Lições de Física de Feynman

180 Pages·2008·81.255 MB·Portuguese

by  Richard P. Feynman

17-6 Lições deFísica
Também nestas unidades, temos
m~. (17.7)
Por exemplo, se medimos energia em elétron-volts, o que a massa de um elétron-
volt significa? Significa a massa cuja energia de repouso é I elétron-volt, isto é,
1110C" é um elétron-volt. Por exemplo. a massa de repouso de um elétron é 0,511 x
106eV.
Agora como seriam omomento eaenergia emumnovosistema decoordenadas?
Para descobrirmos, devemos transformar a Eq. (17.6), o que podemos fazer porque
sabemos como avelocidade setransforma. Suponha que, quando amedimos, um ob-
jeto tem velocidade v, mas olhamos para o mesmo objeto do ponto de vista de uma
nave espacial que está se movendo com velocidade u, e neste sistema usamos uma
linhaparadesignar agrandeza correspondente. Comoobjetivo desimplificar ascoisas
nocomeço, devemos tomar ocaso em que avelocidade v énamesma direção que u.
(Mais tarde, podemos fazer ocaso mais geral.) O queév', avelocidade vistadanave
espacial~Éuma velocidade composta, a "diferença" entre v e u. Dada pela lei que
usamos anteriormente,
v - u
v' = (17.8)
1 - uv o
Agora vamos calcular a nova energia E.a energia como a pessoa na nave espacial
veria. Ele usaria amesma massa derepouso, obviamente, mas eleusaria v' para ave-
locidade. O que temos que fazer équadrar v'. subtraí-Iadeum,tomar araizquadrada.
etomar arecíproca:
+
v2 2uv Z
- U
+
1 2uv U2V2 '
+
I - 2uv u2VZ
+
v2 _ u2 U2V2
+
1 - 2uv U2V2
(1 - v2)(1 - u2)
(l - UV)2
Deste modo.
1 - uv
(17.9
112
Aenergia E' éentão simplesmente 1110 vezes aexpressão acima. Mas queremos
expressar a energia em termos da energia sem a linha e do momento, e notamos
que
E' mo - mouv (mo/~) - (mov/~) U
VI=U2
ou
E - Upz
E' (17.l0
VI -
u2
quereconhecemos como sendo exatamente amesma forma que
t - ux
t' = y'l-U2
Aseguir devemos achar onovo momento p', Este ésomente aenergia E vezes v',eé
também simple mente expressado emtermos deE ep:
Espaço-Tempo 17-7
mo - mouv (mo/-vr-=vz) - (mov/VI=V2) u
E'
vfl=U2
ssim
E - upx
E' 07.11)
v'1="U2
reconhecemos como sendo precisamente da mesma forma que
x' = x - ut
v'1="U2
Assim as transformações para anova energia emomento em termos dos antigos
mento e energia são exatamente as mesmas que as transformações para r' em
ermos de tex, ex' em termos de .re r: tudo o que temos que fazer é toda vez que
ermos t na (17.4) substituir por E. e toda a vez que vermos x substituir por p. e
_ tão as equações (17.4) se tomarão as mesmas que as Eqs. (1 .10) e (l .11). Isto
plicaria, se tudo funcionar corretamente. uma regra adicional que p/ =p-,eque p/
=P:. Para provar isto seria necessário voltarmos eesrudarmos ocaso do movimento
-:- a cima e para baixo. Na verdade. estudamo o caso do movimento para cima e
-;TIabaixo no último capítulo. Analisamos uma colisão complicada e notamos que.
::efato, o momento diagonalnão é mudado quando visto de um sistema em movi-
-ento; então já verificamos que p/ = p,.e que p/ = Pc' A transformação completa.
_ tão, é
Px - uE
p~ = VI - zp-.
(17.12).
pz
E - uPx
E'= vI -
u2
Nestas transformações, portanto. descobrimos quatro quantidades que se transfor-
como .r,y,;:et.eque chamamos de quadrivetor domomento. Já que omomento
_am quadrivetor, ele pode ser representado em um diagrama do espaço-tempo de
partícula em movimento corno uma .. ela" tangente ao caminho. como mostrado
Figura 17-4. Esta seta tem urna componente temporal igual à energia. e as suas
ponentes espaciais representam oseu trivetor do momento: esta seta émais "real"
ambos o momento e a energia, porque estes dependem de como olhamos para o
ama.
