Licence de mathématiques - MATH 502 Analyse & Géométrie Georges COMTE

186 Pages·2017·2.25 MB·French

Licence de math´ematiques - MATH 502
Analyse & G´eom´etrie
Georges COMTE
UMR CNRS 5127, Laboratoire de Math´ematiques de l’Universit´e Savoie-Mont Blanc
Bˆatiment Chablais, Campus scientifique, 73376 Le Bourget-du-Lac cedex, France
email : [email protected]
url : http://gcomte.perso.math.cnrs.fr/
Derni`ere mise a` jour le 28 f´evrier 2018 a` 19:09
Table des mati`eres
Pr´eambule 3
Chapitre 1. Rappels 5
1. Orientation de Rn 5
2. Produit vectoriel dans R3 8
3. Intervalles, continuit´e, d´erivabilit´e 9
4. Normes, th´eor`emes d’inversion locale et de la fonction implicite 14
Chapitre 2. Arcs param´etr´es et arcs g´eom´etriques 25
1. Arcs param´etr´es 26
2. Arcs g´eom´etriques 44
3. Arcs g´eom´etriques orientables 48
´
4. Etude locale des arcs param´etr´es 51
4.1. Tangente a` un arc param´etr´e 52
4.2. G´eom´etrie locale du support d’un arc g´eom´etrique 55
4.3. Branches infinies 57
4.4. Exemples d’´etudes d’arcs param´etr´es 61
´
5. Etude m´etrique des arcs : longueur et abscisse curviligne 68
´
6. Etude m´etrique des arcs : param`etres normaux 75
6.1. Cas des arcs plans : n=2 76
6.2. Cas des arcs de l’espace : n = 3 81
Les notions essentielles du Chapitre 2 86
Exercices du Chapitre 2 87
Solutions des exercices du Chapitre 2 90
Chapitre 3. Mesures de volumes 107
1. La question de la mesure des ensembles 107
1.1. Axiomatique na¨ıve des mesures d’aire et de volume 108
1.2. Le troisi`eme probl`eme de Hilbert 116
2. Construction de mesures sur Rn 118
3. Int´egrale de Lebesgue 124
1
2 Table des mati`eres
4. Mesure produit 126
5. Peut-on tout mesurer? 142
Les notions essentielles du Chapitre 3 144
Chapitre 4. Champs de vecteurs et formes diff´erentielles de degr´e 1 147
1. Champs de vecteurs 147
2. Formes diff´erentielles de degr´e 1 149
3. Existence de primitives 152
4. Int´egrale curviligne le long d’un arc param´etr´e 156
5. Formule de Green-Riemann 166
Les notions essentielles du Chapitre 4 183
Table des mati`eres 3
Pr´eambule. Ce cours est un cours de L3 donn´e en Licence de Math´ematiques.
Il traite des liens entre l’analyse et la g´eom´etrie, dans le champ des connaissances ac-
quises lors des deux premi`eres ann´ees de la Licence de Math´ematiques. Autrement
dit il contient une initiation a` la g´eom´etrie diff´erentielle des sous-vari´et´es de Rn.
Cette initiation porte les sous-vari´et´es de plus basse dimension pertinente (de di-
mension1),c’est-a`-diresurlesarcsparam´etr´esdeRn etlesnotionsquis’yrattachent
(orientation,longueur,courbure,torsion,int´egralecurvilignedeformesdiff´erentielles
de degr´e 1).
La formule de Green-Riemman termine le cours; elle permet de lier la notion
d’arcs param´etr´es par morceaux, de formes diff´erentielles de degr´e 1, d’int´egrale
curviligne de celles-ci et, de mani`ere plus surprenante, d’aire de compacts `a bord de
R2.
le Chapitre 3 donne une rapide introduction - incompl`ete du point de vue des
preuves - `a la notion de mesure, utile a` l’´enonc´e de la formule de Green-Riemman.
On donne ´egalement dans le Chapitre 3 des formules calculant le volume des tubes
autour d’arcs param´etr´es et de surfaces, ce qui donne un lien suppl´ementaire entre
les notions de longueur, de courbure, de torsion et de mesure d’aires et de volumes.
Les ouvrages classiques qui ont servi de support `a ce texte sont [1], [2], [3], [4],
[5], [6], [8], [7], [11] (voir aussi [10]).

1
Chapitre
Rappels
On trouvera dans ce chapitre les th´eor`emes de base, les conventions et les nota-
tions utilis´es dans toute la suite.
