lie systems, lie symmetries and reciprocal transformations.

325 Pages·2015·1.62 MB·English

LIE SYSTEMS, LIE SYMMETRIES
AND RECIPROCAL TRANSFORMATIONS.
Departamento de F´ısica Fundamental
´
Area F´ısica Teo´rica
Universidad de Salamanca
MEMORIA PARA OPTAR AL T´ITULO DE DOCTOR
Cristina Sardo´n Mun˜oz
PhD Thesis, 2015
Dn˜a. Pilar Garc´ıa Est´evez, Catedr´atica de la Universidad de Salamanca y
D. Javier de Lucas Arau´jo, ayudante Doctor de la Universidad de Varsovia,
CERTIFICAN:
Que el trabajo de investigaci´on que se recoge en la siguiente memoria titulado
“Sistemas de Lie, simetr´ıas de Lie y transformaciones rec´ıprocas”, presentada por
Dn˜a. Cristina Sard´on Mun˜oz para optar al t´ıtulo de doctor y la Menci´on de
“Doctorado Internacional”, ha sido realizada en su totalidad bajo su direcci´on y
autorizan su presentaci´on.
Abril, 2015
Dn˜a. PILAR GARC´IA ESTE´VEZ
Catedr´atica
Universidad de Salamanca
D. JAVIER DE LUCAS ARAU´JO
Ayudante Doctor
Universidad de Varsovia
My spine just squinted and my eye is weak
I can’t find peace in a form of speech
My views change color red hot, ice cold
Black ain’t a color, happiness ain’t gold
It’s hard for me to feel normal easy to feel free
It’s hard for you to understand if you can’t feel me
I’m a municipal and the mundane
I try to keep weird keep away from the same
I haven’t read an outline on how to pass youth
Rather than get passed, I pass doobs
I’m out, I’m in, it’s hard to live in this given culture
All the hers and hymns
All of the rats, snakes, and youth vultures around
My heart’s out of shape and my head’s in a cast
I am tired, I am weary
I could sleep for a thousand years
A thousand dreams that would awake me
different colors, made of tears.
-The Growlers and The Velvet Underground-

La esencia de todo arte bello, es la gratitud
-Friederich Nietzsche
Cuando expresamos nuestra gratitud, no debemos olvidar que la mayor apreciaci´on
no va en las palabras, sino en las acciones, parafraseando a J.F. Kennedy. Las
personas han sido muchas, las acciones fueron m´as. Intentar hacer un resumen de
cuatro an˜os de trabajo y apoyo en un simple folio, son incompatibles. Sin embargo,
en un breve y futil intento, siguiendo un orden cronol´ogico, me dispongo a agradecer
debidamente:
AlaUniversidaddeSalamanca, porcubrirecon´onicamenteestetrabajoyaPilar
Garc´ıaEst´evezporaceptarmecomoalumna. AlDepartamentodeF´ısicaFundamen-
tal y todos sus integrantes, por la grata acogida y hacerme sentir parte de ellos. En
especial, a Jose Mar´ıa Cerver´o por sus sabias aportaciones en la investigaci´on aso-
ciada a esta tesis.
A mis dos directores de tesis, Pilar Garc´ıa Est´evez y Javier de Lucas Arau´jo por
depositarsuconfianzaenm´ıcomofuturainvestigadoraytenerlapacienciasuficiente
paraformaraunanovata, muydespistada. Ladiscusio´ncient´ıfica, lasexplicaciones,
las demostraciones y consejos en temas distendidos y/o personales, han sido de lo
m´as necesarios y bienvenidos. Pero sobre todo, es de digno agradecimiento final, el
esfuerzo final. La elaboraci´on de este manuscrito y sabias correcciones.
A la C´atedra de M´etodos Matem´aticos en F´ısica de la Universidad de Varsovia,
al IMPAN (Instituto de Matem´aticas de la Academia Polaca de las Ciencias) y
al Polish National Science Center, por todo tipo de acondicionamiento y apoyo
econ´omico para realizar mi estancia internacional. En particular, querr´ıa agradecer
lafinanciaci´ondelproyectoHARMONIA1 yalProfesorGrabowskiporlaaceptaci´on
de mi colaboraci´on y resolver la burocracia pertinente.
