Light Scattering Reviews 4: Single Light Scattering and Radiative Transfer (Springer Praxis Books / Environmental Sciences) (No. 4)

534 Pages·2009·12.61 MB·English

by  Alexander A. Kokhanovsky

Light Scattering Reviews 4
Single Light Scattering and Radiative Transfer
Alexander A. Kokhanovsky (Editor)
Light Scattering
Reviews 4
Single Light Scattering and Radiative Transfer
Published in association with
Praxis Publishing
Chichester, UK
Editor
Dr Alexander A. Kokhanovsky
Institute of Environmental Physics
University of Bremen
Bremen
Germany
SPRINGER±PRAXIS BOOKS IN ENVIRONMENTAL SCIENCES (LIGHT SCATTERING SUB-SERIES)
SUBJECT ADVISORY EDITOR: John Mason B.Sc., M.Sc., Ph.D.
EDITORIAL ADVISORY BOARD MEMBER: Dr Alexander A. Kokhanovsky, Ph.D. Institute of Environmental
Physics, University of Bremen, Bremen, Germany
ISBN 978-3-540-74275-3 Springer Berlin Heidelberg New York
Springer is part of Springer-Science + Business Media (springer.com)
Library of Congress Control Number: 2008939874
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# Praxis Publishing Ltd, Chichester, UK, 2009
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Contents
List of contributors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XIII
Notes on the contributors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .X.XIII
Part I Single Light Scattering
1 Scaled analogue experiments in electromagnetic scattering
Bo A˚. S. Gustafson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Theoretical basis for scaled electromagnetic experiments . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Scattering by a few common particle classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Mie-solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Evaluating the scattering by HCPs and other complex natural
particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 The scattering problem in the laboratory setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Considerations in designing a high-precision scattering
laboratory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Analogue particle materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Scaled analogue scattering laboratories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 The classic laboratories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 The University of Florida laboratory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.3 Complex interiors scattering experiment example . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Laboratory measurements of the light scattered by clouds of
solid particles by imaging technique
Edith Hadamcik, Jean-Baptiste Renard, Anny-Chantal Levasseur-Regourd,
Jean-Claude Worms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.1 Astronomical and atmospheric context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.2 Polarization measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.3 Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.1 Samples preparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
VI Contents
2.2.2 Levitation techniques, advantages and restrictions . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1 Calibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2 Phase curves and their parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.3 Optical and physical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.4 Numerical models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.1 Solar system dust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.2 Atmospheric dust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Conclusions and future developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3 Jones and Mueller matrices: structure, symmetry relations and
information content
S.N. Savenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 Internal structure of a general Mueller–Jones matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 Symmetry relations for Mueller–Jones matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.1 Forward scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.2 Backward scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 The depolarizing Mueller matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5.1 Structure of the depolarizing Mueller matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5.2 Matrix models of depolarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5.3 Cloude’s coherency matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5.4 Block-diagonal structure of the Mueller matrix . . . . . . . . . . . . . . 92
3.6 Structure and information content of the Mueller–Jones matrix in
continuous medium approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.6.1 Mueller–Jones matrices of basic types of anisotropy and
partial equivalence theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6.2 Polar decomposition of Mueller–Jones matrices . . . . . . . . . . . . . . 101
3.6.3 Generalized matrix equivalence theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6.4 Eigenanalysis of the Jones matrices of dichroic, birefringent,
and degenerate media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.6.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4 Green functions for plane wave scattering on single nonspherical
particles
Tom Rother . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2 Some basic considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.1 Formulation of the scattering problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.2 Spherical coordinates and eigensolutions of the vector-wave
equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.3 Dyadics and Green’s theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3 Dyadic Green functions and light scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.1 Dyadic free-space Green function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Contents VII
4.3.2 Dyadic Green functions of the scattering problems . . . . . . . . . . . 134
4.4 Singular integral equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.4.1 Ideal metallic scatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.4.2 Dielectric scatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4.3 Rayleigh’s hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5 Symmetry and Unitarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.5.1 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.5.2 Unitarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.6 Far-field behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.6.1 The plane wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.6.2 The scattered and total field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.7 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Part II Radiative Transfer