1. Orientation de Rn
Soient A = ((cid:126)a ,...,(cid:126)a ) une base de Rn et C = ((cid:126)e ,...,(cid:126)e ) la base canonique
1 n 1 n
de Rn. Il existe une unique application lin´eaire LA : Rn → Rn telle que pour tout
j = 1,...,n, LA((cid:126)e ) =(cid:126)a , LA est un isomorphisme de Rn, puisque transformant les
j j
vecteurs d’une base en ceux d’une base.
Par d´efinition, la matrice M(LA,C,C) de cette application lin´eaire dans la base
C, choisie au d´epart et `a l’arriv´ee, est la matrice dont la j-i`eme colonne est la
colonne [(cid:126)a ] des coordonn´ees de (cid:126)a dans la base C. Il s’agit aussi de la matrice
j C j
M(Id ,A,C) de l’application identit´e, mais cette fois dans la base A au d´epart
Rn
et la base C a` l’arriv´ee, ou encore de la matrice de passage de la base A a` la base
C. Le d´eterminant δ de cette matrice est non nul, car LA est un isomorphisme, il
A
est alors soit > 0 soit, soit < 0.
1.0.1. Remarque. Si A = C, LA est l’identit´e et M(LA,C,C) = I est la
n
matrice unit´e, de sorte que δ = 1.
C
1.0.2. D´efinition. On dit que deux bases A et B sont ´equivalentes, et on
note A ∼ B si et seulement si δ δ > 0. On v´erifie qu’il s’agit bien d’une relation
A B
d’´equivalence. Notons, que puisque δ = 1, A ∼ C ⇐⇒ δ > 0.
C A
On consid`ere alors On, l’ensemble des classes d’´equivalence des bases de Rn,
suivant la relation d’´equivalence ∼.
1.0.3. Proposition. L’ensemble On ne comporte que deux classes.
5
6 1. RAPPELS
D´emonstration. Tout d’abord, si A = (−(cid:126)e ,...,(cid:126)e ), A et C ne sont pas dans
1 n
la mˆeme classe car δ = −1 < 0, puisque la matrice de LA est la matrice
A
−1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
M(LA,C,C) =  . . .
. . .
 . . .
0 0 ... 1
Il s’ensuit que On comporte au moins deux classes.
Maintenant si i B est une troisi`eme base de Rn, alors soit δ > 0 et dans ce cas
B
B est dans la classe de C, soit δ < 0. Mais comme alors δ δ > 0, on en conclut
B A B
que B est dans la classe de A. Autrement B ne peut ˆetre dans une autre classe
que celle de C ou celle de A. (cid:3)
La proposition suivante permet de d´eterminer si deux bases sont dans la mˆeme
orientation sans calculer les deux d´eterminants des matrices de passage de ces bases
a` la base canonique, mais en calculant seulement le d´eterminant de la matrice de
passage de l’une a` l’autre.
1.0.4. Proposition. Les bases A et B sont dans la mˆeme orientation si
et seulement si le d´eterminant de la matrice de passage de l’une `a l’autre est
positif.
D´emonstration. Notons que le d´eterminant de la matrice de passage de A a`
B est l’inverse de celui de la matrice de passage de B a` A, de sorte qu’il est inutile
de pr´eciser le sens de passage dans l’´enonc´e. Ensuite comme δ est de mˆeme signe
A
que 1/δ , qui est le d´eterminant de la matrice de passage de C a` A, le signe de
A
δ δ est celui de δ /δ qui est le d´eterminant du produit de la matrice de passage
A B B A
de B a` C par la matrice de passage de C a` A. Or ce d´eterminant est celui de la
matrice de passage de B a` A. (cid:3)
1.0.5. D´efinition. Orienter l’espace Rn est choisir une des deux classes de On.
L’orientation de Rn est la classe choisie parmi les deux classes de On, l’autre classe
est dite l’orientation oppos´ee. Choisir une classe signifiant que l’on consid`ere
comme privil´egi´ees les bases de Rn qui sont dans la classe choisie. Ces bases sont
alors dites positives. Souvent par d´efaut on choisit la classe de C.
1.0.6. Remarque. Dans le cas du plan R2, on constate que choisir une classe
de On, c’est-a`-dire la classe de C ou celle de C(cid:48) = (−(cid:126)e ,(cid:126)e ) (qui est aussi celle de
1 2
(e ,−e )) revient a` tourner dans la mˆeme sens dans le plan lorsque l’on emprunte
1 2
le chemin le plus court (c’est-`a-dire de longueur strictement inf´erieure `a π), dans le
cercle unit´e, reliant la normalisation du premier vecteur `a celle du second vecteur
d’une base positive.
