Limite d'échelle de cartes aléatoires en genre quelconque

157 Pages·2015·4.84 MB·French

by  Bettinelli, Jérémie

N°d’ordre:10395
THÈSE
présentée pourobtenir
LE GRADE DE DOCTEUR EN SCIENCES
DE L’UNIVERSITÉ PARIS-SUD 11
Spécialité : Mathématiques
par
Jérémie BETTINELLI
[\
Limite d’échelle de cartes aléatoires en genre quelconque
\[
Directeurde thèse M. Grégory MIERMONT
Rapporteurs M. Omer ANGEL
M. Jean-François MARCKERT
soutenue le26 octobre 2011devantlacommission d’examen:
M. Jérémie BOUTTIER Examinateur
M. Jean-François LE GALL Examinateur
M. Jean-François MARCKERT Rapporteur
M. Grégory MIERMONT Directeurde thèse
M. Gilles SCHAEFFER Examinateur
M. Marc YOR Examinateur
JérémieBETTINELLI
[email protected]
www.normalesup.org/~bettinel
Thèsepréparéeau
DépartementdeMathématiquesd’Orsay
LaboratoiredeMathématiques(UMR8628),Bât.425
UniversitéParis-SudXI
F-91405OrsayCEDEX
Àl’échelled’unecarte,lemondeestunjeud’enfant.
LaurentGRAFF,dansVoyage,voyages.

[\
Limite d’échelle de cartes aléatoires en genre quelconque
\[
AU COURS DE CE TRAVAIL,nousnousintéressonsauxlimitesd’échellededeuxclassesdecartes.
Dansunpremiertemps,nousregardonslesquadrangulationsbipartiesdegenreg 1fixéet,
≥
dansunsecondtemps,lesquadrangulationsplanairesàborddontlalongueurdubordestde
l’ordredelaracinecarréedunombredefaces.Nousvoyonscesobjetscommedesespacesmétriques,
enmunissantleursensemblesdesommetsdeladistancedegraphe,convenablementrenormalisée.
Nousmontronsqu’une cartepriseuniformémentparmilescartesayantnfacesdansl’une deces
deuxclassestendenloi,aumoinsàextractionprès,versunespacemétriquelimitealéatoirelorsquen
tendversl’infini. Cetteconvergences’entendausensdelatopologie deGromov–Hausdorff.Ondis-
posedeplusdesinformationssuivantessurl’espacelimitequel’onobtient.Danslepremiercas,c’est
presquesûrementunespacededimensiondeHausdorff4homéomorpheàlasurfacedegenreg.Dans
lesecondcas,c’estpresquesûrementunespacededimension4avecunefrontièrededimension2,ho-
méomorphe au disque unité de R2. Nous montrons en outre que, dans le second cas, si la longueur
dubordestunpetitodelaracinecarréedunombredefaces,onobtientlamêmelimitequepourles
quadrangulationssansbord,c’est-à-direlacartebrownienne,etl’extractionn’estplusrequise.
Mots-clefs: cartesaléatoires,arbresaléatoires,limite d’échelle, processusconditionnés, convergence
régulière,topologiedeGromov,dimensiondeHausdorff,arbrecontinubrownien,espacesmétriques
aléatoires.
ClassificationAMS:60F17,60D05,57N05,60C05.
[\
Scaling Limit of Arbitrary Genus Random Maps
\[
INTHIS WORK, we discuss the scaling limits of two particular classes of maps. In a first time, we
addressbipartitequadrangulationsoffixedgenusg 1,and,inasecondtime, planarquadran-
≥
gulations with a boundary whose length is of order the square root of the number of faces. We
viewtheseobjectsasmetricspacesbyendowingtheirsetsofverticeswiththegraphmetric,suitably
rescaled.
Weshowthatamapuniformlychosenamongthemapshavingnfacesinoneofthesetwoclasses
converges in distribution, at least along some subsequence, toward a limiting random metric space
as n tends to infinity. This convergence holds in the sense of the Gromov–Hausdorff topology on
compactmetricspaces.Wemoreoverhavethefollowinginformationonthelimitingspace.Inthefirst
case,itisalmostsurelyaspaceofHausdorffdimension4thatishomeomorphictothegenusgsurface.
