Licence de mathématiques: Cours d’Algèbre linéaire et bilinéaire 2012--2013

62 Pages·2012·0.405 MB·French

by  Luis Paris

Licence de math´ematiques
Cours d’Alg`ebre lin´eaire et bilin´eaire
2012–2013
Luis Paris
1 Alg`ebre lin´eaire
1.1 Espaces vectoriels
Dans ce cours K d´esignera l’un des trois corps suivants : Q, le corps des nombres ra-
tionnels, R, le corps des nombres r´eels, ou C, le corps des nombres complexes.
D´efinition. Un groupe ab´elien est un ensemble E muni d’une loi de composition interne
E ×E → E
(u,v) (cid:55)→ u†v
v´erifiant :
(a) (u†v)†w = u†(v †w) pour tous u,v,w ∈ E ;
(b) u†v = v †u pour tous u,v ∈ E ;
(c) il existe 0 ∈ E tel que u†0 = u pour tout u ∈ E ;
E E
(d) pour tout u ∈ E il existe u(cid:48) ∈ E (habituellement not´e −u) tel que u†u(cid:48) = 0 .
E
Exemple 1. {0} muni de la seul loi possible, 0†0 = 0, est un groupe ab´elien.
Exemple 2. (Z,+)estungroupeab´elien. Demˆeme, Z×Zmunidelasommecomposante
par composante est un groupe ab´elien.
Exemple 3. (Q,+), (R,+) et (C,+) sont des groupes ab´eliens.
Exemple 4. Z/3Z = {¯0,¯1,¯2} est un groupe ab´elien. De fa¸con plus g´en´erale, si m est
un entier ≥ 2, Z/mZ est un groupe ab´elien. Cet exemple sera trait´e avec plus de d´etails
dans le cours d’alg`ebre.
D´efinition. Un espace vectoriel sur K est un ensemble E muni d’une loi de composition
interne
E ×E → E
(u,v) (cid:55)→ u†v
1
et d’une loi de composition externe
K×E → E
(λ,u) (cid:55)→ λ∗u
v´erifiant :
(a) (E,†) est un groupe ab´elien ;
(b) λ∗(u†v) = (λ∗u)†(λ∗v) pour tous λ ∈ K et u,v ∈ E ;
(c) (λ+µ)∗u = (λ∗u)†(µ∗u) pour tous λ,µ ∈ K et u ∈ E ;
(d) λ∗(µ∗u) = (λ.µ)∗u pour tous λ,µ ∈ K et u ∈ E ;
(e) 1 ∗u = u pour tout u ∈ E.
K
Notations usuelles. † est remplac´e par + et ∗ par .. Souvent on oublie le . dans λ.u
(avec λ ∈ K et u ∈ E) ou dans λ.µ (avec λ,µ ∈ K) et on note λu et λµ.
Exemple 1. L’ensemble {0} muni des seuls op´erations possibles
0+0 = 0
λ.0 = 0 pour tout λ ∈ K
est un espace vectoriel sur K.
Exemple 2. Le corps K muni de ses deux op´erations, + et ., est un espace vectoriel sur
lui-mˆeme.
Exemple 3. Posons E = K×···×K = Kn, ou` n ≥ 1. On consid`ere la loi de composition
interne E ×E → E, (u,v) (cid:55)→ u+v, d´efinie par
(λ ,...,λ )+(µ ,...,µ ) = (λ +µ ,...,λ +µ ),
1 n 1 n 1 1 n n
et on consid`ere la loi de composition externe K×E → E, (λ,u) (cid:55)→ λ.u, d´efinie par
λ.(µ ,...,µ ) = (λ.µ ,...,λ.µ ).
1 n 1 n
Alors (E,+,.) est un espace vectoriel sur K.
Exemple 4. Soit X un ensemble. On note KX l’ensemble des applications de X dans K.
On d´efinit une loi de composition interne KX ×KX → KX, (f,g) (cid:55)→ f +g, par
(f +g)(x) = f(x)+g(x).
De mˆeme, on d´efinit une loi de composition externe K×KX → KX, (λ,f) (cid:55)→ λ.f, par
(λ.f)(x) = λ.(f(x)).
