Lezioni di Meccanica Analitica per astronomia

282 Pages·2011·22.29 MB·Italian

Lezioni di Meccanica Analitica
per astronomia

Lezioni di Meccanica Analitica
per astronomia
RENATO TROILO
DARIO TIVERON
pubblicato da
LULU ENTERPRISES, INC.
Seconda edizione: Settembre 2o11
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Indice
1 Cinematica 1
1.1 Moto di un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Moti rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Accelerazioni nel moto rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Moti rigidi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Moti piani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Angoli di Eulero. Precessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Dinamica 15
2.1 Il problema dei moti relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Formule della cinematica relativa. Teorema di Coriolis . . . 16
2.3 Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Dinamica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Dinamica in un riferimento terrestre . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.1 Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2 Deviazione dei gravi verso oriente . . . . . . . . . . . 24
2.5.3 Moti paralleli alla superficie terrestre . . . . . . . . . 26
2.5.4 Caso generale. Esempi. . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Vincoli e spostamenti. Sistemi Olonomi 33
3.1 Vincoli olonomi e anolonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Gradi di libert`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Spostamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Vincoli di rotolamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.1 Un esempio di vincolo anolonomo. . . . . . . . . . . 41
3.4.2 Il caso del disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
i
4 Dinamica dei sistemi olonomi 47
4.1 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Energia cinetica. Teorema di K¨onig. . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 Lavoro. Forza conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1 Osservazione: forze centrali . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Sollecitazioni e sollecitazioni conservative . . . . . . . . . . 55
4.5 Il caso del peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6 Caso della forza centrifuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.6.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.6.3 Esempio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.7 Componenti lagrangiane della sollecitazione . . . . . . . . . 60
4.7.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.8 Lavoro di una sollecitazione agente su un corpo rigido . . . 66
4.9 Vincoli ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.10 Osservazioni e note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Meccanica Lagrangiana 73
5.1 Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.3 Esempio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2 Generalizzazionedelconcettodipotenziale. Sistemiclassici
(o naturali). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.1 Esempio: potenziale della forza di Coriolis . . . . . . 85
5.2.2 Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.3 Il pendolo di Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Equazioni di Lagrange generalizzate. Invarianza. . . . . . . 90
5.4 Funzione Hamiltoniana. Integrale dell’energia.. . . . . . . . 92
5.5 Variabili ignorabili (o cicliche) . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.6 Il teorema di Noether. Simmetrie e integrali primi. . . . . . 95
5.6.1 Conservazione della quantit`a di moto. . . . . . . . . 96
5.6.2 Punto di massa variabile . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.6.3 Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.7 Un esempio di sistema non classico . . . . . . . . . . . . . . 100
5.7.1 Significato di H nel caso relativistico . . . . . . . . . 102
5.8 Esercizio sul teorema di Noether . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.9 Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.9.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.9.2 Caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
ii
6 Problema dei due corpi 109
6.1 Equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2 Equazione di Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2.2 Equazione di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2.3 Discussione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.4 Ilpendolosemplice: esempiosull’equazionediWeier-
strass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3 Discussione generale del problema dei due corpi . . . . . . . 127
6.3.1 Caso di forze repulsive . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.3.2 Caso di forze newtoniane repulsive . . . . . . . . . . 129
6.3.3 Caso di forze attrattive . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4 Cenni sul caso gravitazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4.1 Orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4.2 Orbite circolari. Paradosso del satellite . . . . . . . 137
6.4.3 Collasso gravitazionale classico . . . . . . . . . . . . 139
6.4.4 Raggio di Swarchild . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4.5 Collasso gravitazionale classico di una stella sferica . 143
7 Statica Analitica 147
7.1 Equilibrio di sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.2 Stabilit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3 Piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.3.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.3.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 Complementi sulle piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . 157
7.5 Esempi vari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.5.1 Ricavare le frequenze principali . . . . . . . . . . . . 159
7.5.2 Forze elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.5.3 Carica in campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . 161
8 Principi variazionali 167
8.1 Equivalenza della condizione variazionale . . . . . . . . . . 167
8.1.1 Un semplice esempio meccanico . . . . . . . . . . . . 172
8.2 Alcuniesempidiproblemichehannodatooriginealcalcolo
variazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.2.1 Problema della superficie di rotazione che ha area
minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.2.2 Il problema della brachistocrona . . . . . . . . . . . 176
8.2.3 Il Principio di Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
iii
9 Meccanica Hamiltoniana 185
9.1 Equazioni di Hamilton (o canoniche) . . . . . . . . . . . . . 185
9.1.1 Esercizio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.2 Propriet`a dell’Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.3 Esempi ed esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.3.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.3.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.3.3 Esercizio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.4 Integrali primi e parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . 192
9.4.1 Integrali primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.4.2 Parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.5 Sistemi di Lagrange e di Hamilton: l’equivalenza . . . . . . 197
9.6 Invariante integrale di Poincar´e-Cartan . . . . . . . . . . . . 199
9.7 Invariante universale di Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.8 Trasformazioni canoniche (o di contatto) . . . . . . . . . . . 205
9.9 Condizioninecessarieesufficientiaffinch´eunatrasformazio-
ne sia canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.9.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.10 Trasformazioni libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.11 Metodo di integrazione di Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . 213
9.11.1 Osservazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.11.2 Esercizio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.12 Alcuni casi significativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.12.1 Separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.12.2 Caso di varie coordinate cicliche . . . . . . . . . . . 217
9.12.3 Caso ovvio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.12.4 Esempio: soluzione hamiltoniana del problema dei
due corpi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.12.5 Esempio di separazione totale . . . . . . . . . . . . . 220
10 Maree 223
10.1 Basi dinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.2 Forze di marea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10.2.1 Nota storica: Galileo e le maree . . . . . . . . . . . . 227
10.3 Quota di marea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.4 Avanzamento del ventre di marea . . . . . . . . . . . . . . . 230
10.5 Effetti mareali: sistema primario-satellite . . . . . . . . . . 233
10.5.1 Stazionariet`a e minimo dell’energia . . . . . . . . . . 237
10.5.2 Esistenza di un minimo per l’energia . . . . . . . . . 238
10.5.3 Una seconda schematizzazione . . . . . . . . . . . . 239
10.6 Evoluzione del sistema Terra-Luna . . . . . . . . . . . . . . 241
10.7 Limite di Roche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
iv