Liejeve grupe

74 Pages·1976·5.4 MB·Slovene

by  France Krizanic

UNIVERZA V LJUBLJANI
INETITUT ZA MATEMATEKO, FIZIKO IN MEHANIKO
FAKULTETA ZA NARAVOSLUVJE IN TEHNOLOGIJD
POSTDIPLOMSKI SEMINAR IZ MATEMATIKE

Druétvo matematikov, fizikov in astronomov SR Sloven1je
Ljubljana 1976
UNIVERZA V LJUBLJANI
AMS Subj.Class.(1'970) 22—02 In§titut za matematiko, fiziko in mehaniko ‘ uddeIek za matematiko
Fakulteta za naravoslovje in tehnologijo - odsek 2a matematiko
POSTDIPLOMSKI SEMINAR IZ MATEMATIKE
Odgovorni urednik France Kriianié
, @3199 m (1/1
1. Vidav Ivan: 0 kategorijah in algebrski K-teariji, 1971
/ a? x
Z. Kriianié France: Funkcije veé kompleksnih sprémenIiivk. 1971
3/4. Veé avtorjev. 1972
,/
J
/
5. Vidav Xvan: Grupe K0, K1 in K2. 1974
j’wo‘ g’t , 0037337 6. Kriianié France: Tnpoloéke grupe. 1974
7. Suhadélc Anton: 0 kulakaciji. 1975
8. KriZaniE France: Liejeve grupe. 1976
Zaloinikova opomfia:
Avtor je 5am pripravil rokopis
za razmnoiitev. Sam odgovarja
za strokovne, za jezikovne in

za tiskarske napake .
(D 1976 Dr-msVtvo ma‘ tematl'kov,V Fizikov in astronomov SRS
KAZALO
MOGOTEROSTI
l. Mnogoterosti ....................................

2. Morfizmi in difeomorfizmi .......t.............i.......;..... 13
3. Funkcije in krivulje na mnogoterosti .........L...L.Q........ 15
4; Tangentni prostor .........L.L.Q.;.;......................... 23
r
5. Tangenfna preslikava (diferencial preslikave) ............... 31
6. Tangentni snop in tangehtni funktér ...................fl..... 37
49
7. Vektorska polja ih7diferencia1ni sistemi ....................
8; Diferencialne forme ......................................... 67
LIEJEVE GRUPE
9. Liejeva grupa in Liejeva algebra ....;..........‘............ 81

87
10. Enoparametriéne podgrupe in eksponentna preslikava ..........
93%
ll. Taylorjeva vrsta ......
\
12. Adjungirana upodob1tev‘............;....L................f... 97
13. Podgrupe in podalgebre ...-........:......................... ‘101
l4. Lokalno izomoifne Liejeve grupe ..L..f....................... 111
15. Priméi‘i in dodatki 117
C’ . . . . ‘ . . .
16. Igvarlantne forme 1n 1nvar1antna mera na L1eJev1 grupl ...... 127
"x>
Dodatek; Izrek o rangu ....;....;.............. :............‘.... 137
Pregled literature ..........;........L.L......L...........n“,5...
stvarno kazalo ..;...........L....L...............................
1. HNOGOTBROSTI
5» Imejmo topdlo§ki‘proystor X. Karta (zemljevid) na/X
e tiojka Umm, kjer je n naravzfi §tevilo, U okolica (odprfta
diica) X in 9 hofixeomorfizem U na odprto mnoiico v Rn

WU —>‘9’(U) 9507) C R"
We karti nad isto okolico h
U,qz,n U,w.m
sfa ug1a§eni, 5e sta homeomorI-‘izma'med pddmnoiicama it“ in Rm
’w¢r13¢(U)-* w(U) ' ww“:w(fl)~t MU)

oljubno mnagokrat odvecujiva (ali, kot pravimo, ée sta razreda 0°“).
Ker je 1119-1 na vsej mnoiici 97(0) obrnljiva preslikava,
MW“) = (w‘U'
Naj bo V C U odprta podmnoiica in 1va zoiitev preslikave
na. V. Tedaj je V,le,n spet’karta.
b
Dve poljubfii karti U,qz,m in V,w,n sta ug1a§eni, 6e velja

eden od pogojev: ,
U n V = fl
unv,1p!D‘nV,m in UHV,wmnvm sta ugla§eni.
zoiitev karte J'e togej ngla§ena $\karto.
-9—
-8-
Ekvivalenéne razrede atlasov imenujemo diferenciabilne
2e zato, ker 3129211141 homeomorfizem’ med odprtima