Inthesecondcase,itisalmostsurelyaspaceofHausdorffdimension4withaboundaryofHausdorff
dimension 2 that is homeomorphic to the unit disc of R2. We also show that in the second case, if
thelengthoftheboundaryislittle-oofthesquarerootofthenumberoffaces,thesameconvergence
holdswithout extractionandthe limitisthe sameasforquadrangulationswithoutboundary, thatis
theBrownianmap.
Keywords andphrases: random maps, randomtrees, scaling limits, conditioned processes, regular
convergence,Gromovtopology,Hausdorffdimension,BrownianCRT,randommetricspaces.
AMSclassification:60F17,60D05,57N05,60C05.
1
2
Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier Grégory Miermont, qui m’a spontanément proposé un sujet de
thèse passionnant. Il a été pour moi un directeur exemplaire, toujours disponible malgré un emploi
du temps bien chargé. Il a su m’encadrer, me guider, me conseiller et me faire partager sa culture
mathématiqueetsonenthousiasme,toujoursdanslabonnehumeur.Pourtoutesceschoses,jeluisuis
trèsreconnaissant.
JesuistrèshonoréqueJean-FrançoisMarckertetOmerAngel,dontj’admirelestravauxmathéma-
tiques,aientacceptéderapportercettethèse.Jelesremerciepourtoutel’attentionqu’ilsontportéeà
lalecturedecemanuscrit,ainsiquepourleursremarquespertinentes.JeremercieégalementJérémie
Bouttier,Jean-FrançoisLeGall,GillesSchaefferetMarcYord’avoirmontréleurintérêtpourcettethèse
enacceptantdefairepartiedujury.JeremercieplusparticulièrementJean-FrançoisLeGallquim’afait
découvrirlesprobabilitésàtraversd’excellentscoursetm’aconseillésurmoncursusuniversitaire,en
m’orientantnotammentversGrégory.
Merci à Olivier Garet d’avoir encadré mes premiers pas dans la recherche en me proposant un
mémoire de Master 2 trèsintéressant. Merciégalement à tous les enseignants qui ont influencé mon
parcoursetm’ont faitprendregoût auxmathématiques engénéraletauxprobabilitésenparticulier.
Ungrandmerciaussiàtouteslespersonnesquiontfacilitémesdémarchesadministratives:Bénédicte,
Catherine,Christine,Laurence,ValérieetZaïna.
Ilestmaintenanttempsderemerciermescollèguesetamisquim’ontsupporté,aidé,distraittout
aulongdemesétudessupérieures,encommençantparmescamaradesdepromodel’ENS :Adrien,
Amic,Cyrille,Danié,Hugo,J.-P.,Nico,Tibo,ettouslesautresdontjenecitepaslesnomstantlaliste
seraitlongue.MerciàPatricia,dontlamutationàNicem’apermisdebénéficierd’uneplacedechoix
ausein duDMA, en compagnie de Marie,Amandine et Vincent, où j’ai été trèsbien accueilli. Merci
également à tous les occupants du passage vert et assimilés (dont le bureau 304 fait partie) qui ont
contribué à une bonne ambiance quotidienne dans ces bureaux. Merci enfin aux habitants (à temps
pleinoupartiel)dubâtiment430àOrsayquiontréussiàm’intégrermalgrémondésintérêttotalpour
letennisoulefoot(maisquandmême,allezLens).MerciparticulièrementàSébastienquirentredans
les deux dernières catégories et dont la présence au bureau 108, à défaut de présager une journée
studieuse,présagetoujoursunejournéeagréable...
Mesderniersremerciementsvontàmesamis,àmesprochesetauxmembresdemafamille.Merci
enparticulieràmesparents,Bernard&Bernadettesansquicettethèseneseraitpas,etquifontpartie
desrarespersonnesàenavoirintégralementlul’introduction.L’effortestparticulièrementadmirable
lorsque l’on sait qu’ils l’ont fait à la recherche des fautes d’orthographe qui m’ont résisté. Merci à
Hélène,AymericetMariequimefontvivredesmomentsinoubliables(etmefontparfoisrevivredes
momentsquej’aimeraisoublier),ainsiquepourleursoutienfraternel.Enfin,merciàNinapouravoir
sumesouteniretm’encourageraucoursdecesdernièresannéesetsansquimavieseraitcertainement
moinsplaisante.