Alors (KX,+,.) est un espace vectoriel sur K.
Lemme 1.1. Soit E un espace vectoriel sur K.
2
(1) On a 0 .u = 0 pour tout u ∈ E.
K E
(2) On a λ.0 = 0 pour tout λ ∈ K.
E E
(3) On a (−λ).u = λ.(−u) = −(λ.u) pour tous λ ∈ K et u ∈ E.
(4) Soient λ ∈ K et u ∈ E. On a λ.u = 0 si et seulement si λ = 0 ou u = 0 .
E K E
D´emonstration. Soit u ∈ E. Alors
0 .u = (0 +0 ).u = (0 .u)+(0 .u).
K K K K K
En soustrayant 0 .u a` cette ´egalit´e on en d´eduit que 0 .u = 0 .
K K E
Soit λ ∈ K. Alors
λ.0 = λ.(0 +0 ) = (λ.0 )+(λ.0 ).
E E E E E
En soustrayant λ.0 a` cette ´egalit´e on en d´eduit que λ.0 = 0 .
E E E
Soient λ ∈ K et u ∈ E.
(λ.u)+((−λ).u) = (λ+(−λ)).u = 0 .u = 0 ,
K E
donc (−λ).u = −(λ.u). Par ailleurs,
(λ.u)+(λ.(−u)) = λ.(u+(−u)) = λ.0 = 0 ,
E E
donc λ.(−u) = −(λ.u).
Soient λ ∈ K et u ∈ E tels que λ.u = 0 . Si λ (cid:54)= 0 , alors
E K
(cid:18) (cid:19)
1 1 1
0 = .0 = .(λ.u) = .λ .u = 1 .u = u.
E E K
λ λ λ
D´efinition. Soit E un espace vectoriel sur K. On dit qu’une partie F ⊂ E est un
sous-espace vectoriel de E si
(a) 0 ∈ F,
E
(b) u+v ∈ F pour tous u,v ∈ F,
(c) λ.u ∈ F pour tous λ ∈ K et u ∈ F.
3
Exemple 1. Soit E un espace vectoriel sur K. Alors {0 } est un sous-espace vectoriel
E
de E.
Exemple 2. K2 ×{0} = {(a,b,0) | a,b ∈ K} est un sous-espace vectoriel de K3.
Exemple 3. Soit X un ensemble. On dit que f ∈ KX est a support fini si l’ensemble
{x ∈ X | f(x) (cid:54)= 0 } est fini. Alors l’ensemble F des applications X → K a` support fini
K
est un sous-espace vectoriel de KX.
Exemple 4. L’ensemble C0(R) des applications continues R → R est un sous-espace
vectoriel de RR.
Lemme 1.2. Soit E un espace vectoriel sur K. Une intersection non vide de sous-espaces
vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.
D´emonstration. Soit {F | i ∈ I} une collection non vide de sous-espaces vectoriels
i
de E. On a 0 ∈ F pour tout i ∈ I, donc 0 ∈ ∩ F . Soient u,v ∈ ∩ F . On a
E i E i∈I i i∈I i
u+v ∈ F pour tout i (car F est un sous-espace vectoriel), donc u+v ∈ ∩ F . Soient
i i i∈I i
λ ∈ K et u ∈ ∩ F . On a λ.u ∈ F pour tout i (car F est un sous-espace vectoriel),
i∈I i i i
donc λ.u ∈ ∩ F . Ceci montre que ∩ F est un sous-espace vectoriel de E.
i∈I i i∈I i
D´efinition. Soient E un espace vectoriel sur K et S une partie de E. Le sous-espace
vectoriel engendr´e par S, not´e Vec(S), est l’intersection des sous-espaces vectoriels de E
contenant S. Remarquez que E est un sous-espace vectoriel de E contenant S, donc cette
intersection est non vide.
D´efinition. Soient E un espace vectoriel sur K est S une partie non vide de E. On
dit qu’un vecteur u ∈ E est combinaison lin´eaire d’´el´ements de S s’il existe n ∈ N,
e ,...,e ∈ S et λ ,...,λ ∈ K tels que
1 n 1 n
u = λ .e +···+λ .e .