trukture. Unija vseh atlasov, ki ustrezajo isti strukturi, je
mnciicama konéno razseinih prostoroxi, je p0 L,E.J.Brouve.rju m a n.
maksimalni ali nasiéeni atlas strukture.
Ugla§ani karti s skupno toéko imata isto razseinost. \
Vpra§anje, ali obstoja na dafiem topoloEkem prostoru X
Atlas 42/ je druiima kart U.,a,;n, , ki zado§éa pogojema:
kaka diferenciabilna strukmra ali ne, ne sodi vyna§o obravnavé}
U. je pokritje p£ostora x.
?rav take nas ne zéhima, koliko razliénih diferenciabilnih struktur
Poljubni dve ‘kaz-ti druiine st; ug1a§eni.
ahko uvedenio v X. 0d vsega zaéetka homo delali s topolo‘s’kim pro—

Dva atlasa sta ugla§ena,v ée J‘e njuna unija spet atlas, torom, ha katerem smo enkrat za vselej iébrali diferenciabilno
(
Ug1a§enost je ekvivaleniné relacija} Refleksivnost 1;: simetz-ija sta Strukturo. Definirajmo1
oéitni. Tranzitivnost paiokaiemo takole: ’
Mnogoterost razreda C°° je topoloéki prostor, opremljen
Haj bodod, 93; ‘6 atlasi. prvi ugla§en z drugim, drugi s

:diferenciabilno strukturo.
tretjim. Vzemirruorpoljub/no kartorU, a, p 15 prfvega in poljubno karto
ObiEajno zahtevamo §e nekaj: Prostor x naj bo Hausdorffov
V. 7 ,r' 12 u‘egjega atlasa. Ce se 11 in V neseéeta, ni kaj dokazovati.
in separabilen (zadoEéa naj drugenm aksicmu itemosti: topologija
V naspromem‘pi‘imeru pa pokriya toéko x e DAV karta v.33: iz drugega
a"§tevno bazo okolic). To dodatno zahtevo upo‘s‘tevajmo tudi ves
atlasa. Lé-ta je ugla§ena z obema izbranima kartama; za:o_p = q = r.
,yEas y na§i obravnavi.
T5“: kjer je obmoéje nedvoumno, zapiEimo ioiitvje z irstimiimaki,’ kot
Vsaica toéka mnogoterosti ima okolico, _1<i je homéomorfna.
preslikave. 5 tea dogom lahico reéemo, da sta
‘ddprt‘i mnoiici 7R" . Zato je mogote‘rost lokalno kompalgtna. Lokalno
pa-‘:£(Unv) —> fi(U:\V)
kompaktni Hansdorffbv érostor pa jg regularen (celo povsem reglularen).
1fl“:p(VnV) ,—’>1(Vrfli)
_ [1“] str.202). Mnogoterost zado§§a drugemu aksiomu Etevnosti. zato
homeomorfizma rézreda c‘”. Také. 5e tedaj tudi preslikava
jeLindeleov (finalno kompakten) prostorkRegularni Lindeleov
7.14- (739‘)(ga-1): a(UnVnW) —» y(UnVnw)
prostor pa je parakompakten (TOGR. 511.25). Zato nazadnje:
z drugimi besedami: v okolici vsake to§ke x s Unv je
M‘nogoterost je lokalno kompakten in parakompakten
ya" poljubna mogobat odvédljiva preslikava. Taka je tedaj pb
pi‘ostor.
vsej Innoiici Unw. Prav take je p0 vsej mnoiici obrnljiva. ker je
Posledica: mogoterost je uormalen prostor.

njen odvnd v vsaki toéki neizrojen. Dokaz je konéan.
TOGR — avtorjeva knjiga TOPOLO§1€E GimPE iz iste zbirke.
-10..
~11—
Parakompaktnost lahko 2a mnogoterosti izrazirno nekoliko
ob koncu definicij sklenimo dogovor o ohlapnem govorjenju,
ostreje kot Vza topolo§ke prostore nasploh:
da '00 beseda laije tekla.
V vsako odprto pokritje mnogoterosti je vértano lokalno
Vso pozornost homo posvetili nmogoterostim razreda Cm.
konéno pok‘ritje, sestavljeno iz kart,
Rekli jim bomo kar gladke mogoterosti. Tudi preslikavi, ki je
Dokaz: Naj ha 0 odprto pok-ritje, fl atlas. Vsak‘o mnoiico
poljubno mnogokrat odvedljiva, bomo rekli gladka preslikava.
t’J secimo z vsemi mnoiicam‘i xi. Druiina presekov je vértana v .9? in
Kadar bomo govorili o mnogoterostih brez pridevkov,
v 0 . Ker je vértana v .2! , jo sestavljajq karte. Druiina presekév
_bo’mo mislili na povezano parakompaktno gladko mnogoterost.
je odprto pokritje, zato lahko iz njega izberemo lokalflo konéno
/
I Karti U, 92 home veékrat rekli llokalni koérdinatni
pokritje.‘ To pa je Ze, kg: smo iskali.