--5 Álgebra de quadrivetores
- notação para quadrivetore édiferente que para trivetores. No caso de trivetores. se J
semos falar sobre o simples trivetor momento. oescreveríamos como p. Se quisés-
znos ser mais específicos. poderíamos dizer que ele tem três componentes que são.
ra os eixos e discussão. p" P, eP:. ou poderíamo simplesmente nos referir a urna
ponente geral como Pi' e dizer que ipoderia ser .r, Y ou ::;,e que estas são as três
ponentes; isto é, imagine que iéqualquer uma das três direções x.y ou ::;.A nota- x
P}L
- que usamos para quadrivetores éanáloga ae ta: escrevemos Pw para oquadrivetor.
eIIrepresenta as quatro direçõe pos íveis t..r.y ou ::;.
Poderíamos, obviamente, usar qualquer notação que quiséssemos: não ria das
- ções; invente-as, elas são poderosas. De fato. matemática é. em um âmbito maior,
enção de notações melhores. Toda a idéia de um quadrivetor. de fato. é um aper- Figura 17-4 O quadrivetor momento de uma
çoamento na notação para que as transformações possam ser lembradas com mais partícula.
17-8 Lições deFísica
facilidade. Au, então, éum quadrivetor genérico, mas para ocaso especial do momen-
to, P éidentificado como a energia, p; é o momento na direção x, Pyé ele na direção
I
y, e P, é na direção z. Para adicionar quadrivetores, adicionamos as componentes
correspondentes.
Se existe uma equação entre quadrivetores, então a equação é verdadeira para
cada componente. Por exemplo, se alei de conservação do trivetor momento é verda-
deira em partículas colidindo, isto é, se asoma dos momentos para um grande número
de partículas interagindo e colidindo deve ser uma constante, isto deve significar que
as somas de todos os momentos na direção x, na direção y e na direção z, para todas
as partículas, devem ser constantes. Essa lei sozinha seria impossível na relatividade
porque ela está incompleta; écomo falar apenas de duas das componentes de um trive-
tor. Ela éincompleta porque se rodamos os eixos, misturamos as várias component
então devemos incluir todas as três componentes na nossa lei. Assim, na relatividade
devemos completar a lei de conservação do momento pela sua extensão para inclui;
a componente temporal. Isto é absolutamente necessário para irjunto com as outras
três, ou não pode existir invariância relativística. A conservação daenergia éaquarta
equação que vai com aconservação do momento para fazer arelação de quadrivetores
válida na geometria de espaço e tempo. Assim a lei de conservação da energia emo-
mento na notação quadridimensional é
L:h L:h
(17.13
partículas partículas
indo saindo
ou, em uma notação um pouco diferente
onde i= 1,2, ... está relacionado com as partículas indo para acolisão,j= 1,2, ... es
relacionado com as partículas saindo da colisão, eJ.l = x, y, Z ou t.Você diz, "Em q
eixo?" Não faz diferença. A lei é verdade para cada componente, usando qualque
eixo.
Em análise vetorial discutimos outra coisa, oproduto escalar de dois vetores. V~
mos agora considerar a coisa correspondente no espaço-tempo. Em rotações simpl
l
descobrimos que existia uma quantidade invariável x2 + +/. Em quatro dimensões,
descobrimos que aquantidade correspondente él- x2 -l-l (Eq. 17.3). Como pode-
mos escrever isto? Uma maneira seria escrever algum tipo de coisa quadridimensionz,
com o quadrado do produto escalar no meio, como Au <)B~uma das notações que ;:
na verdade usada é
"LÇ'".'."J A~A~= Aí???-? A; - Aii - A;. (17.1:
"
A linha na I significa que oprimeiro termo, otermo "temporal", épositivo, mz,
os outros três termos têm sinais negativos. Esta quantidade, então, será a mesma er;
qualquer sistema de coordenadas, e podemos chamá-Ia de quadrado do comprimem
do quadrivetor. Por exemplo, o que é o quadrado do comprimento do quadrivetor .
momento de uma u'rn.ca partíc'Iu a.?Isto sera'i.guaIaP-?I- p'?~- P;?- P;?, ou em outras p<~l1_L...-
vras, E -/, porque sabemos que P éE. Oque éE -p2? Deve ser algo que éornes
I
em todos os sistemas de coordenadas. Em particular, deve ser o mesmo para um siste-
ma de coordenadas que está se movendo junto com apartícula, no qual apartícula e
parada. Se apartícula está parada, ela não teria nenhum momento. Então neste siste
de coordenadas, esta grandeza ésomente asua energia, que éamesma que asua mas-
de repouso. Assim E2 - / = m~.Então vemos que o quadrado do comprimento de ~
vetor, oquadrivetor do momento, é igual am~.