1DEC-2012/04/M/ST1/00523
ii
A la Universidad Roma Tr´e en Roma, por aceptarme en una estancia breve y
gratificante para la discusi´on con los profesores de mi m´as suma admiraci´on, Decio
Levi, Orlando Ragnisco y Pavel Winternitz, con quienes espero mantener un estre-
cho contacto cient´ıfico de ahora en adelante. A Pep´ın Carin˜ena, por transmitirme
sus conocimientos y contribuir a mi formaci´on en mis estancias en la Universidad de
Zaragoza. A la red de Geometr´ıa, Mec´anica y Control por permitirme ser miembro
de ella y sufragar mis gastos en viajes nacionales, que han contribu´ıdo muy prove-
chosamente durante mi doctorado, permiti´endome conocer a un gran nu´mero de
cient´ıficos de renombre internacional.
A A´ngel Ballesteros por invitarme a la Universidad de Burgos y a Alfonso
Blasco por trabajar conmigo. A mi colega Francisco Jos´e Herranz, colega en sen-
tido cient´ıfico, porque en el plano personal le considero un gran amigo, que me ha
servido de consejero, apoyo incondicional y el mejor compan˜ero de viajes interna-
cionales. Adem´as de lo obvio, por transmitirme sus conocimientos y ensen˜arme el
perfeccionismo que pone en la investigaci´on. A Juan Domingo Lejarreta, por su
metodismo y meticulosidad en sus c´alculos, ayud´andome en la realizaci´on y com-
probaci´on de los m´ıos. A Silvia Vilarin˜o, porque es admirable en su trabajo y ofrece
verdadera confianza y profesionalidad y me ha ensen˜ado a dar una buena charla y
en la organizaci´on de mi desorden matem´atico.
A Cuchi, que ha contribuido en la estructuraci´on y bonita presentaci´on de esta
tesis. Adem´as de nuestra amistad. A los marsopas A´lvaro, Cuchi, Teresa, Alberto
y Edu, porque no s´olo de ciencia vive el hombre, nos pegamos nuestras juergas. A
Lorena, estimada amiga y compan˜ena de promoci´on, de alegr´ıas y penas, de explo-
raci´on internacional, cuya amistad y su profesionalidad investigadora no han sido
para m´ı sino el acicate para intentar conseguir parecerme y mantenerme junto a
ella. A Bea, estimada amiga y compan˜era de j´oven adolescencia, de instituto, de
promoci´on, de alegr´ıas y penas, de exploraci´on internacional, cuya amistad, profe-
sionalidad y buen humor son el incentivo de ju´bilo y buenos ratos en mi vida, si me
encuentro con ella. A Rafa, Aser y Luis, porque son mis mejores amigos. Encuentro
en ellos la mayor afinidad de cualquier´ındole. Porque me han ensen˜ado que la vida
puede ser simple pero insisto en hacerla complicada. Un diez por ciento es lo que
nos ocurre, el noventa es c´omo actuamos. La despreocupaci´on ha contribuido muy
positivamente estos u´ltimos cuatro an˜os. Y que lo pasamos de muerte.
Finalmente,megustar´ıaagradeceramisqueridospadreselhabermeacompan˜ado
siempre. Hoy me siento dichosa mujer, que gracias a ellos, no he sentido nunca la
soledad en este mundo. Que su ejemplo de sacrificio me ha servido en esforzarme en
lafinalizaci´ondeundoctoradoyquemerecuerdenmival´ıa,enper´ıodosdeprivaci´on
de mi ocio y su comprensi´on en la ansiedad, han sido ineludibles en esta etapa.
A todos vosotros, gracias de todo coraz´on.