stem. V'saki toéki x e U ustreza v lokalnem koordinatnem sestavu
'Naj.bo prostor x povezan. Tedaj so razseinosti vseh
, 1 _térica koordinat ?(x) s R“. Punkcija (1) posreduje prehod med
kart enake. To dimenzijo pripi§emo kar mogoterusfi in je v bado—
’éma kocrdinatnima sistamoma.

ée v oznaki posamezne karté ne homo veé pisali.
Primeri:
IV definiciji mnogoterosti razreda 6°” je zahteva, da
Naj bo E: n—razseini vektorski prostor, A: E —> R“ pa
bodi r,
zrojena linearna transformacija. (ELA) je karta na E in atlas
1097“,: MU) —>w(U) (1)
ati. Dve karti (E,A).(E,B) — z linearnima neizrojenima A in B -
poljubnomnogokrat odvedljiv homeomorfizem med muciicami R" ', To
ta oéitno uglaé‘éni.
zahtevo lahko oslabimo ali stremenimo. Take dobimo drugaéile
Na 2R" homo uporabljali diferencialno strukturo, ki

mnogoterosti: a atlas z eno samo karto (R",I), kjer je I identiteta.
, z zahtevo, naj 150 (1) r—lcrat odvedljiv, ’mnogoterost
Na sferi 32 uvedemo diferenciabilno strukturo takole:
razreda c’,
berimo severni pol, izkljujmo juini pol, odprti ostanek sfere
z zahtevo, naj be (1) analitiéna funkcijafrealno
naéifio 2 U, U pa stereografsko proicirajmo iz juinega pola na
analitiéno mnogoterost,
ino, ki se dotika sfere v severnem polu. Vsaki toéki U priredi—
z zahtevo, da je g)(U) c m“ in (1) holomorfna, pa
Ltkako par Etevil, ta predpis oznaéimo z a . Take smo sestavili
kompleksno analitiéno rimogoterost.
aino karto U,a . Zamenjajmo vlogi obeh polov, pa dobimo Ee

go karto» V,,9 . obe karti skupaj sestavljata atlas na sferi.
-12-
_ 13 .-
Deanno, da je bila sfera sprva postavljena v trorazseini
prostor tako, da je bila njena enaéba x2 + y-2 + z2 = 1. 2a severni
pol proglasimo toéko (0,0,1). Toéki T(x,y‘,z) na sferi ustrezata
tedaj v lokalni karti U,a kooz‘dinati 2x/(1+z), 2y/(l+z), v lokalni \ .
20 MORFIZMI IN DIFEOMORFIZMI
karti v.3 pa 2x/(1-z), zy/(l-z). Bralec 5am naj zapi§e prehod med
obema koordinatnima sestavoma.
Imejmo mogotarosti X in Y ter zvezno preslikavo med
njfia J
E:X —> Y
Izberimo toéko x E x, karto; 11,029 v X, da je x EU in rkaz-tog v.5:
v Y, da je f(U) c V. Iz zaporedja preslikav
a(U) “:7 {15 v E. 507)
r
,7\,.\
sesta§rimo preslikavo

gfa":a(u) —> g(v) .
Rekli homo, da je f gladka (poljubno mnogokrat odved-j
ljiva) v toéki x, is je taka‘ preslikava fifa“ med mnoiicama a(U) in
f} (V) evklidékih prostorov.
‘ Prav 1ahko se prepriéamo, da je gladkost neédvisna 6d
izbire kart. Izberimo drugo karts istéga atlasav u1 ,a1\| , x 6 U1.
Ker 11am gre 1e za vedenje v bliiini toéke x, lalLko odslej brez