1 1 n n
Exemple. Dans Q2, on pose e = (1,0), e = (0,1), e = (1,1) et S = {e ,e ,e }. Soit
1 2 3 1 2 3
u = (2,−3). On a
u = 2.e −3.e ,
1 2
donc u est combinaison lin´eaire d’´el´ements de S. Soit v = (4,0). On a
v = 4.e
1
donc v est combinaison lin´eaire d’´el´ements de S.
Remarque. Si S est fini, alors u ∈ E est combinaison lin´eaire d’´el´ements de S si et
seulement s’il s’´ecrit sous la forme
(cid:88)
u = λ .e,
e
e∈S
4
avec λ ∈ K pour tout e ∈ S. Ceci est faux si S est infini, car la notion mˆeme de “somme
e
infinie” n’a pas de sens.
Lemme 1.3. Soient E un espace vectoriel sur K et S une partie non vide de E. Le sous-
espace vectoriel de E engendr´e par S est l’ensemble des combinaisons lin´eaires d’´el´ements
de S.
D´emonstration. On note F l’ensemble des combinaisons lin´eaires d’´el´ements de S. On
doit montrer que :
• F est un sous-espace vectoriel de E contenant S ;
• Si F(cid:48) est un sous-espace vectoriel de E contenant S, alors F(cid:48) contient F.
Onchoisitun´el´emente ∈ S (rappelonsqueS (cid:54)= ∅). Alors0 = 0 .e ∈ F. Soientu,v ∈ F.
E K
Il existe n ∈ N, e ,...,e ∈ S et λ ,...,λ ∈ K tels que u = λ .e + ··· + λ .e . De
1 n 1 n 1 1 n n
mˆeme, il existe m ∈ N, f ,...,f ∈ S et µ ,...,µ ∈ K tels que v = µ .f +···+µ .f .
1 m 1 m 1 1 m m
Alors
u+v = λ .e +···+λ .e +µ .f +···+µ .f ∈ F .
1 1 n n 1 1 m m
Soient λ ∈ K et u ∈ F. Il existe n ∈ N, e ,...,e ∈ S et λ ,...,λ ∈ K tels que
1 n 1 n
u = λ .e +···+λ .e . Alors
1 1 n n
λ.u = (λλ ).e +···+(λλ ).e ∈ F .
1 1 n n
Ceci montre que F est un sous-espace vectoriel de E.
Soit e ∈ S. Alors e = 1 .e ∈ F. Ceci montre que F contient S.
K
SoitF(cid:48) unsous-espacevectorieldeE contenantS. Soitu ∈ F. Ilexisten ∈ N,e ,...,e ∈
1 n
S et λ ,...,λ ∈ K tels que u = λ .e +···+λ .e . On a e ∈ F(cid:48) pour tout i ∈ {1,...,n},
1 n 1 1 n n i
donc u ∈ F(cid:48). Ceci montre que F ⊂ F(cid:48).
Exemple 1. Soit E un espace vectoriel sur K. Alors le sous-espace vectoriel de E
engendr´e par ∅ est {0 }. Remarquez que la notion de combinaison lin´eaire d’´el´ements de
E
∅ n’a pas de sens. On admettra n´eanmoins que la seule combinaison lin´eaire d’´el´ements
de ∅ est 0 .
E
Exemple 2. Posons E = R3, e = (1,0,0), e = (0,1,0) et S = {e ,e }. Alors
1 2 1 2
F = R2 ×{0} est le sous-espace vectoriel de E engendr´e par S.
Exemple 3. Soient X un ensemble (infini) et E = KX l’espace des fonctions de X dans
K. Pour x ∈ X on d´efinit δ ∈ E par
x
(cid:26)
1 si x = y
K
δ (y) =
x 0 si x (cid:54)= y
K
5
Posons S = {δ | x ∈ X}. Alors le sous-espace vectoriel de E engendr´e par S est l’espace
x
des fonctions X → K a` support fini.
