Lezioni di Aritmetica Modulare

18 Pages·2017·0.249 MB·Italian

by  Antonino Salibra

Lezioni di Aritmetica Modulare
Antonino Salibra
Universita` Ca’Foscari Venezia
31 Ottobre 2017
Nel seguito indicheremo con Z l’insieme dei numeri interi.
Scriveremo talvolta a|b al posto di “a divide b”. Questo significa che esiste c ∈ Z tale
che b = ac. Ricordiamo che ogni numero intero divide 0.
1. Massimo comun divisore
Lemma 1.1. Dati due interi a e b con b (cid:54)= 0, esiste un’unica coppia di interi q (quoziente)
ed r (resto) tali che a = bq +r con 0 ≤ r < |b|, dove |b| `e il valore assoluto di b.
Proof. Consideriamo l’insieme A = {a−bz : z ∈ Z}. Sia r il minimo elemento positivo
di A. Allora esiste q ∈ Z tale che a = bq +r. Se fosse r > |b|, allora 0 < r −|b| < r. Se
b > 0, allora a = b(q+1)+(r−b), mentre se b < 0 allora a = b(q−1)+(r−|b|). In ogni
caso, r non sarebbe il minimo elemento positivo di A. Contraddizione.
Example 1.1. Se a = 17 e b = −3, allora 17 = (−3)(−5) + 2. Se a = −17 e b = −3
allora −17 = (−3)6+1.
Se a ,...,a sono interi, allora a Z + ··· + a Z denota l’insieme di tutti gli interi
1 n 1 n
che hanno la forma x a + ··· + x a per opportuni x ,...,x ∈ Z. Se a ∈ Z, allora
1 1 n n 1 n
aZ = {ka : k ∈ Z} `e l’insieme dei multipli di a. L’insieme a Z+···+a Z si chiama ideale
1 n
generato da a ,...,a .
1 n
Consideriamo due esempi: 2Z+3Z = Z perch´e 1 = 3−2 e quindi un arbitrario intero
x si scrive come 3x+2(−x), mentre lasciamo al lettore la verifica che l’ideale 4Z+10Z `e
l’insieme dei numeri pari.
Lemma 1.2. 1. a|b ,...,a|b sse b Z+···+b Z ⊆ aZ.
1 n 1 n
2. a = ±b sse bZ = aZ.
In particolare, abbiamo:
b `e un multiplo di a sse bZ ⊆ aZ
e
a divide b sse aZ ⊇ bZ
Lemma 1.3. Siano a e b numeri interi non entrambi nulli. Allora aZ+bZ = dZ, dove
d `e il minimo intero positivo che appartiene all’ideale aZ+bZ.
1
Lezioni di Aritmetica Modulare 2
Proof. Da d ∈ aZ+bZ si ricava d = xa+yb per opportuni x,y ∈ Z. Quindi ogni multiplo
di d si scrive come kd = (kx)a+(ky)b, da cui si ha dZ ⊆ aZ+bZ.
Viceversa, proviamo che aZ+bZ ⊆ dZ. Sia c ∈ aZ+bZ, ossia c = za+tb per opportuni
z,t. Dividendo c per d si ottiene c = dq + r per opportuni q ed r tali che 0 ≤ r < d.
Sostituendo c = za + tb e d = xa + yb si ricava: za + tb = qxa + qyb + r. Quindi
r = (z−qx)a+(t−qy)b ∈ aZ+bZ. Siccome d `e il minimo intero positivo in aZ+bZ, si
deduce r = 0 e quindi c = dq ∈ dZ.
Lemma 1.4. Siano a e b numeri interi. Allora esiste un unico numero d ≥ 0 che verifica
le seguenti propriet`a:
(i) d|a e d|b;
(ii) Se c|a e c|b, allora c|d.
Se a,b sono non entrambi nulli, allora dZ = aZ+bZ.
Proof. Se a = 0 oppure b = 0, allora d = 0, perch´e 0 `e l’unico numero intero che ammette
come divisori tutti i numeri interi. Se a,b sono non entrambi nulli, applichiamo il Lemma
1.3 per ottenere dZ = aZ+bZ. Allora, (i) segue da a,b ∈ aZ+bZ = dZ. (ii) Dall’ipotesi
c|a e c|b segue che a,b ∈ cZ e quindi dZ = aZ+bZ ⊆ cZ. Ossia c divide d.
Si noti che, se non utilizzassimo la teoria degli ideali, non sarebbe banale provare la
proprieta` (ii) del precedente lemma.