Do quadrado de um vetor, podemos seguir e inventar o "produto escalar", ou
produto que é um escalar: se au é um quadrivetor e bu é outro quadrivetor, então
produto escalar é
Espaço-Tempo 17-9
Este éomesmo em todos os sistemas de coordenadas.
Finalmente, devemos mencionar cenas coisas cuja massa de repou o 1110 é zero.
_-mfóton de luz, por exemplo. m fóton écomo uma partícula. na qual ele carrega
_ ergia emomento. A energia de um fóton éuma cena constante. chamada constante
- Planck, vezes a freqüência do fóton: E = h». Tal fóton também carrega um mo-
nto, eomomento de um fóton (ou de qualquer outra partícula. de fato) éhdividido
=
:elo comprimento de onda: p h/): Mas para um fóton. existe uma relação definida
entre afreqüência eocomprimento de onda: t:= CM. (O número de ondas por segun-
- vezes o comprimento de onda de cada um é a distância que a luz anda em um se-
=:mdo, que, obviamente. éc.)Assim vemos imediatamente que aenergia de um fóton
zeve ser o momento vezes c. ou se c = l. a energia eomomento são iguais. Sendo
im, a massa em repouso é zero. amo olhar para isso novamente: que é muito
.urioso. Se esta é uma partícula de mas a em repou o zero. o que acontece quando
=
apára? Ela nunca pára! Ela sempre anda com velocidade c. A formula usual para
mo/-vr-=vz.
energia é Agora podemos dizer que 1110 =Oe i = 1.então a energia
=
07 Não podemos dizer que ela é zero: o fóton realmente pode ter (e tem) energia
sar de não ter massa de repouso. ele a possui porque está perpetuamente andando
velocidade da luz:
Também sabemos que o momento de qualquer partícula é igual a sua energia
= = = c
vezes asua velocidade: se c 1.P \E ou. em unidades comuns. p IE/c. Para
_:mlquer partícula se movendo na velocidade da luz. p =E se c= I. As fórmulas para
energia de um fóton quando vistas por um sistema em movimento são obviamente
aspela Eq. (17.12). mas para omomento devemo sub tituir aenergia vezes c(ou
ezes 1 neste caso). As energias diferente depois da tran formação ignificam que
_'ti tem freqüências diferentes. Este échamado de efeito Doppler. ese pode calculá-lo
ilmente apartir da Eq. (l7.12). usando também que E=p eE =hv.
Como Minkowski disse, "0 espaço sozinho. e o tempo sozinho irão se reduzir a
ras sombras, e somente um tipo de união entre eles deve sobreviver",
18
Rotações em Duas Dimensões
18-1 O centro de massa
Nos capítulos anteriores estudamos a mecânica dos pontos ou de partículas pequenas 18-1 O centro de massa
cuja estrutura interna não nos preocupava. Para os próximos poucos capítulos devemos
18-2 Rotação de um corpo rígido
estudar a aplicação das leis de Newton para coisas mais complicadas. Quando o mundo
se torna mais complicado, ele também se torna mais interessante e devemos descobrir 18-3 Momento angular
que os fenómenos associados com a mecânica de um objeto mais complexo que so-
18-4 Conservação do momento angular
mente um ponto são realmente notáveis. Obviamente esses fenómenos envolvem nada
mais que combinações das leis de Newton, mas algumas vezes é difícil de acreditar que
somente F = ma está atuando.
Os objetos mais complicados que tratamos podem ser de diversos tipos: água es-
correndo, galáxias espiralando e assim por diante. O objeto "complicado" mais sim-
ples para analisar, no começo, é o que chamamos de corpo rígido, um objeto sólido
que está rodando enquanto se move. No entanto, até esse objeto simples pode ter um
movimento mais complicado e por isso devemos primeiro considerar os aspectos mais
simples de tal movimento, no qual um corpo extenso roda ao redor de um eixo fixo.