1. ORIENTATION DE Rn 7
La base A est dans la même orientation que la base C, b2
mais dans l’orientation opposée à celle de la base B.
a b1
1
a
2
c
2 c
1
1.0.7. Remarque. Dans le cas de R3, le choix d’une orientation fixe une action
de vissage ou de d´evissage : pour toute base ((cid:126)a ,(cid:126)a ,(cid:126)a ) de R3 dans une mˆeme classe
1 2 3
d’orientation donn´ee, en tournant de (cid:126)u vers (cid:126)u et en ayant dispos´e son avant-bras le
1 2
long de a , le vecteur a orientant le bras dans le sens poignet-´epaule , on op`ere
3 3 (cid:28) (cid:29)
toujours le mˆeme geste dans l’espace (soit un vissage, soit d´evissage).
La base A n’est pas dans la même orientation que la base B,
La base B est dans la même orientation que la base C. b2
a
3
vissage b3
b
1
dévissage
c
1
a vissage
2
a
1
c
2
c
3
8 1. RAPPELS
2. Produit vectoriel dans R3
Soient (cid:126)u,(cid:126)v ∈ R3. On se donne une base orthonorm´ee B de R3 pour un produit
scalaire donn´e (pour fixer les id´ees, on peut supposer que B est la base canonique
de R3 et que le produit scalaire est le produit scalaire standard). On note alors les
coordonn´ees de (cid:126)u et (cid:126)v dans la base B par
   
a α
[(cid:126)u]B = b, [(cid:126)v]B = β.
c γ
2.0.1. Proposition. Le produit vectoriel de (cid:126)u par (cid:126)v, not´e (cid:126)u ∧(cid:126)v est le
vecteur w(cid:126) dont les coordonn´ees dans la base B sont
 (cid:18) (cid:19)
b β
det
 c γ   
 (cid:18) (cid:19) bγ −cβ
 c γ 
[w(cid:126)]B = det  = cα−aγ.
 a α 
 (cid:18) (cid:19) aβ −bα
 a α 
det
b β
Il s’ensuit que pour tout vecteur (cid:126)z ∈ R3 le produit scalaire ((cid:126)z,(cid:126)u∧(cid:126)v) est donn´e
par
(1) ((cid:126)z,(cid:126)u∧(cid:126)v) = det([(cid:126)u] ,[(cid:126)v] ,[(cid:126)z] ).
B B B
D´emonstration. Il suffit d’une part de d´evelopper det([(cid:126)u] ,[(cid:126)v] ,[(cid:126)z] ) suivant
B B B
la derni`ere colonne et d’autre part de remarquer que le produit scalaire de deux
vecteurs est le produit scalaire standard de leurs coordonn´ees dans n’importe quelle
base orthonorm´ee. (cid:3)
2.0.2. Remarque. Ainsi d´efini, le produit vectoriel(cid:126)u∧(cid:126)v d´epend a priori du choix
de la base B, on devrait donc le noter (cid:126)u∧ (cid:126)v. On va voir qu’en effet le produit (cid:126)u∧(cid:126)v
B
d´epend bien de B : la Proposition 2.0.4 montre qu’il n’en saurait ˆetre autrement.
Notons que l’application
R3 (cid:51) (cid:126)z (cid:55)→ det([(cid:126)u] ,[(cid:126)v] ,[(cid:126)z] ) ∈ R
B B B
est une forme lin´eaire (le d´eterminant ´etant lin´eaire en chacune de ses variables),
de sorte qu’il existe un unique vecteur w(cid:126) ∈ R3 tel que pour tout (cid:126)z ∈ R3, ((cid:126)z,w(cid:126)) =
det([(cid:126)u] ,[(cid:126)v] ,[(cid:126)z] )1 : il s’agit d’une autre d´efinition de (cid:126)u∧(cid:126)v.
B B B
1. De mani`ere g´en´erale si E est un espace vectoriel de dimension finie, muni d’un produit
scalaire ( , ) et si L : E → R est une forme lin´eaire sur E, il existe un unique vecteur (cid:126)(cid:96) ∈ E tel
que pour tout (cid:126)z ∈ E, ((cid:126)z,(cid:126)(cid:96)) = L((cid:126)z). Lorsque E est de dimension infinie, ce th´eor`eme est encore
vrai, mais `a condition de supposer que la norme issue du produit scalaire fasse de E un espace de
Hilbert, c’est-`a-dire un espace vectoriel norm´e complet et que L soit continue relativement `a cette
norme (toutes les formes lin´eaires sur E n’´etant pas n´ecessairement continues dans le cas ou` est
3. INTERVALLES, CONTINUITE´, DE´RIVABILITE´ 9
Il suit de (1) la liste suivante de propri´et´es du produit vectoriel.