Definition 1.1. Il massimo comun divisore (MCD) di a e b `e il piu` grande divisore
comune di a e b.
Il massimo comun divisore di a e b coincide con l’unico numero determinato dal Lemma
1.4. Verra` indicato con MCD(a,b) oppure con (a,b).
Abbiamo (a,b) = (|a|,|b|), dove |a| e |b| sono il valore assoluto di a e b rispettivamente.
Dal Lemma 1.4 segue che (0,0) = 0.
Due numeri interi a,b si dicono relativamente primi se (a,b) = 1.
Un metodo efficiente di calcolo del massimo comun divisore `e l’algoritmo di Euclide.
Lemma 1.5. Siano a e b interi con b (cid:54)= 0 e sia a = bq + r con 0 ≤ r < |b|. Allora
(a,b) = (b,r).
Proof. Abbiamo per ipotesi che bZ+rZ ⊆ aZ+bZ, perch´e r = a−bq ∈ aZ+bZ. L’altra
inclusione aZ+bZ ⊆ bZ+rZ vale, perch´e a = bq+r. Allora, applicando il Lemma 1.4 si
ottiene la conclusione: (b,r)Z = bZ+rZ = aZ+bZ = (a,b)Z.
Euclide(int a,int b) : int
{int r;
while (b (cid:54)= 0) do //ripetere finch´e non riduciamo b a zero
begin
r := a%b //resto della divisione di a per b;
Lezioni di Aritmetica Modulare 3
a := b;
b := r;
end;
return a; //quando b diventa 0, il risultato `e a
L’algoritmo consiste in una serie di divisioni con resto:
a = b·q +r 0 ≤ r < |b|
1 2 2
b = r ·q +r 0 ≤ r < r
2 2 3 3 2
r = r ·q +r 0 ≤ r < r
2 3 3 4 4 3
r = r ·q +r 0 ≤ r < r
3 4 4 5 5 4 (1)
. . .
. . .
. . .
r = r ·q +r 0 ≤ r < r
t−2 t−1 t−1 t t t−1
r = r ·q Allora r = (a,b)
t−1 t t t
Dati due naturali a,b con a > b, allora c(a,b) `e il numero di volte che calcoliamo la
divisione con resto nell’algoritmo di Euclide per ottenere (a,b). Per esempio, c(a,1) = 1
per ogni a > 1.
Example 1.2. (134,36) = (36,26) = (26,10) = (10,6) = (6,4) = (4,2) = (2,0). In tal
caso, c(134,36) = 6.
Example 1.3. La successione di Fibonacci `e definita ricorsivamente come segue:
F = 1; F = 1; F = F +F .
0 1 n n−1 n−2
I primi elementi della successione sono: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.... Il
centesimo numero di Fibonacci `e F = 354224848179261915075. Se dividiamo F
100 n+1
per F otteniamo proprio la relazione F = F + F , cio´e il quoto `e 1 ed il resto `e
n n+1 n n−1
F < F . F e F sono relativamente primi:
n−1 n n+1 n
(F ,F ) = (F ,F ) = (F ,F ) = ··· = (F ,F ) = 1.
n+1 n n n−1 n−1 n−2 2 1
n = c(F ,F ) `e il numero di volte che calcoliamo la divisione con resto.
n+1 n
Per definizione log (b) `e uguale al numero reale x tale che 2x = b.
2
Lemma 1.6. Siano a > b interi positivi. Il numero di volte che iteriamo la divisione con
resto nell’algoritmo di Euclide `e al piu` 2log (b)+1.
2
Proof. Siano r = a e r = b e
0 1
r = r q +r 0 ≤ r < r
0 1 1 2 2 1
r = r q +r 0 ≤ r < r
1 2 2 3 3 2
r = r q +r 0 ≤ r < r
2 3 3 4 4 3
r = r q +r 0 ≤ r < r
3 4 4 5 5 4 (2)
. . .
. . .
. . .
r = r q +r 0 ≤ r < r
t−2 t−1 t−1 t t t−1
r = r q
t−1 t t
Lezioni di Aritmetica Modulare 4
Allora r > 2r , per ogni i ≥ 0. Infatti,
i i+2
r = r q +r 0 ≤ r < r
i i+1 i+1 i+2 i+2 i+1
≥ r +r r > r da cui segue q ≥ 1 (3)
i+1 i+2 i i+1 i+1
> 2r r < r
i+2 i+2 i+1
Iterando il procedimento si ottiene:
b = r > 2r > 22r > ··· > 2kr .