Então um determinado ponto nesse corpo se move em urn plano perpendicular a esse
eixo. Tal rotação de um corpo ao redor de um eixo fixo é chamada de rotação plana ou
rotação em duas dimensões. Devemos, mais tarde, generalizar os resultados para três
dimensões, mas ao fazer isso acharemos que, diferentemente do caso da mecânica de
partículas ordinárias, rotações são sutis e difíceis de entender a menos que tenhamos
uma base sólida em duas dimensões.
O primeiro teorema interessante envolvendo o movimento de objetos complicados
pode ser observado funcionando se jogarmos um objeto feito de vários blocos e irre-
gularidades, mantidos juntos por uma corda, no ar. Claramente sabemos que ele anda
numa parábola porque estudamos isso para uma partícula. Mas agora nosso objeto não é
mais uma partícula; ele roda e balança, assim por diante. Apesar disso, ele percorre uma
parábola; pode-se ver isso. O que percorre uma parábola? Certamente não é o ponto no
canto do bloco, porque este está rodando, também não é o final do bastão de madeira
ou o seu meio ou o meio do bloco. Mas alguma coisa percorre uma parábola, existe
um "centro" real que se move em uma parábola. Então nosso primeiro teorema sobre
objetos complexos é demonstrar que existe uma posição média que é definida matema-
ticamente, mas não necessariamente um ponto do material, que percorre uma parábola.
Esse é chamado o teorema do centro de massa e a prova dele é dada a seguir.
Podemos considerar qualquer objeto como sendo feito de muitas partículas pe-
quenas, os átomos, com várias forças entre eles. Representaremos por i um índice que
define uma das partículas. (Existem milhões delas, então i vai até 10 ou algo assim)
Então a força na í-ésima partícula é, obviamente, a massa vezes a aceleração dessa
partícula:
F, = (18.1)
Nos próximos poucos capítulos nossos objetos se movendo serão tais que todas as
suas partes estão se movendo com velocidade muito menor que a velocidade da luz e
devemos usar a aproximação não relativística para todas as grandezas. Nessas circuns-
tâncias a massa é constante, então
(18.2)
Se adicionarmos agora a força em todas as partículas, isto é, se tomarmos a soma de
todos os Ffs para todos os diferentes índices, obteremos a força total, F. No outro lado
da equação, obtemos a mesma coisa apesar de adicionarmos antes da diferenciação:
18-2 Lições de Física
VFí = F = " Mm*v. ,.„,,
Z-f * ,2 (IK.i)
i ai
Levando ao fato que a força total é a segunda derivada das massas vezes as suas posi-
ções, todas somadas juntas.
Agora a força total em todas as partículas é a mesma que a força externa. Por
quê? Porque apesar de existirem todos os tipos de forças nas partículas devido aos
fios, às oscilações, aos puxões e empurrões, às forças atómicas e quem sabe mais o
que, e nós temos que adicionar todas estas forças, somos resgatados pela Terceira
Lei de Newton. Entre quaisquer duas partículas a ação e a reação são iguais, de tal
maneira que quando adicionamos todas as equações, se quaisquer duas partículas têm
força entre elas, esta se cancela com a sua reação; por esse motivo o resultado final
é dado somente pelas forças que são produzidas por outras partículas que não estão
incluídas no objeto que decidimos fazer a soma sobre. Assim se Eq. (18.3) é a soma
sobre certo número de partículas, que juntas são chamadas "o objeto", então a força
externa no objeto total e' igual à soma de todas as forças em todas as partículas que o
constituem.
Agora seria interessante se pudéssemos escrever a Eq. (18.3) como a massa total
vezes alguma aceleração. Nós podemos. Vamos dizer que M é a soma de todas as mas-
sas, isto é. a massa total. Então se definimos certo vetor R sendo
R = Ç míi-í/M, (lg_4)
i
Eq. (18.3) será simplesmente
F = d2(MR)/dt2 = M(d*R/dt2\)
já que M é constante. Dessa maneira achamos que a força externa é a massa total ve-
zes a aceleração de um ponto imaginário cuja localização é R. Esse ponto é chamado
de centro de massa de um corpo. Ele é um ponto em algum lugar mais ou menos no
"meio" do objeto, um tipo de média de r na qual os diferentes r(s tem pesos ou impor-
tâncias proporcionais às massas.