Contents
1 Introduction 1
1 The notion of integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Integrability of dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Integrability of Hamiltonian systems . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Methods to guarantee integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1 Lax pairs and the IST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 The Hirota bilinear method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 The Painlev´e test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 The singular manifold method . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Lie systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Lie symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Reciprocal transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Geometric Fundamentals 17
1 Tangent spaces, vector fields and integral curves . . . . . . . . . . . 19
2 Time-dependent vector fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Higher-order tangent spaces and related notions . . . . . . . . . . . . 25
4 Jet bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Poisson algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 Symplectic, presymplectic and Poisson manifolds . . . . . . . . . . . 32
7 Dirac manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8 Jacobi manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Lie systems 39
1 The interest of Lie systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
iv
2 Lie systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1 Lie systems and superposition rules . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Lie systems on Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 An algorithm to derive superposition rules . . . . . . . . . . . 50
2.4 New applications of Lie systems . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Lie–Hamilton systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.1 On the necessity of Lie–Hamilton systems . . . . . . . . . . . 66
3.2 Lie–Hamilton structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 t-independent constants of motion . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4 Symmetries, linearization and comomentum maps . . . . . . 76
3.5 On t-dependent constants of motion . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6 Lie integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7 Polynomial Lie integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.8 The coalgebra method, constants of motion and superposition
rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4 Applications of the geometric theory of Lie–Hamilton systems . . . . 90
4.1 The Ermakov system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 A superposition rule for Riccati equations . . . . . . . . . . . 91
4.3 Kummer–Schwarz equations in Hamilton form . . . . . . . . 93
4.4 The n-dimensional Smorodinsky–Winternitz systems . . . . . 95
4.5 A trigonometric system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5 Classification of Lie–Hamilton systems on the plane . . . . . . . . . 99
5.1 On general definitions and properties . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2 Lie–Hamilton algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3 Local classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Applications of Lie–Hamilton systems on the plane . . . . . . . . . . 116
6.1 sl(2,R)-Lie–Hamilton systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2 Lie–Hamilton biological models . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3 Other Lie–Hamilton systems on the plane . . . . . . . . . . . 129
6.4 Two-photon Lie–Hamilton systems . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.5 h -Lie–Hamilton systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2
7 Dirac–Lie systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.1 Motivation for Dirac–Lie systems . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.2 Dirac–Lie Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3 Diagonal prolongations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.4 Superposition rules and t-independent constants of motion . 153
7.5 Bi–Dirac–Lie systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.6 Dirac–Lie systems and Schwarzian–KdV equations . . . . . . 159
8 Jacobi–Lie systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.1 Jacobi–Lie systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.2 Jacobi–Lie Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
v
8.3 Jacobi–Lie systems on low dimensional manifolds . . . . . . . 164
4 Lie symmetry for differential equations 169
1 What can a symmetry transformation achieve? . . . . . . . . . . . . 169
2 The CLS for ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.1 Algorithmic computation of Lie point symmetry for systems
of ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3 Lie symmetries for Lie systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.1 On certain Lie symmetries for Lie systems . . . . . . . . . . . 179
3.2 Lie algebras of Lie symmetries for Lie systems . . . . . . . . 183
3.3 Applications to systems of ODEs and HODEs . . . . . . . . . 185
3.4 Lie symmetries for Aff(R)-Lie systems . . . . . . . . . . . . . 193
3.5 Lie symmetries for PDE Lie systems . . . . . . . . . . . . . . 196
3.6 Lie symmetries for sl(2,R)-PDE Lie systems . . . . . . . . . 199
4 The CLS and NSM for PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.1 Algorithmic computation of Lie point symmetries for systems
of PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.2 Reduction method of systems of PDEs . . . . . . . . . . . . . 203
5 Applications to PDEs in Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.1 The 2+1 dimensional BKP equation and corresponding Lax
pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.2 Areductionofthe2+1-BKPequationandcorrespondingLax
pair to 1+1 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6 Explicit calculation for hierarchies of PDEs . . . . . . . . . . . . . . 221
6.1 ThenegativeCamassa-Holmhierarchyin2+1dimensionsand
corresponding Lax pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.2 TheQiaohierarchyin2+1dimensionsandcorrespondingLax
pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5 Reciprocal transformations 255
1 What is a reciprocal transformation? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
2 Quasi-algorithmical construction of reciprocal transformations . . . . 259
3 CHH(2+1) versus CBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4 mCHH(2+1) versus mCBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5 Reciprocal-Miura transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.1 Particular case 1: The Qiao equation . . . . . . . . . . . . . . 267
5.2 Particular case 2: The Camassa-Holm equation . . . . . . . . 268
6 Conclusions and outlook 271
1 Lie systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
2 Lie symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
3 Reciprocal transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
vi
Appendix 1: Tables 277
Appendix 2: Auxiliar calculations for Chapter 5 283
Bibliography 285