1 3 5 2k+1
Se 2k > b segue che r < 1, ossia r = 0. In termini dell’algoritmo di Euclide (2)
2k+1 2k+1
si ha r = 0, cos`ı abbiamo t+1 ≤ 2k +1, da cui t ≤ 2k. Inoltre vi sono esattamente
t+1
t divisioni effettuate in (2), cos`ı l’algoritmo di Euclide termina in al piu` 2k iterazioni.
Consideriamo il piu` piccolo k tale che 2k ≥ b > 2k−1. Allora si ha:
numero di iterazioni ≤ 2k = 2(k −1)+2 < 2log (b)+2.
2
Lemma 1.7. Siano a,b numeri interi non entrambi nulli. Allora esistono interi x e y
tali che ax+by = (a,b).
Proof. Dal Lemma 1.3 segue aZ+bZ = (a,b)Z, dove (a,b) `e il massimo comun divisore
di a,b.
Osservazione: Siano a,b interi non entrambi nulli. Allora l’equazione lineare ax+by = 0
rappresenta la retta dei vettori (x,y) che sono ortogonali al vettore (a,b). Il Lemma 1.3
afferma che la retta ax+by = c parallela alla retta ax+by = 0 passa attraverso dei punti
che hanno coordinate intere sse c `e un multiplo di (a,b).
Theorem 1.1. (Proprieta`diB´ezout) Siano a,b,c numeri interi e sia d = (a,b) il massimo
comun divisore di a,b. Allora l’equazione lineare ax+by = c ha soluzioni intere sse d|c.
Proof. Dal Lemma 1.3 si ha aZ+bZ = dZ. Quindi c ∈ aZ+bZ sse c ∈ dZ.
Example 1.4. Trovare una soluzione intera dell’equazione 240x+36y = 12. Possiamo
dividere tutti i coefficienti per 12 ed ottenere 20x+3y = 1. Siccome 20 e 3 sono relati-
vamente primi (cio´e (20,3) = 1) allora le soluzioni intere di 20x + 3y = 1 esistono. Si
vede facilmente che x = −1 e y = 7 `e una soluzione di 20x+3y = 1. La stessa soluzione
risolve 240x+36y = 12.
Example 1.5. Trovare una soluzione intera dell’equazione 120x+81y = 12. Dividendo
per 3 si ottiene 40x+27y = 4. Siccome 40 e 27 sono relativamente primi (cio´e (40,27) =
1) allora le soluzioni intere di 40x+27y = 1 esistono. Applichiamo l’algoritmo di Euclide
per il calcolo del massimo comun divisore: 40 = 27 + 13 e 27 = 13 ∗ 2 + 1. Quindi
1 = 27 − 13 ∗ 2 = 27 − (40 − 27) ∗ 2 = 27 − 40 ∗ 2 + 27 ∗ 2 = (−2)40 + 27 ∗ 3. Quindi
una soluzione intera dell’equazione 40x+27y = 4 `e: x = −8, y = 12. Le stesse soluzioni
funzionano per l’equazione lineare 120x+81y = 12.
Example 1.6. Non esistono soluzioni intere dell’equazione 6x+2y = 5, perch´e 2 = (6,2)
non divide 5.
Lezioni di Aritmetica Modulare 5
1.1. Massimo comun divisore e matrici
Ricordiamo che il minimo comune multiplo di due numeri interi a e b `e il piu` piccolo
`
naturale k tale che a|k e b|k. E denotato da mcm(a,b).
Sia a > b > 0. Consideriamo il sistema lineare
(cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
1 0 x a
= (4)
0 1 y b
(cid:20) (cid:21)
a
Esso ammette banalmente come unica soluzione il vettore . Sappiamo anche che ogni
b
sistema lineare, che si ottiene dal sistema (4) applicando alla matrice completa
(cid:20) (cid:21)
1 0 a
A =
0 1 b
le regole del metodo di eliminazione di Gauss (scambio di due righe; sostituzione di una
riga con la somma della riga stessa con un’altra moltiplicata per uno scalare r) ammette
(cid:20) (cid:21)
a
come unica soluzione il vettore .
b
Se a = bq +r con 0 ≤ r < b, si sottrae alla prima riga q volte la seconda riga e poi si
scambiano la prima e la seconda riga:
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
1 0 a 1 −q a−bq 1 −q r 0 1 b
⇒ = ⇒
0 1 b 0 1 b 0 1 b 1 −q r
Siccome b > r, si procede in maniera simile fino a quando nella terza colonna della matrice
non appare uno 0 in posizione A . Alla fine otterremo una matrice
23
(cid:20) (cid:21)
c d n
e f 0
per cui il sistema lineare
(cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
c d x n
=
e f y 0
(cid:20) (cid:21)
a
ha come unica soluzione il vettore .
b
(cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
c d a ca+db n
= =
e f b ea+fb 0
Lezioni di Aritmetica Modulare 6
L’algoritmo `e il seguente.