Devemos discutir esse teorema importante com mais detalhe em um capítulo
seguinte e devemos por isso limitar nossas observações a dois pontos: Primeiro,
se as forças externas são zero. se o objeto está flutuando no espaço vazio, ele pode
rodar, balançar, torcer e fazer qualquer tipo de coisa. Mas o seu centro de mas-
sa, essa posição artificialmente inventada e calculada, em algum lugar no meio,
se moverá com velocidade constante. Em particular se ele está inicialmente em
repouso, ele ficará em repouso. Então se temos algum tipo de caixa, talvez uma
espaçonave, com pessoas dentro e calculamos a posição do centro de massa e
o achamos parado, então ele continuará parado se nenhuma força externa está
aluando sobre a caixa. Obviamente, a espaçonave pode se mover um pouco no
espaço, mas isto é porque as pessoas estão andando para frente e para trás no
seu interior; quando algue'm anda em uma direção para frente, a nave se move na
mesma direção para trás e com isso mantém a posição média de todas as massas
exatamente na mesma posição.
Então a propulsão de um foguete é absolutamente impossível porque não pode-
mos mover o centro de massa? Não; mas claramente descobrimos que para impulsio-
nar uma parte de interesse do foguete, uma parte não interessante deve ser jogada fora.
Em outras palavras, se começamos com o foguete com velocidade zero e jogamos
um pouco de gasolina para fora na sua parte de trás, então essa pequena mancha de
gasolina se move em uma direção enquanto o foguete se move em outra direção, mas
o centro de massa está exatamente onde estava antes. Dessa maneira apenas movemos
a parte que nos interessa contra a parte que não nos interessa.
O segundo ponto envolvendo o centro de massa, que foi a razão pela qual o intro-
duzimos na nossa discussão nesse momento, é que ele pode ser tratado separadamente
dos movimentos "internos" de um objeto e pode por esse motivo ser ignorado nas
nossas discussões de rotação.
Rotações em Duas Dimensões 18-3
18-2 Rotação de um corpo rígido
Agora vamos discutir rotações. Obviamente um objeto ordinário não simplesmente
roda, ele tomba, balança e se dobra, então para simplificar devemos discutir o movi-
mento de um objeto ideal, inexistente que chamamos de corpo rígido. Isto significa
um objeto no qual as forças entre os átomos são tão fortes e de uma característica tal
que forças pequenas que são necessárias para movê-lo não o dobram. A sua forma fica
essencialmente a mesma enquanto ele se move. Se desejarmos estudar o movimento
desse corpo e concordamos em ignorar o movimento do centro de massa, resta apenas
uma coisa para ele fazer, e isto é rodar. Temos que descrever isso. Como? Suponha-
mos a existência de uma linha no corpo que permanece parada (talvez ela inclua o
centro de massa, talvez não) e o corpo está girando ao redor dessa linha em particular,
como um eixo. Como definimos rotação? Isso é suficientemente fácil se. por exemplo,
marcarmos um ponto em algum lugar do objeto que não seja no eixo. podemos sempre
dizer exatamente onde o objeto está, se soubermos somente para onde esse ponto foi.
A única coisa necessária para descrever a posição desse ponto é um ângulo. Então a
rotação consiste de um estudo da variação do ângulo com o tempo.
Com o objetivo de estudar a rotação, observamos o ângulo através do qual um cor-
po virou. Claramente, não nos referimos a qualquer ângulo dentro do próprio objeto;
não é que desenhamos qualquer ângulo no objeto. Estamos falando sobre a mudança
angular da posição do objeto todo, de um tempo para outro.
Primeiro, vamos estudar a cinemática das rotações. O ângulo mudará com o tem-
po e da mesma maneira que falamos sobre posição e velocidade em uma dimensão.
nós podemos falar sobre posição angular e velocidade angular no plano de rotação.
De fato existe uma relação muito interessante entre rotação em duas dimensões e o
deslocamento em uma dimensão, na qual quase todas as quantidades têm seu aná-
logo. Primeiramente, temos o ângulo #que define o quão longe o corpo rodou', este
substitui a distância v, que define o quão longe o corpo andou. Da mesma maneira,
temos a velocidade de rotação, co = âQ/dt, que nos diz o quanto o ângulo muda em
um segundo, assim como r = ds/dt descreve o quão rápido um objeto se move ou o
quão rápido ele se move em um segundo. Se o ângulo e' medido em radianos, então
a velocidade angular to será tantos e tantos radianos por segundo. Quanto maior a
velocidade angular, mais rápido o objeto está rodando, mais rápido o ângulo está
mudando. Podemos continuar: podemos diferenciar a velocidade angular em relação
ao tempo e podemos chamar a = doí/dt = d~6/df a aceleração angular. Que seria o
análogo da aceleração simples.