D´efinition. Soit {F | i ∈ I} une collection de sous-espaces vectoriels de E. On appelle
i
somme des F et on note + F le sous-espace vectoriel de E engendr´e par ∪ F .
i i∈I i i∈I i
Lemme 1.4. Soit {F | i ∈ I} une collection finie de sous-espaces vectoriels de E. Alors
i
(cid:80)
+ F est l’ensemble des vecteurs u de E qui s’´ecrivent sous la forme u = u , avec
i∈I i i∈I i
u ∈ F pour i ∈ I.
i i
(cid:80)
D´emonstration. Soit u un vecteur s’´ecrivant sous la forme u = u avec u ∈ F .
i∈I i i i
(cid:80)
Alors u = 1.u est combinaison lin´eaire d’´el´ements de ∪ F , donc u ∈ (+ F ).
i∈I i i∈I i i∈I i
Soit u ∈ (+ F ). Il existe n ∈ N, v ,...,v ∈ ∪ F et µ ,...,µ ∈ K tels que
i∈I i 1 n i∈I i 1 n
u = µ .v +···+µ .v .
1 1 n n
Pour j ∈ {1,...,n} on choisit i(j) ∈ I tel que v ∈ F (attention : v peut ˆetre inclus
j i(j) j
dans plusieurs F ). Pour i ∈ I on pose
i
(cid:88)
u = µ .v .
i j j
i(j)=i
(cid:80)
Alors u ∈ F pour tout i ∈ I et u = u .
i i i∈I i
Lemme 1.5. Soit {F | i ∈ I} une collection de sous-espaces vectoriels de E. Alors
i
(cid:80)
+ F est l’ensemble des vecteurs u de E qui s’´ecrivent sous la forme u = u , ou` J
i∈I i i∈J i
est une partie finie de I et u ∈ F pour tout i ∈ J.
i i
(cid:80)
D´emonstration. Soit u un vecteur s’´ecrivant sous la forme u = u , ou` J est une
i∈J i
(cid:80)
partie finie de I et u ∈ F pour tout i ∈ J. Alors u = 1.u est combinaison
i i i∈J i
lin´eaire d’´el´ements de ∪ F , donc u ∈ (+ F ). Soit u ∈ (+ F ). Il existe n ∈ N,
i∈I i i∈I i i∈I i
v ,...,v ∈ ∪ F et µ ,...,µ ∈ K tels que
1 n i∈I i 1 n
u = µ .v +···+µ .v .
1 1 n n
Pour j ∈ {1,...,n} on choisit i(j) ∈ I tel que v ∈ F . Pour i ∈ I on pose
j i(j)
(cid:88)
u = µ .v .
i j j
i(j)=i
On note J l’ensemble des i ∈ I tels que u (cid:54)= 0 . Alors J est fini, u ∈ F pour tout i ∈ J
i E i i
(cid:80)
et u = u .
i∈J i
D´efinition. Soit {F | i ∈ I} une collection de sous-espaces vectoriels de E. On dit que
i
la somme + F est directe si : pour toute partie finie J ⊂ I et pour toute collection de
i∈I i
vecteurs u ∈ F , j ∈ J, l’´egalit´e
j j
(cid:88)
u = 0
j E
j∈J
6
implique que u = 0 pour tout j ∈ J. On note + F = ⊕ F .
j E i∈I i i∈I i
Remarque. Si I est fini, alors la somme + F est directe si : pour toute collection de
i∈I i
vecteurs u ∈ F , i ∈ I, l’´egalit´e
i i
(cid:88)
u = 0
i E
i∈I
implique que u = 0 pour tout i ∈ I (pas besoin de passer par des parties finies de I).
i E
Exemple. SoitE = Qn (ou` n ∈ N). Pouri ∈ {1,...,n}onposeF = {0}i−1×Q×{0}n−i.
i
Alors E = ⊕n F .
i=1 i
Lemme 1.6. Soient E un espace vectoriel sur K et F ,F deux sous-espaces vectoriels
1 2
de E. On a E = F ⊕F si et seulement si F +F = E et F ∩F = {0 }.