skrbi oznaéimo 1. U presek Untfi in obravnavamo 1e Ee karti J~U,a§ in
tm‘ z istim definicijskim obmoéjem. Nariéimo si takle diagram: ‘
«(‘11) (NV)
\>U f »v< ‘
/- /
am 55v)
-14...
+15—
Oba trikotnika Sta komutativna, navpgc‘fni breslikavi
pa obrnljivi in gladki v obe smeri. Zgornja Veja preslikav iz (11(U)
v AM) is gladka, bri k0 je taka 35a“. Gladka je tedaj rudi pre—
slikava, ki jo dobimo s spodnjo vejo. Dokaz j; konéan, definiciéja 3. FUNKCIJE IN KRIV'ULJE NA MNOGO‘I‘EROSTI
’upraviEena.
LPreslikava £=X¥> Y, ki j’e gladka v vsaki toéki x e x, Naj b0 X mnégoterosf. V tern razdelku obravnavajmo
je g1adka nag. gladké présl/ikave
, Odslej homo primavali le gladke preslikayre med ’ hx —> it"
mogotm‘ostmi. mxoiico vs’éh gladkih preslikav iz X v Y ozxiaéimo
I ‘Mor(X,YL). '. V “ ’\, E23 .., L
pfvim berm; rekli Meije na x, drugim kriv‘uljé 1:35. X.
, , Bralec sam bo zlahia pokaizal. da je kompozitum r ¥
gladkih fireslikav spet‘ gladka preslikaé'a. Obrav£avo zaénimo na lokalnih tleh. Vzemimo toéko

Gladke mgégoterosti sestav'ljajo objekte, gladkg ' x E x iii definirajmo ekvivalenco med funkcijami, definiranimi na
preslikave pa. morfizme‘ kategorije, ki fir pravimo‘kategorija odprtih mnoiicah, k1 vsebujejo X: \
gladkih mnogqterosti. Po dogovoru iz firéfinjega‘razdelka pa ji Dve fimkciji Sta. ekvivalenfni, ée se ujemata na dovolj
homo rekli kar kategorija mno‘goterostiu V A, majhni okolici tofike x.

