨osszead´asa a paralelogramma– szab´aly alapj´an t¨ort´enik, az
al´abbi 1.1.a. ´abr´anak megfelel˝oen:
................................•............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................b..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a....................................a......................................................................+...........................................................................................b.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a................................................................................................................................................................................................................ ................................•...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................b...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................b................................................................................................................•......................................................a..................................................................................................................................................................................................................a.....................+...........................b.......................................................................
.......................................................b.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................•...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................a...............................................................................................+..........................................................................................b..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................•..................................a.....................................................................................................................................
c.
1.1. ´abra: Vektorok ¨osszead´as´anak ´ertelmez´ese
Term´eszetesen ´ertelmeznu¨nk kell olyan vektorok ¨osszead´as´at is, amelyeknek
azonos, vagy ellent´etes az ir´anya. Ebben az esetben a m´asodik ¨osszeadand´ot az
els˝o v´egpontj´aba helyezzu¨k ´es az els˝o kezd˝opontj´ab´ol a m´asodik v´egpontj´aba mu-
tat´o vektorral defini´aljuk ¨osszegu¨ket. (l´asd az 1.1.b. ´es 1.1.c. ´abr´akat!) A vektorok
¨osszead´as´anak fenti defin´ıci´oj´ab´ol azonnal ad´odik, hogy az ¨osszeg fu¨ggetlen az ¨ossze-
adand´ok sorrendj´et˝ol, azt mondjuk, hogy a vektorok ¨osszead´asa kommutat´ıv. Ad-
junk most ¨ossze h´arom vektort, az a-t, b-t ´es c-t. Ez k´etf´ele sorrendben lehets´eges,
nevezetesen hozz´aadhatjuk a-hoz a (b+c) ¨osszeget, de az (a+b)-hez is hozz´aadhat´o
a c vektor. Az 1.2.a. ´abr´an az els˝o, az 1.2.b. ´abr´an pedig a m´asodik sorrendnek
megfelel˝oen k´epeztu¨k h´arom vektor ¨osszeg´et.