Matrice(nat a,nat b)
{matrix A;nat q,z}
(cid:20) (cid:21)
1 0 a
A := ;
0 1 b
while (A (cid:54)= 0) do //ripetere finch´e non riduciamo A a zero
23 23
begin
q := A13 //quoto della divisione A = A q +r con resto 0 ≤ r < A ;
A23 13 23 23
for i := 1 to 3 do A := A −qA ; //Sottrai q volte la riga 2 dalla riga 1 di A ;
1i 1i 2i
for i := 1 to 3 do z := A ;A := A ;A := z; Scambia le righe 1 e 2 della matrice A;
1i 1i 2i 2i
end;
return A = A a+A b; // A = 0 implica (a,b) = A = A a+A b
13 11 2 23 13 11 12
return A a = −A b; // A = 0 implica mcm(a,b) = |A a| = |−A b|
21 22 23 21 22
Example 1.7. Calcoliamo il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo di 53
e 71 con il metodo matriciale:
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
1 0 71 0 1 53 1 −1 18
⇒ ⇒
0 1 53 1 −1 18 −2 3 17
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
−2 3 17 3 −4 1
⇒ ⇒
3 −4 1 −53 71 0
Quindi,
(cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
3 −4 71 3×71−4×53 1
= =
−53 71 53 −53×71+71×53 0
da cui
(71,53) = 1 = 3×71−4×53; mcm(71,53) = 71×53.
Example 1.8. (134,36) = (26,36) = (26,10) = (6,10) = (6,4) = (2,4) = (2,0) perch´e
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
1 0 134 0 1 36 1 −3 26 −1 4 10
⇒ ⇒ ⇒
0 1 36 1 −3 26 −1 4 10 3 −11 6
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
3 −11 6 −4 15 4 7 −26 2
⇒ ⇒ ⇒
−4 15 4 7 −26 2 −18 67 0
Quindi,
(cid:20) (cid:21)(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
7 −26 134 7×134−26×36 2
= =
−18 67 36 −18×134+67×36 0
da cui
(134,36) = 2 = 7×134−26×36; mcm(134,36) = 67×36 = 18×134 = 2412.
Example 1.9. Calcoliamo il massimo comun divisore di numeri di Fibonacci consecutivi
(si veda esempio 1.3). Poniamo F = 1 e F = 0.
−2 −1
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
1 0 F 0 1 F 1 −1 F −1 2 F
n ⇒ n−1 ⇒ n−2 ⇒ n−3
0 1 F 1 −1 F −1 2 F 2 −3 F
n−1 n−2 n−3 n−4
Lezioni di Aritmetica Modulare 7
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
2 −3 F −3 5 F 5 −8 F
⇒ n−4 ⇒ n−5 ⇒ n−6 ⇒ ...
−3 5 F 5 −8 F −8 13 F
n−5 n−6 n−7
Si noti che i numeri 2,3,5,8,13,... che compaiono nella matrice sono numeri di Fi-
bonacci. In altri termini,
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
F −F F −F F F F −F F −F F F
−2 −1 n ⇒ −1 0 n−1 ⇒ 0 1 n−2 ⇒ 1 2 n−3
−F F F F −F F −F F F F −F F
−1 0 n−1 0 1 n−2 1 2 n−3 2 3 n−4
(cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21) (cid:20) (cid:21)
F −F F −F F F F −F F
⇒ 2 3 n−4 ⇒ 3 4 n−5 ⇒ 4 5 n−6 ⇒ ...
−F F F F −F F −F F F
3 4 n−5 4 5 n−6 5 6 n−7
Si noti che ad ogni passo abbiamo
F F −F F = F ; F F −F F = −F
2i n 2i+1 n−1 n−(2i+2) 2i−1 n 2i n−1 n−(2i+1)
Se n `e pari e 2i+2 = n si ha
1 = F = F F −F2 .