2.0.3. Proposition. Soient (cid:126)u,(cid:126)v ∈ R3.
(1) Si (cid:126)u et (cid:126)v sont colin´eaires, ((cid:126)z,(cid:126)u∧(cid:126)v) = det([(cid:126)u] ,[(cid:126)v] ,[(cid:126)z] ) = 0 pour tout
B B B
(cid:126)z ∈ R3 et donc n´ecessairement (cid:126)u∧(cid:126)v =(cid:126)0.
(2) R´eciproquement,si(cid:126)uet(cid:126)v sontlin´eairementind´ependants,encompl´etant
((cid:126)u,(cid:126)v) en une base ((cid:126)u,(cid:126)v,(cid:126)z) de R3 (par le th´eor`eme de la base incompl`ete),
on a ((cid:126)z,(cid:126)u∧(cid:126)v) = det([(cid:126)u] ,[(cid:126)v] ,[(cid:126)z] ) (cid:54)= 0 et en particulier (cid:126)u∧(cid:126)v (cid:54)=(cid:126)0.
B B B
En conclusion de (1) et (2), (cid:126)u et (cid:126)v sont lin´eairement ind´ependants
si et seulement si (cid:126)u∧(cid:126)v (cid:54)= 0.
(3) Si (cid:126)u et(cid:126)v sont lin´eairement ind´ependants et si (cid:126)z est combinaison lin´eaire
de (cid:126)u et (cid:126)v, ((cid:126)z,(cid:126)u∧(cid:126)v) = det([(cid:126)u] ,[(cid:126)v] ,[(cid:126)z] ) = 0 de sorte que (cid:126)u∧(cid:126)v ⊥ (cid:126)z
B B B
et donc (cid:126)u∧(cid:126)v est orthogonal au plan engendr´e par (cid:126)u et (cid:126)v.
Soient (cid:126)u et (cid:126)v deux vecteurs lin´eairement ind´ependants de R3. Si w(cid:126) est tel que W =
((cid:126)u,(cid:126)v,w(cid:126)) est une base de R3, soit W est dans la mˆeme orientation que B, soit W est
dans l’orientation oppos´ee `a celle de B. Lorsque w(cid:126) = (cid:126)u ∧(cid:126)v, W est dans la mˆeme
orientation de R3. Autrement dit
2.0.4. Proposition. Si (cid:126)u et (cid:126)v deux vecteurs lin´eairement ind´ependants quel-
conques de R3, lorsque R3 est orient´e par B, ((cid:126)u,(cid:126)v,(cid:126)u∧ (cid:126)v) est positive.
B
D´emonstration. D’apr`es la Proposition 1.0.4, il suffit de montrer que le signe
du d´eterminant de la matrice de passage de W a` B est > 0, matrice qui est
([(cid:126)u] ,[(cid:126)v] ,[(cid:126)u∧(cid:126)v] ).
B B B
Mais alors
det([(cid:126)u] ,[(cid:126)v] ,[(cid:126)u∧(cid:126)v] ) = ((cid:126)u∧(cid:126)v,(cid:126)u∧(cid:126)v) = (cid:107)(cid:126)u∧(cid:126)v(cid:107)2 > 0.
B B B
Ce qui montre bien que B et W sont dans la mˆeme orientation. (cid:3)
3. Intervalles, continuit´e, d´erivabilit´e
Dans toute la suite de cette section les lettres a et b d´esignent deux nombres
r´eels tels que a < b ou bien, respectivement, les symboles −∞ ou +∞. On rappelle
qu’alors les intervalles ]a,b[, [a,b], ]a,b], [a,b[ d´esignent respectivement les sous-
ensembles suivants de R
]a,b[= {x ∈ R;a < x < b},
[a,b] = {x ∈ R;a ≤ x ≤ b},
]a,b] = {x ∈ R;a < x ≤ b},
de dimension infinie, contrairement au cas ou` E est de dimension finie). Ce th´eor`eme porte alors
le nom de th´eor`eme de repr´esentation de Riesz ou th´eor`eme de Fr´echet-Riesz.