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Giuseppe Vaccaro Ordinario nella Università di Roma lezioni di geometria Volume I ris~ampa riveduta della 2" edizione • o o ç ~ "'!; .f' o<!t" * o'" . La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) Giuseppe Vaccaro Ordinario nella Università di Roma lezioni di geometria Volume I Ristampa riveduta della 2• Edizione ROMA - LIBRERIA EREDI VIRGILIO VESCHI La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) Le copie non firmate dall'Autore s1 ritengono contraffatte V Tipo-litografia Marves Via Mecenate, 35 - Roma - Tel. 730.061 La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) AVVERTENZA Qu e s t o u o lume de ll e "Le z i on-i di Ce o me t r i a " p u r essendo una ristampa della 2a edizione, risulta, ri spetto a quest'ultima, semplificata e migliorata in alcuni capitoli. Come per le edizioni precedenti il presente vo lume risulta completato dal volume di "Esercizi e Com plementi di Geometria", che uerra citato con la si gla "EC" seguita dall'indicazione del capitolo e del numero. Le citazioni prive della signa "EC" si riferi scono al presente volume. La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) CAP. 1 ° NOZIONI INTRODUTTIVE I. ASCISSE SULLA RETTA Retta orientata Una retta puo' venire percorsa da un punto mobile secondo due versi: uno opposto all'al t ro. Una retta si dice orientata se su di essa si fissa un determinato verso da dirsi posi tivo, mentre il verso opposto si dice negativol Il verso posi- .Pi Pz tivo si indica con una free- _r_ ___t ---------1-----~ eia come nella fig.l La scelta di un verso su Fig. 1 una retta si riduce alla scelta di un ordinamento dei suoi pun ti. In altri termini , dati due punti P ,P su una retta r, l a 1 2 scelta di un verso su essa permette di asserire se P precede 1 - oppure segue P Precisarnente_P precede P se per andare da 2 1 2 P a P si percorre l a retta r nel verso positivo, mentre P 1 2 1 segue P se per andare da P a .P si percorre l a retta r nel 2 1 2 verso negativo. Un punto P divide una retta in due semirette; se la retta e' orientata si chiama semiretta positiv_a quella contenente i .:r._--- p un ti c h e s e gu o n o P , _s-e m i r e t t a n e g a t i v a l ' a 1 t r a , e i o é q u e 11 a - - contenente i punti che precedono P. Y.segmenti orientati e loro misura Dicesi segmento orienta~- un segmento i cui estremi sono considerati in un certo ordine. Il segmento orientato di primo La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) l l " 2. 3) - 6 - estremo P e di un secondo estremo P si indica con P P:.> . 11 1 2 1 p r i 111 n e s t r e mo di u n s e gm e n t o o r i e n t a t o d i c e s i a n c h e o r i g i n e~ d il secondo estremo dicesi semplicemente,,es trem~ . Il ;egmento- o rientato P2P1 , diverso da P1P2 in quanto orientato in senso op E_osto, dicesi opposto di P1P2 . Indicheremo con P1P2 il segmento di estremi P1 e P~ quan do non~ dato l'ordine degli estremi. Considerato un segmento P P e data una unita' di misura 1 2 lineare ~ e' noto dalla geometria elementare che dicesi m1sura del segmento P P rispetto alla prefissata unita' di misura u, 1 2 il numero reale positivo che rappresenta i 1 rapporto dei seg menti P1P2- ed ~u. Tale misura che, ove non nascano equivoci in dicheremo con lo stesso simbolo P1P7 , dicesi anche distanza tra due punti P1 e P2 • Consideriamo ora una retta orientata r e su essa un seg mento orientato P1P2 . Dicesi misura algebrica (o misura con se gno) de] segmento orientato P1P2 , o anche distanza orientata... di P2 da P~umero reale il cui valore assoluto uguaglia l a mi s u r a (asso l u t a ) del segmento P P2 ed i 1 cui segno é posi ti v o 1 o negativo a seconda che il verso del segmento P P'2 coincide 1 oppure_e' opposto al verso positivo fissato sulla retta r. Nel seguito indicheremo con P1P2 oltre al segmento ori~n tato anche la sua misura algebrica. In rel azione alle misure conviene considerare anche i seg menti i cui estremi coincidono, che /si diranno segmenti nulli , ed alla cui misura si attribuisce il numero zero. 3. Relazioni segmentari e In base a quanto detto nel n.2 nei riguardi della misura algebrica P P del segmento i cui estremi P e P? appartengono 1 2 1 ad una retta orientata r, evidentemente si ha: ( 3. 