Agora obviamente temos que relacionar a dinâmica da rotação com as leis da di-
nâmica das partículas que compõe o objeto, então devemos achar como uma partícula
especifica se move quando a velocidade angular é tal e tal. Para fazer isso, vamos to-
mar certa partícula que está localizada em uma distância r do eixo e dizer que ela está
em certa localização P(x, y) em um dado instante, como de costume (Figura 18-1).
Se em um momento Aí posterior o ângulo de todo o objeto tenha rodado em Aft
então essa partícula é levada junto com o mesmo. Ela está no mesmo raio de distancia
de O que estava antes, mas é carregada para Q. A primeira coisa que gostaríamos de
saber e' quanto a distância .v mudou e quanto a distância y mudou. Se OP é chamado de
r, então o comprimento PQ é rA#, devido à maneira como os ângulos são definidos. A
mudança em x, então, é simplesmente a projeção de r A6 na direção x:
Ax = -PQsenO = -rAB-(y/r) = -y AO. (18.6)
Semelhantemente,
Ay = +jcA0. (18.7)
Se um objeto está rodando com uma dada velocidade angular co. achamos, pela divisão
de ambos os lados de (18.6) e (18.7) por Aí, que a velocidade da partícula é
va = -tay e vy = +ux. (18.8)
Figura 18-1 Cinemática da rotação em duas di-
Claramente se queremos achar a magnitude da velocidade, simplesmente escrevemos mensões.
18-4 Lições de Física
(18.9)
Não deveria ser nenhum mistério que o valor da magnitude dessa velocidade é cor; de
fato, isto deveria ser auto-e vidente, pois a distância que ele se move é rA0 e a distância
que ele se move por segundo é r A9/Af ou /-(ú.
Vamos agora continuar considerando a dinâmica da rotação. Aqui um novo con-
ceito. força, precisa ser introduzido. Vamos questionar quando podemos inventar algo
que vamos chamar de Iorque (L torquere, torcer) que tem a mesma relação com a
rotação como a força tem com o movimento linear. A força e' a coisa que é necessária
para realizar o movimento linear e a coisa que faz algo rodar é uma "força rotatória"
ou uma "força torcedora", isto é, um torque. Quantitativamente, um torque é uma
"torção"; o que é um torque quantitativamente? Devemos chegar à teoria dos torques
quantitativamente através do estudo do trabalho realizado para rodar um objeto, uma
maneira interessante de definir força e' dizer quanto trabalho ela realiza quando atua
durante um dado deslocamento. Vamos tentar manter a analogia entre as grande/as
lineares e angulares comparando o trabalho que fazemos quando rodamos um pouco
algo na presença de forças aluando no mesmo, com o torque vezes o ângulo pelo qual
ele rodou. Em outras palavras, a definição de torque vai ser arrumada de tal maneira
que o teorema do trabalho tenha um análogo absoluto: força vezes distância é traba-
lho e torque vezes ângulo será trabalho. Isso nos fala o que é torque. Considere, por
enquanto, um corpo rígido de algum tipo com várias forças aluando nele e um eixo
ao redor do qual o corpo rotaciona. Vamos primeiramente nos concentrar na força
e supor que esta força é aplicada em um certo ponto {.v, v). Quanto trabalho seria
realizado se fossemos rodar o objeto cm um ângulo muito pequeno? Isso é fácil. O
trabalho realizado seria
xx vày. (18.10)
Precisamos somente substituir as Eqs. ( 1 8.6) e ( 1 8.7) para A.V e Ar para obtermos
MV = (xFy- yFjM. (18.11)
Isto é, a quantidade de trabalho que fizemos é. de fato. igual ao ângulo através do qual
rodamos o objeto. multiplicado por uma aparentemente estranha combinação de força
e distância. Esta "estranha combinação" é o que chamamos de Iorque. Então, definindo
a mudança no trabalho como o torque vezes o ângulo, nós agora temos a fórmula para
o torque em termos da força. (Obviamente, o torque não é uma ideia completamenle
nova, independente da mecânica Newtoniana - o torque deve ter uma definição defi-
nitiva em termos da força.)