'Izomorfizmo‘m kategorije nmasfoter-osti pravimo direc— Ekvivalenéne razrede imenujemo brstiée gladkih funkcij
morfizmi; Neposredno 1ahkor difeomorfizem definiramo takole: ‘ v toéki x. Brstiée oznaéimo s polkrepkimi érkami
Difeomorfizem med mnogoterostma x in Y je preslikava, ‘ E e f
ki je bijektivna in gladka hki‘ati z/ inva‘zno. , pbmeni, 3a jé E v brstiéuf . Mnoiico vseh brstiéev v toéki x oznaéima
2 9x. Obiéajne Qper§Cije nad Bunkcijami prezrcalimo ma. brstiée in
take napravimo 12 5'7}; réalno algebra.
Vse mfikcijé brstiéé f imajo isto vrednost f(x). To
ii‘é‘édnost pripiEimo kaz‘ brsti‘éu in jo oznaéimo 2 f(x). Zberfino v mX
V‘Se bis’fiée, ki iglajc vrédnost f(x) = 0. Minoiica mx je oéitno
-17-
_ 15 _
ideal v fix. 2 mx2 oznaéimo kvadrat ideala mx: sestavljajo ga vse
Pokaiimo, da so vsi stacionarni brstiéi :1sz zbrani
mogoée linearne kombinacije produktbv fg , kjet- sta f 6 mx in
v m2 . V ta namen oznaéimo funkcijo (1) 2 g. Nobene §kode ne ha,
. 2 . 3:
g emx. Spet 3e mx 1dea1 v mx
‘c’e privzamemo, da :je a(U) konveksna okolica toéke qrv R". Koordi—
‘
2
mx Cmx nate toélge Eek" oznaéimo 55 . Toéki x naj ustreza koordinatna
Ideal mx2 lahko opi§emo §e drugaée, kot nmoiico n—teric; E = 0. Tedaj
brstiéev, ki so v J; enaki 0 in stacionarni hkrati. Ceprav bomo J 5(5) — g(o) = 5'(d/dt)g<t§>dt = 55km)
0
odvod preslikave obvladali §e1e Eez nekaj razdglkov, lahko Stacie—
kjer je
narno funkcijo définiramoie sedaj. I mm = “f(a/askmusdt
PQVdeI-‘iniciji iz prejEnjega razdelka je preslikava
Zaradi 1146) = o (Eunkcija g J'e stacionarna). jg
EU: a R odvedljiva v x, 6e jev v poljubnem koordiuatnem sestavu,
hkna 2 mx, prav take je gkoa 5 mx (Mcija na levi je superpo—V
U,a, kjer je x e U, fidvedljiva Mcijk a
zicija funkcije, ki je enaka Ek in funkcije a). P0 privzetku f E mx
fa“ :a(U)V —> 3‘ ~ (1)
je g(o) = 0. Nazgdnje zaradi f = you
saj karto v R seétavljata kin identiéna preslikava. Definirajmo
r = E(ékoaxhpa) em;
L ’ Funkcija f J‘e stacionma ft 1:, Ge je odvod funkcije (1)
, \
enak 0 V a(x) V V \ malec sent 130 labko pokagal, da so v51. elementl. mx2
“"7 «I(x) = 0 V (2)
Sta:ioharni.
(ioéko, v kateri raéunamo odvod’, zépi§emo kot' desnj. §podhjiinddcs.) Algebra Fix oEitno lalgko razélenimo v premo vsoto
Pravilo za ddvajanje posredrie Punkcije nam pove \‘ fix = R®mx
\ A
(53—1 g(x) = (ffi—T);(x)(afl-1)é(x) I
’Stacionarni elementi v 9:: sestavljajo podprostor
odtod pa preberemo, da je stacionarnost mnkcije neodvisna od 9;: = Ream;
izbire koordinatnega sistema. befinicijavje uprav’iéena.
Mnoge globalne izreke zlepimo iz lokalnih. PripomoEEk
(2) oéitno velia zaHVse Bunkcije brstiéa, v katerem je
z . ,
za tako lepljenje je razélenitev emote. Ker smo se odloéuir za _
f. Zato lahko definiramo: brstié je stacionaren, Eye vsebuje sta—
parakompaktne mnogoterosti, bi 1ahko uporabili kar ustrezni izrek
cionarno funkcijo. 7\
-15- -19—
za parakompaktne prostare. Vendar bi radi nekaj veé kot tam: enoto Ker je a homeomorfizem, je dovolj, da poiEéemo gladko
b1 radi razélanili v gladke Punkcije, ki imajo nosilce v kartah. To Eunkcijo E111" —>:R , ki je enaka 1 na m in 0 zunaj a(U). Tedaj je
pa homo kaj lahko 'dosegli. funkcija, ki je enaka fa na U in O zunaj U, 2e iskana Punkcija na
Najprej iaremislimo tale: Odprta mnoEica v R" jé unija mnogoterosti.
§tevno mogih odprtih krogel, zato 1ahJ<o vsak‘ratlas na X ragdrobimo Funkcijo )3 pa. sestavimo v nekaj korakih. Zaénimo z
vgekvivalentni atlas s §tevnd nmogimi kartami U,a tako, da je a(U) n = 1 in s fimkcijo u(t), ki je definirafla takolg
odprta kz-ogla v 12". t>0 = u(t) = e'l/t 1:30 : u(t) =0
Potem definirajmo razélenitev enote: To je zaporedje u(t) je gladka pri vseh t. To je o‘éitno pri t f 0. Da je gladka V
gladkih Funkcijffk z nosiici 5111;}: fk , ki sestavljajo lokalno konéno t = 0 pa bo pokazal bralec 5am, bri ko bo neposredno izraéunal
polé-itjé in zado‘s'éajo poé’oju . —1 t
u‘(0) = 2.1:th06 / /t = o
‘
21-} '= 1 ‘
(3) potem pa pri vsakem k
V 'vsaki f'oéki xrje na levi 1e konéno mnogo Elenov umm) = o
razliénih od ‘0.
Punkcija
-RazE1enitev enote je podrej'ena odfirtemu pola-itju U‘. , h(t) = u(t)/(fi(t) + au—m
i e :N, Ee je pri vsakem i
je nenegativna in gladka tar zado§25a pogojema
suppf; c Eri tgo=oh(t)=o £21=h(t)=1
Dokaiiflmo: Vsakemu odprt.emu p:o77kz-itju mnogoterosti ' mkcija
ustreza podrejena razélenitev enotek. ¥ ( g(t) = h((b-t)/(a-t))
Izrek dokaiemo prav take, kakorg‘za parakompaktni kjez- jeo <a<b, je enakalpri tgainenakaoPI-itzb.
prostor (T0GR,st1-.26), 1e Urisonévo 1emo (ToGR,str.18) moramo Pa naj ho a polmer krogle a(V), b polmer krogle a(U).
poprgj', pripraviti za mnoéoterosti.’1‘o pa je iaije delo, kakor, v Tedaj je _
splo§nem primerfi. Leno oblikyzjmo takole: f(x) = 902:!)
Naj bo U,a kaz;ta, v c; U odprta moiica,d(u) in a(v) ie iskana Pmkcija na 12" . Izrek je dokazan.
11'0in in §e Tr c U. Tedaj obstaja na X poljubno mnogokrat odved—
ljiva funkcija, ki je enaka 1 na V in L0 zunaj Ii.