1) La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) - 7 - ( 1 o . 3) giacche' il verso che sulla r porta daP a P e' opposto a quel 1 2 lo che porta da P a P e quindi se P?. segue o precede P nel 2 1 1 verso fissato come positivo sulla r, P precede o segue P in 1 2 tale verso. La 3. 1 puo' seri versi ( 3. 2) Se sulla retta orientata r sono dati tre punti P1 ,P2 ,P3 , s1 vede subito che tra le misure algebriche dei ~gmenti_orien_ ~ati che li congiungono a due a due vale la seguente relazione (di Chasles): ( 3. 3) ovvero: ( 3. 4) che~ equivalente alla precedente tenuto conto che P3P1 =-P1P3 • Le 3.3 e 3.4 sono evidenti· se i punti P1,P ,P si susse 2 3 guono sulla retta come quelli r nella fig. 2, e si possono ve- rificare di rettamente anche p e r l e a l t re p o s i z i on i dei p un - Fig. 2 ti [>1 ,P2 ,P3 • Se per es. P3 ca de tra P e P (fig. 3) e' evi 1 2 dente che si ha: Fi g. 3 ci o e': 1- P 1P2 - P1P3 - P3P2 =O,. che coincide con la 3. 4. La 3.3 o la 3.4 si generalizzano nel modo seguente. La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) ( 1 o ' 3' 4) - 8 - Se sulla retta orientata r sono dati n punti P1 ,P2 , .••• .. ,Pn_ ,Pn, tra le misure algebriche dei segmenti orientati 1 che li c~ng1ungono a due a due, sussiste sempre la relazione: ( 3. 5) Infatti per la 3. 3 si ha: s i c c h e' 1 a 3 . 5 p u o' s c r i v e r s i : Ma sempre per la 3. 3: e quindi la precedente pud scriversi: e procedendo in modo analogo c1 si riduce al caso di tre pun ti, ossia alla: c h e e' v e r a p e r l a · 3 . 4. , - ' 'A ?J:' Ascisse sulla retta I Sopra una retta orientata r fissiamo un punto O, detto origine e diamo inoltre l'unita' di misura u dei segmenti. I ~ o P(x) lJ Fi g. 4 Considerato un qualsiasi punto P della r risulta indivi duato il numero reale relativo x =OP che esprime la misura al gebrica del segme;;,-~rientato OP. Questo numero e' positivo o La cultura è un bene dell'umanità ([email protected]) - 9 - ( l e , 4) negativo a seconda che P segue o precede O nel verso positivo fissato su r, in particolare se P coincide con O si ha x =O. \ Viceversa, dato ad arbitrio un numero reale ..;,, esiste sopra la retta r uno ed un solo punto P tale che sia OP= x; (l' esisten za di tale punto e' assicurata dal postulato della continuita' n e 11 a r e t t a ) ; _s e x n on e' n u 11 o, q u e s t o p u n t o · s e gu e o p r e c e d e O secondo che x e' positi"._o o negativo, e coincidera' con O sex= O. Questo numero x, il quale risulta individuato dal punto P e viceversa individua il punto P quando sulla retta r sia fis sato il verso positivo e l'origine O e sia inoltre fissata l a unita' di misura u, dicesi coordinata ascissa o brevemente ascis sa de 1 punto P. Si ha quindi che: (4.1) La nozione di ascissa stabilisce una corrispondenza biunivoca senza eccezione tra l'insieme dei punti della retta r e l 'ins ieme dei numeri real i. 1 Notiamo che per stabilire un sistema di ascisse sulla ret ta r , c i o e' p e r s t a bi l i r e 1 a p re de t t a c o r r i s p on d e n z a t r a p u n t i , 4J I dir e numeri reali,e' stato necessario f~ ssare l'origine O, _ verso_ _o _.s_i ti v o u_r e 1 ' un i t a' di mi su ~_!L_ Qu es ti e le men ti e o - 1 -~stituiscono un riferimento cartesiano( pe-r le ascisse) sulla retta. Si osservi che per. determinare un _rif~i~~-sJ.1lla retta basta dare l'origine (di ascissa zero) ed il punto Udi ascis sa 1 (punto unitit). Infatti assegnati O e V resta determinato come verso positivo su r il verso in cui O precede U e come u nita' di misura il segmento u =OU. Tl riferimento determinato dai punti O,U s1 indicher~ con R(OU) . La corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei punti della retta e l'insieme dei numeri reali f!. t ra l e nozioni fondamen- tal:i,_dell<! geometria analitica: essa fa si' che ogr:!_i proprieta' di un sistema di punti di una retta si traduca in una proprie - G. Vaccaro - Lez. di Geometria - Val. I Disp. 2 La cultura è un bene dell'umanità ([email protected])