Quando existem muitas forças aluando, o trabalho que é realizado e', claramente,
a soma dos trabalhos realizados por todas as forças, tal que AW será formado por vá-
rios termos, todos somados juntos, para todas as forças, cada uma das quais, então, é
proporcional a A#. Podemos colocar o A0em evidência e por isso podemos dizer que
a mudança no trabalho é igual à soma de todos os torques devido a todas as forças di-
ferentes que estão aluando, vezes A#. Essa soma, nós podemos chamar de torque total,
i. Logo os torques se adicionam pelas leis simples da álgebra, mas devemos ver mais
tarde que isto acontece somente porque estamos trabalhando em um plano. É como a
cinemática unidimensional, onde as forças simplesmente se adicionam algebricamen-
te, mas somente porque elas estão todas na mesma direção. Sendo mais complicado em
três dimensões. Por isso, para a rotação em duas dimensões.
T,- = (18.12)
T = Tí- (18.13)
Deve-se enfatizar que o torque é em relação a um eixo dado. Se um eixo diferente é
escolhido, tal que todos os .v. e v, são mudados, o valor do torque é (comumente) mu-
dado também.
Rotações em Duas Dimensões 18-5
Agora pausamos brevemente para notar que nossa introdução anterior sobre tor-
que, através da ideia de trabalho, nos fornece um resultado ainda mais importante para
um objeto em equilíbrio: se todas as forças em um objeto estão balanceadas para a
translação e rotação, não somente a força resultante é zero, mas o valor total de todos
os torques também é zero, porque se o objeto está em equilíbrio, nenhum trabalho é
realizado pelas forças para um pequeno deslocamento. Por isso, já que AW = rA# = O,
a soma de todos os torques deve ser zero. Dessa maneira existem duas condições para Figura l 8-2 O torque produzido por uma força.
o equilíbrio: que a soma da forças seja zero e que a soma dos torques seja zero. Prove
que é suficiente se assegurar que a soma dos torques ao redor de qualquer eixo (em
duas dimensões) seja zero.
Agora vamos considerar uma única força e tentar descobrir, geometricamen-
te, o que essa coisa estranha xFv — vF,. quantifica. Na Figura 18-2 vemos a força
F atuando em um ponto r. Quando o objeto foi rodado por um ângulo pequeno
A(?, o trabalho realizado, obviamente, e' a componente da força na direção do des-
locamento vezes o deslocamento. Em outras palavras, é somente a componente
tangencial da força que conta e esta deve ser multiplicada pela distância r A0.
Dessa maneira vemos que o torque também é igual a componente tangencial da
força (perpendicular ao raio) vezes o raio. Isso faz sentido dentro da nossa ideia
ordinária de torque, porque se a força fosse completamente radial, ela não fornece-
ria nenhuma "rotação" no corpo; é evidente que o efeito de rotação deve envolver
somente à parte da força que não está puxando em direção ao centro e isso significa
a componente tangencial. Além disso, é claro que uma dada força é mais efetiva
em um braço longo que perto do eixo. De fato, se pegarmos o caso onde empur-
ramos exatamente no eixo, não ocorre nenhuma torção! Então faz sentido que a
quantidade de rotação, ou torque, seja proporcional a ambos, à distância radial e à
componente tangencial da força.
Existe ainda uma terceira fórmula para o torque que é muito interessante. Aca-
bamos de ver que o torque é a força vezes o raio vezes o seno do angulo a, na Figura
18-2. Mas se estendermos a linha de ação da força e desenharmos a linha OS, a dis-
tância perpendicular à linha de ação da força (o braço suspenso da força), notamos
que esse braço suspenso é mais curto que /- exatamente na mesma proporção que
a parte tangencial da força é menor que força total. Assim a fórmula para o torque
pode também ser escrita como a magnitude da força vezes o comprimento do braço
suspenso.
O torque é também chamado de momento da força. A origem desse termo é obs-
cura, mas pode estar relacionada com o fato de que "momento" é derivado do Latim
movimentam e que a capacidade da força em mover um objeto (usando a força em um
braço ou uma alavanca) aumenta com o comprimento do braço. Na matemática, "mo-
mento" significa o peso em relação à quão longe se está do eixo.
18-3 Momento angular
Apesar de até agora termos considerado somente o caso especial de um corpo rígido,
as propriedades de torque e as suas relações matemáticas são também interessantes
mesmo quando um objeto não é rígido. De fato, podemos provar um teorema muito
notável: assim como a força externa é a taxa de mudança da quantidade p, que cha-
mamos de momento total de um conjunto de partículas, então o torque externo é a
taxa de variação da quantidade L que chamamos de momento angular de um grupo de
partículas.