1 2 1 2 1 2 E
D´emonstration. Supposons que E = F ⊕F . Par d´efinition, on a E = F +F . Soit
1 2 1 2
u ∈ F ∩F . On a u ∈ F , −u ∈ F et u+(−u) = 0 . Comme E = F ⊕F , cette derni`ere
1 2 1 2 E 1 2
´egalit´e implique que u = −u = 0 . Ceci montre que F ∩F = {0 }.
E 1 2 E
Supposons que E = F + F et F ∩ F = {0 }. Soient u ∈ F et u ∈ F tels que
1 2 1 2 E 1 1 2 2
u +u = 0 . Alors u = −u ∈ F ∩F , donc u = −u = 0 (ce qui implique aussi que
1 2 E 1 2 1 2 1 2 E
u = 0 ). Ceci montre que E = F +F = F ⊕F .
2 E 1 2 1 2
Remarque. Soient E un espace vectoriel sur K et {F | i ∈ I} une collection de sous-
i
espaces vectoriels de E. Alors la condition F ∩ F = {0 } pour tous i,j ∈ I, i (cid:54)= j,
i j K
n’implique pas que + F = ⊕ F .
i∈I i i∈I i
Exemple. Soient E = R2, F = {(a,0) | a ∈ R}, F = {(0,a) | a ∈ R} et F = {(a,a) |
1 2 3
a ∈ R}. On a F ∩F = F ∩F = F ∩F = {(0,0)}, mais on n’a pas F ⊕F ⊕F =
1 2 1 3 2 3 1 2 3
F +F +F . En effet, si u = (1,0) ∈ F , u = (0,1) ∈ F , u = (−1,−1) ∈ F , alors
1 2 3 1 1 2 2 3 3
u +u +u = (0,0).
1 2 3
D´efinition. On dit que deux sous-espaces vectoriels F,G de E sont suppl´ementaires si
E = F ⊕G.
Lemme 1.7. Soient E un espace vectoriel sur K et {F | i ∈ I} une collection finie de
i
sous-espaces vectoriels de E. On a (+ F ) = (⊕ F ) si et seulement si tout vecteur
i∈I i i∈I i
(cid:80)
u ∈ (+ F ) s’´ecrit de fa¸con unique sous la forme u = u avec u ∈ F pour tout
i∈I i i∈I i i i
i ∈ I.
D´emonstration. Supposons que (+ F ) = (⊕ F ). Soit u ∈ (+ F ). Supposons
i∈I i i∈I i i∈I i
que u s’´ecrit sous la forme u = (cid:80) u = (cid:80) u(cid:48) avec u ,u(cid:48) ∈ F pour tout i ∈ I. On a
i∈I i i∈I i i i i
(cid:88)
(u −u(cid:48)) = 0 .
i i E
i∈I
7
Comme (+ F ) = (⊕ F ), cette ´egalit´e implique que u −u(cid:48) = 0 , c’est-`a-dire u = u(cid:48)
i∈I i i∈I i i i E i i
pour tout i ∈ I.
(cid:80)
Supposons que tout vecteur u ∈ (+ F ) s’´ecrit de fa¸con unique sous la forme u = u
i∈I i i∈I i
avec u ∈ F pour tout i ∈ I. Soit v ∈ F , i ∈ I, une collection de vecteurs telle
i i i i
(cid:80) (cid:80)
que v = 0 . Remarquez que 0 s’´ecrit aussi 0 = 0 . Comme une telle
i∈I i E E E i∈I E
´ecriture est unique, on doit forc´ement avoir v = 0 pour tout i ∈ I. Ceci montre que
i E
(+ F ) = (⊕ F ).
i∈I i i∈I i
Lemme 1.8. Soient E un espace vectoriel sur K est F un sous-espace vectoriel de E.
Soit ≡ la relation sur E d´efinie par
u ≡ v si u−v ∈ F .
(1) ≡ est une relation d’´equivalence.
(2) Soient u ,u ,v ,v ∈ E. Si u ≡ v et u ≡ v , alors (u +u ) ≡ (v +v ).
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
(3) Soient u,v ∈ E et λ ∈ K. Si u ≡ v, alors (λ.u) ≡ (λ.v).