3
4
Table des matières
Résumé/Abstract 1
Tabledesmatières 5
Introduction 9
1 Présentationgénérale 11
1.1 Premièresdéfinitions 11
1.1.1 Cartes 11
1.1.2 Quadrangulationsbiparties 13
1.1.3 Limited’échelle 14
1.2 Brefhistorique 16
1.3 Casplanaire 18
1.3.1 Quadrangulationspointéesetarbresbienétiquetés 19
1.3.2 Limited’échelledesarbresbienétiquetésuniformes 20
1.3.3 Limited’échelledesquadrangulations 23
1.4 Casdugenrequelconque 26
1.4.1 Existenced’unelimiteàextractionprès 26
1.4.2 Topologiedelacartebrowniennedegenreg 27
1.5 Quadrangulationsplanairesàbord 27
1.5.1 Casgénérique 28
1.5.2 Casoùσ =0 29
1.5.3 Développements 29
Limited’échelledecartesaléatoires engenrequelconque 33
2 Scalinglimitofuniformwell-labeledg-trees 35
2.1 TheChapuy–Marcus–Schaefferbijection 35
2.2 Decompositionofag-tree 38
2.2.1 Forests 38
2.2.2 Scheme 41
2.3 Convergenceofthestructureofauniformwell-labeledg-tree 44
2.3.1 Preliminaries 44
2.3.2 Result 46
2.4 ConvergenceoftheMotzkinbridgesandtheforests 49
5
Tabledesmatières
2.4.1 Brownianbridgeandfirst-passageBrownianbridge 50
2.4.2 TheBrowniansnake 57
2.4.3 Thediscretesnake 58
2.4.4 Convergenceofauniformwell-labeledforest 59
2.5 Scalinglimit 62
3 Scalinglimitofpositivegenusrandomquadrangulations 65
3.1 ProofofTheorem1.11 65
3.1.1 Setting 65
3.1.2 Tightnessofthedistanceprocesses 66
3.1.3 ThegenusgBrownianmap 68
3.1.4 HausdorffdimensionofthegenusgBrownianmap 69
3.2 Anexpressionoftheconstantt 72
g
3.2.1 Integratingwithrespectto(me) 72
3.2.2 Integratingwithrespectto(σe)e∈E~(s)\{e∗} 73
e Eˇ(s)
3.2.3 Integratingwithrespectto(lv) ∈ 74
v∈V(s)\{e−∗}
3.2.4 Conclusion 76
4 Thetopologyofthescalinglimitofpositivegenusrandomquadrangulations 77
4.1 Realg-trees 77
4.1.1 Definitions 78
4.1.2 Mapsseenasquotientsofrealg-trees 80
4.2 Pointsidentifications 81
4.2.1 Preliminarylemmas 81
4.2.2 Keylemma 81
4.2.3 Setoverflownbyapath 83
4.2.4 Pointsidentifications 84
4.3 1-regularityofquadrangulations 87
4.3.1 1-regularity 88
4.3.2 Representationasmetricsurfaces 88
4.3.3 ProofofTheorem1.13 89
4.4 TransferingresultsfromtheplanarcasethroughChapuy’sbijection 92
4.4.1 Chapuy’sbijection 92
4.4.2 Contourpairofanopenedg-tree 93
4.4.3 Openeduniformwell-labeledg-tree 94
4.4.4 Uniformwell-labeledtreewithgtriples 96
4.4.5 Remainingproofs 99
Limited’échelledecartesplanairesàbord 101
5 Scalinglimitofrandomplanarquadrangulationswithaboundary 103
5.1 TheBouttier–DiFrancesco–Guitterbijection 104
5.1.1 Forests 104
5.1.2 Bridges 105
5.1.3 Thebijection 106
5.2 ProofofTheorem1.14 108
5.2.1 Convergenceofthecodingfunctions 108
5.2.2 ProofofTheorem1.14 110
5.3 Mapsseenasquotientsofrealforests 112
5.3.1 Realforests 112
5.3.2 Quotientofrealforests 114
5.3.3 Pointidentifications 114
6