Para provar isso, devemos supor que existe um sistema de partículas no qual exis-
tem algumas forças atuando e devemos descobrir o que acontece com esse sistema
como consequência dos torques devido a essas forças. Primeiro, claro, devemos consi-
derar somente uma partícula. Na Figura 18-3 está uma partícula de massa m e um eixo
O; a partícula não está necessariamente rodando em um circulo ao redor de O, ela pode
estar se movendo em uma elipse, como um planeta ao redor do Sol ou em alguma outra
curva. Ela se move de alguma maneira, existem forças sobre ela e ela acelera de acordo
Figura 18-3 Uma partícula se move ao redor de
com a fórmula usual que a componente x da força é a massa vezes a componente x da um eixo O.
18-6 Lições de Física
aceleração, etc. Mas vamos ver o que o Iorque faz. O torque igual a .vFT - v/-", e a força
na direção x ou y é a massa vezes a aceleração na direção x ou .v:
T = xFy — yFx
= xm(d2y/dí2) - ym(d2x/dt2). (]8J4)
Agora, ainda que isso não pareça ser a derivada de nenhuma quantidade simples, ela é
de fato a derivada da quantidade xm(dy/dt) - ym (dx/dt)\ [ (dy\2y\ (dx\ — ymi-r-íl = xm[ -—• l + l ~r ) w l -y- l
dt L \dtj \dtj] V*8/ W \*/ (i8.]5)
(w) - Uh W = w) ~ W) •
/WV /M Afc\\zx\ ym xm ym
Então é verdade que o torque é a taxa de variação de alguma coisa com o tempo! As-
sim prestamos atenção nessa "coisa", damos a ela um nome: nós a chamamos de L, o
momento angular:
L = xm(dy/df) - ym(dx/df)
Apesar da nossa presente discussão ser não relativíslica, a segunda forma para L
dada acima é relativisticamente correia. Desse modo achamos que existe também um
análogo relacional para o momento e que esse análogo, o momento angular, é dado
por uma expressão em termos dos componentes do momento linear que é justamente
como a formula para o torque em termos das componentes da força! Sendo assim, se
queremos saber o momento angular de uma partícula ao redor de um eixo, tomamos
somente a componente do momento que é tangencial e a multiplicamos pelo raio. Em
outras palavras, o que conta para o momento angular não é o quão rápido ela está se
afastando da origem, mas o quanto ela está rodando ao redor da origem. Somente a
parte tangencial do momento pesa para o momento angular. Além disso, quanto mais
longe a linha do momento se estende, maior o momento angular. E também, porque
os fatores geométricos são os mesmos se a quantidade é chamada de p ou F, é verdade
que existe um braço suspenso (não o mesmo como o braço da força na partícula!) que
é obtido estendendo a linha do momento e achando a distância perpendicular ao eixo.
Assim o momento angular é a magnitude do momento vexes o braço suspenso do mo-
mento. Então temos três formulas para o torque:
L = xpy - ypx
~ ^P tangencial
= p ' braço suspenso (18.7)
Como o torque, o momento angular depende da posição do eixo sobre o qual ele é
calculado.
Antes de seguir para um tratamento de mais de uma partícula, vamos aplicar os
resultados acima para um planeta rodando ao redor do Sol. Em qual direção está a
força? A força está na direção do Sol. Qual é, então, o torque no objeto? Claro, isso
depende de onde colocamos o eixo, mas temos um resultado muito simples se toma-
mos o eixo no próprio sol, já que o torque é a força vezes o braço ou a componente da
força perpendicular a r vezes /•. Mas não há força tangencial, então não existe torque
sobre um eixo colocado no Sol! Dessa maneira, o momento angular do planeta rodan-
do ao redor do sol deve ficar constante. Vamos ver o que isso significa. A componente
tangencial da velocidade, vezes a massa, vezes o raio. será constante, por que isso é o
momento angular e a taxa de variação do momento angular é o torque e nesse proble-
ma o torque é zero. Obviamente já que a massa também é constante, isso significa que
a velocidade tangencial vezes o raio é constante. Mas isso é algo que já sabíamos para
o movimento de um planeta. Suponha que consideremos uma pequena quantidade de