D´emonstration. Soit u ∈ E. On a u−u = 0 ∈ F, donc u ≡ u. Ceci montre que ≡ est
E
r´eflexive.
Soient u,v ∈ E tels que u ≡ v. On a (u−v) ∈ F, donc (v −u) = −(u−v) ∈ F, donc
v ≡ u. Ceci montre que ≡ est sym´etrique.
Soient u,v,w ∈ E tels que u ≡ v et v ≡ w. On a (u − v) ∈ F et (v − w) ∈ F, donc
(u−w) = (u−v)+(v −w) ∈ F, donc u ≡ w. Ceci montre que ≡ est transitive, et finit
de d´emontrer (1).
Soient u ,u ,v ,v ∈ E tels que u ≡ v et u ≡ v . On a (u −v ) ∈ F et (u −v ) ∈ F,
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2
donc (u +u )−(v +v ) = (u −v )+(u −v ) ∈ F, donc (u +u ) ≡ (v +v ).
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
Soient u,v ∈ E tels que u ≡ v et λ ∈ K. On a (u − v) ∈ F, donc (λ.u) − (λ.v) =
λ.(u−v) ∈ F, donc (λ.u) ≡ (λ.v).
D´efinition. L’ensemble des classes d’´equivalence de ≡ s’appelle le quotient de E par F
et se note E/F. Pour u ∈ E, on notera [u] la classe d’´equivalence de u. On d´efinit une
loi de composition interne, not´ee +, sur E/F comme suit. Soient α,β ∈ E/F. On choisit
u,v ∈ E tels que α = [u] et β = [v] et on pose
α+β = [u]+[v] = [u+v].
Le lemme 1.8.(2) garantit que la d´efinition de α +β ne d´epend pas du choix de u et v.
On d´efinit une loi de composition externe, not´ee ., de K×E/F dans E/F comme suit.
Soient α ∈ E/F et λ ∈ K. On choisit u ∈ E tel que α = [u] et on pose
λ.α = λ.[u] = [λ.u].
8
Le lemme 1.8.(3) garantit que la d´efinition de λ.α ne d´epend pas du choix de u.
Proposition 1.9 (sans d´emonstration). (E/F,+,.) est un espace vectoriel sur K.
1.2 Partie g´en´eratrice, partie libre et base
Dans ce sous-chapitre E d´esignera toujours un espace vectoriel sur K.
D´efinition. On dit qu’une partie S de E est une partie g´en´eratrice de E si E = Vec(S).
On dit aussi que S engendre E.
D´efinition. Soit S = {e ,...,e } une partie finie de E. On dit que S est libre si, pour
1 n
tous λ ,...,λ ∈ K, l’´egalit´e λ .e +···+λ .e = 0 implique λ = ··· = λ = 0 .
1 n 1 1 n n E 1 n K
D´efinition. Soit S une partie quelconque de E. On dit que S est libre si, pour tout
n ∈ N, tous e ,...,e ∈ S et tous λ ,...,λ ∈ K, l’´egalit´e λ .e + ··· + λ .e = 0
1 n 1 n 1 1 n n E
implique λ = ··· = λ = 0 .
1 n K
Exemple 1. ∅ est libre.
Exemple 2. Soit u ∈ E, u (cid:54)= 0 . Alors {u} est libre.
E
Exemple 3. Supposons que E = R3. Posons e = (1,0,0), e = (0,1,0) et S = {e ,e }.
1 2 1 2
Alors S est libre.
Exemple 4. Soit X un ensemble (infini). Rappelons que, pour x ∈ X, δ d´esigne
x
l’´el´ement de KX d´efini par
(cid:26)
1 si x = y
K
δ (y) =
x 0 si x (cid:54)= y
K
Posons S = {δ | x ∈ X}. Alors S est libre.
x
D´efinition. Une partie B de E est une base de E si elle est libre et g´en´eratrice.
Lemme 1.10. Soit B = {e ,...,e } une partie finie de E. Alors B est une base de E si et
1 n
seulement si tout vecteur u ∈ E s’´ecrit de fa¸con unique sous la forme u = λ .e +···+λ .e
1 1 n n
avec λ ,...,λ ∈ K.