5 Space-time Green functions for diffusive radiation transport, in
application to active and passive cloud probing
Anthony B. Davis, Igor N. Polonsky, Alexander Marshak . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.1 Context, motivation, methodology, and overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.2 Elements of time-dependent three-dimensional radiative transfer . . . . . . 172
5.2.1 Radiant energy transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.2.2 Dirac-δ boundary sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.2.3 Remotely observable fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.2.4 Flux-based spatial and temporal moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.2.5 Vertical variation of scattering coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3 Formulation in the Fourier–Laplace domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.3.1 Temporal Green functions and pulse-stretching problems . . . . . . 187
5.3.2 Spatial Green functions and pencil-beam problems . . . . . . . . . . . 187
5.4 Diffusion approximation for opaque scattering media . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.4.1 Derivation from the time-dependent 3D RT equation . . . . . . . . . 188
5.4.2 Directional and spatial enhancements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.4.3 Boundary conditions, including boundary sources . . . . . . . . . . . . 197
5.4.4 Remote sensing observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.4.5 Fourier–Laplace transformation for stratified media . . . . . . . . . . 200
5.5 Solutions of diffusive Green function problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.5.1 Homogeneous cloud with an isotropic boundary point-source . . 202
5.5.2 Stratified cloud with an isotropic boundary point-source . . . . . . 206
5.5.3 Homogeneous cloud with normally incident illumination at a
point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.5.4 Homogeneous cloud with normally incident illumination at a
point from above and a reflective surface below . . . . . . . . . . . . . . 208
5.5.5 Homogeneous cloud with uniform oblique illumination . . . . . . . . 209
5.6 Inverse Fourier–Laplace transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.6.1 Uniform clouds with an isotropic boundary point-source in
(5.1), using exact boundary conditions in (5.2) . . . . . . . . . . . . . . . 211
VIII Contents
5.6.2 Uniform clouds with an isotropic internal point-source, using
extended boundary conditions in (4.34) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.7 Temporal Green functions applied to in situ cloud lidar . . . . . . . . . . . . . . 220
5.7.1 Forward model for the radiometric signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.7.2 Illustration with SNR estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.8 Temporal Green functions applied to oxygen A-band spectroscopy of
overcast skies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.8.1 A-band spectroscopy as observational time-domain RT. . . . . . . . 223
5.8.2 Path-length moments from below . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.8.3 Path-length moments from above . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.9 Space-time Green functions applied to multiple-scattering cloud lidar
(MuSCL) observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.9.1 Space-based MuSCL systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.9.2 Ground-based and airborne MuSCL systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.9.3 Moment-based methods for MuSCL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.9.4 Deeper mining of MuSCL observations for cloud information . . 246
5.10 Further applications to passive solar observations of clouds . . . . . . . . . . . 247
5.10.1 Operational cloud remote sensing in the solar spectrum . . . . . . . 247
5.10.2 Opacity-driven 3D radiation transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.10.3 The independent pixel approximation for steady/uniform
illumination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.10.4 The independent pixel approximation for space/time Green
functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5.10.5 Landsat-type observations of clouds from space, and the
nonlocal IPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.10.6 Zenith radiance reaching ground, and the nonlocal IPA . . . . . . . 255
5.10.7 Green functions at work in the adjoint perturbation approach
to 3D radiation transport effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.11 Summary and outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
˜ ˜
A Responses T (k) and R(k) for horizontal transport away from an
isotropic boundary source in stratified clouds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
A.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
A.2 Transmitted light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
A.3 Reflected light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
ˆ ˆ
B Responses T (s) and R(s) for pulse stretching for an isotropic boundary
source in stratified clouds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
B.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
B.2 Transmitted light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
B.3 Reflected light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
˜ ˜
C Responses T (k) and R(k) for steady illumination by a normally
incident pencil-beam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
C.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
C.2 Transmitted light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
C.3 Reflected light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
ˆ ˆ
D Responses T (s) and R(s) for pulsed normal or oblique uniform
illumination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
D.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Contents IX
D.2 Transmitted light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
D.3 Reflected light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