1 n
D´emonstration. Supposons que B est une base. Soit u ∈ E. Comme B est g´en´eratrice,
il existe λ ,...,λ ∈ K tels que u = λ .e +···+λ .e . Supposons qu’il existe d’autres
1 n 1 1 n n
coefficients, µ ,...,µ ∈ K, tels que u = µ .e +···+µ .e . On a
1 n 1 1 n n
(λ −µ ).e +···+(λ −µ ).e = 0 .
1 1 1 n n n E
Comme B est libre, cette ´egalit´e implique que λ − µ = 0 , c’est-a`-dire λ = µ , pour
i i K i i
tout i ∈ {1,...,n}. Ceci montre l’unicit´e de l’´ecriture.
9
Supposons que tout vecteur u ∈ E s’´ecrit de fa¸con unique sous la forme u = λ .e +
1 1
··· + λ .e avec λ ,...,λ ∈ K. L’existence de tels ´ecritures signifie en particulier que
n n 1 n
B est g´en´eratrice. Soient µ ,...,µ ∈ K tels que µ .e + ··· + µ .e = 0 . On a aussi
1 n 1 1 n n E
0 = 0.e + ··· + 0.e . Par l’unicit´e de l’´ecriture, on en d´eduit que µ = 0 pour tout
E 1 n i
i ∈ {1,...,n}. Ceci montre que B est libre.
On va maintenant ´enoncer et d´emontrer un th´eor`eme important de ce cours :
Th´eor`eme 1.11 (Th´eor`eme de la base incompl`ete). Soient L une partie libre et G une
partie g´en´eratrice de E. Il existe une partie G(cid:48) ⊂ G telle que L∩G(cid:48) = ∅ et L∪G(cid:48) est une
base de E.
Ce qui suit va nous servir a` d´emontrer le th´eor`eme 1.11.
D´efinition. Une relation (cid:22) sur un ensemble X est une relation d’ordre si elle v´erifie les
propri´et´es suivantes.
(a) On a x (cid:22) x pour tout x ∈ X (on dit que (cid:22) est r´eflexive).
(b) Six (cid:22) y ety (cid:22) x, alorsx = y, pourtousx,y ∈ X (onditque(cid:22)estanti-sym´etrique).
(c) Si x (cid:22) y et y (cid:22) z, alors x (cid:22) z, pour tous x,y,z ∈ X (on dit que (cid:22) est transitive).
On dit que (cid:22) est un ordre total si, de plus :
(d) x (cid:22) y ou y (cid:22) x pour tous x,y ∈ X.
Exemple 1. SoientX unensembleetP(X)l’ensembledespartiesdeX. Alorsl’inclusion,
⊂, est une relation d’ordre sur P(X).
Exemple 2. L’ordre standard ≤ sur N est un ordre total.
D´efinition. Soient X un ensemble et (cid:22) une relation d’ordre sur X. Une partie Y ⊂ X
est une chaˆıne de X si la restriction de (cid:22) a` Y est un ordre total. Un majorant d’une
partie non vide Y de X est un ´el´ement z ∈ X v´erifiant y (cid:22) z pour tout y ∈ Y. Un
´el´ement x ∈ X est dit maximal s’il n’existe pas de x ∈ X tel que x (cid:22) x et x (cid:54)= x.
0 0 0
Exemple. On pose X = {a ,a ,a ,a } et on consid`ere l’ensemble P(X) des parties de
1 2 3 4
X muni de l’inclusion. Soit Y = {∅,{a },{a ,a }}. Alors Y est une chaˆıne non vide de
1 1 2
P(X). {a ,a ,a } est un majorant de Y. X = {a ,a ,a ,a } est un ´el´ement maximal
1 2 3 1 2 3 4
(en fait c’est l’unique ´el´ement maximal).
Axiome 1.12 (Lemme de Zorn). Soient X un ensemble non vide et (cid:22) une relation
d’ordre sur X. Si toute chaˆıne non vide de X admet un majorant, alors X admet un
´el´ement maximal.
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