E Scaling exponents for diffusive Green function moments from the
random walk approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
E.1 Caveat about photons as ‘particles’ of light . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
E.2 Elements of Brownian motion theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
E.3 Transmitted light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
E.4 Reflected light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
F Scaling exponents for time-domain anomalous diffusion by extending
the random walk approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
F.1 Anomalous diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
F.2 Observational validation, and evolution toward anomalous
transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6 Radiative transfer of luminescence light in biological tissue
Alexander D. Klose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.2 Light–tissue interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
6.3 Luminescent imaging probes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.3.1 Fluorescent probes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.3.2 Bioluminescent probes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6.4 Radiative transfer model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.4.1 Equation of radiative transfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.4.2 Partly-reflecting boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.4.3 Partial boundary current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.4.4 Scattering phase function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.5 Bioluminescence system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.6 Fluorescence system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.6.1 Rate equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.6.2 Time domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.6.3 Frequency domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
6.6.4 Steady-state domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.7 Radiative transfer approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.7.1 Discrete ordinates method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
6.7.2 Spherical harmonics method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.7.3 Simplified spherical harmonics method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.7.4 Diffusion method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
6.8 Finite difference methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.8.1 Step-differencing method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.8.2 Diamond-differencing method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
6.8.3 Centered-differencing method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
6.9 Solution methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
6.9.1 Source iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
6.9.2 GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.9.3 Multigrid methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.10 Light propagation example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
X Contents
6.11 Image reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6.11.1 Optimization techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
6.11.2 Algebraic reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
6.12 Image reconstruction example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.13 Summary and concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
A Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
A.1 Boundary coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
A.2 Coefficients for partial current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7 The characteristic equation of radiative transfer theory
N.N. Rogovtsov, F.N. Borovik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
7.2 Statement of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
7.2.1 The classical variant of the characteristic equation of radiation
transfer theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
7.2.2 Reducing the classical variant of the characteristic equation of
radiative transfer theory to the family of reduced characteristic
equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
7.3 Solving the classical variant of the characteristic equation of the
radiative transfer theory in an analytical form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
7.3.1 General properties of discrete spectra and eigenfunctions of
the reduced characteristic equations of the radiative transfer
theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
7.3.2 Obtaining solutions of inhomogeneous reduced characteristic
equations of radiative transfer theory in an analytical form . . . . 371
7.3.3 Substantiation of the algorithm for calculating discrete spectra
of reduced characteristic equations of radiative transfer theory . 378
7.3.4 On the stability of solutions of reduced characteristic equations
and infinite systems of linear algebraic equations . . . . . . . . . . . . . 381
7.4 Analytical presentation of azimuthal harmonics of Green’s function of
the radiative transfer equation for the case of an infinite plane-parallel
turbid medium and an arbitrary phase function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
7.5 Effective algorithm to calculate the azimuthally averaged reflection
function and the reflection function for a semi-infinite plane-parallel
turbid medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
7.5.1 General invariance relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
7.5.2 Asymptotical formulas for the azimuthal harmonics of Green’s
function of the radiative transfer equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
7.5.3 Integral equations and formal analytical representations of the
azimuthally averaged reflection function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
7.5.4 Numerical results for the case of water cloud C.1 model . . . . . . . 403
7.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
Appendix A: General mathematical notations, notions and constructions . . . . 408
Appendix B: Metric spaces and their simplest properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Appendix C: Linear, normed and Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411