0 n−2 n n−1
Se n `e dispari e 2i+1 = n si ha
F2 −F F = 1 = (F ,F ); F F −F F = F = 0; mcm(F ,F ) = F F
n−1 n−2 n n n−1 n−1 n n n−1 −1 n n−1 n−1 n
L’algoritmo di Euclide ed i numeri di Fibonacci sono collegati come segue. Siano
r = a > r = b due numeri interi positivi arbitrari. Allora, r = r q +r , 0 ≤ r < r .
0 1 0 1 1 2 2 1
Da
r = r q +r , 0 ≤ r < r .
1 2 2 3 3 2
e da q > 0 si ottiene
2
b = r > r +r > 2r
1 2 3 3
Similmente,
r = r q +r , 0 ≤ r < r .
2 3 3 4 4 3
Da q > 0 si ottiene
3
r > r +r > 2r
2 3 4 4
e quindi
b = r > r +r > 2r +r = F r +F r > 3r = F r .
1 2 3 3 4 2 3 1 4 4 3 4
In generale abbiamo
b = r > F r +F r > F r ,
1 n−1 n n−2 n+1 n n+1
dove F `e l’ennesimo numero di Fibonacci.
n
Lezioni di Aritmetica Modulare 8
Figure 1. Aritmetica dell’orologio
2. L’aritmetica dell’orologio
L’aritmetica modulare (o aritmetica dell’orologio) `e stata introdotta da Gauss ad inizio
ottocento. Consideriamo un orologio con n > 0 tacche che corrispondono ad i numeri
da 0 a n − 1 (Si veda la figura per il caso n = 9). Indichiamo con Z = {0,1,...,n −
n
1}. Scorriamo l’orologio in senso orario partendo da 0. Una mossa +1 consiste nello
spostarsi in senso orario dalla tacca in cui ci troviamo alla tacca successiva. La mossa
+1 corrisponde all’operazione di aggiungere 1. Quando arriviamo al numero n − 1 ed
eseguiamo una ulteriore mossa +1, scopriamo che (n−1)+1 = 0 anzich´e (n−1)+1 = n.
Quindi, contrariamente ai numeri naturali, il numero 0 `e il successore del numero n−1
e la funzione determinata dalle mosse +1 definisce una funzione bigettiva dall’insieme
Z nell’insieme Z . Viceversa, scorriamo l’orologio in senso antiorario partendo da 0.
n n
Una mossa −1 consiste nello spostarsi in senso antiorario dalla tacca in cui ci troviamo
alla tacca precedente. La mossa −1 corrisponde a sottrarre 1. Quindi 0 − 1 = n − 1
anzich´e essere indefinito come avviene nell’aritmetica dei numeri naturali. La funzione
determinata dalle mosse −1 definisce una funzione bigettiva dall’insieme Z nell’insieme
n
Z . Essa `e la funzione inversa della funzione determinata dalle mosse +1.
n
Come possiamo “rappresentare” un intero a nell’orologio? Adottiamo due strategie
diverse se a`e positivo oppure negativo. Se a`e positivo, eseguiamo esattamente un numero
di mosse +1 pari ad a volte partendo da 0. La tacca in cui ci troviamo rappresenta il
numero intero positivo a nell’orologio. Se a`e negativo, eseguiamo esattamente un numero
di mosse −1 pari a |a| volte partendo da 0. La tacca in cui ci troviamo rappresenta il
Lezioni di Aritmetica Modulare 9
numerointeronegativoanell’orologio. Inentrambiicasilataccadelnumeroarappresenta
il numero
mod (a)
n
che `e il resto della divisione di a per n. Esso `e un numero naturale compreso tra 0 e n−1.
Notazione: Talvolta scriviamo a mod n al posto di mod (a).
n
Definiamo la somma + (modulo n) ed il prodotto ∗ (modulo n) sui numeri interi
n n
come segue:
a+ b = mod (a+b); a∗ b = mod (ab).
n n n n
Il risultato della somma e del prodotto `e sempre un valore compreso tra 0 e n − 1,
quindi rappresentabile nell’orologio.
Lemma 2.1. L’insieme Z = {0,1,...,n−1} `e chiuso rispetto alle operazioni di somma
n
+ e prodotto ∗ .
n n
Per semplificare i conti, utilizziamo la seguente proposizione
Proposition 2.1. Valgono le seguenti uguaglianze (a,b ∈ Z):
1. mod (a+b) = mod (mod (a)+mod (b));
n n n n
2. mod (ab) = mod (mod (a) mod (b)).
n n n n
Example 2.1. Sia n = 9. Allora mod (95·37) = mod (mod (95)+mod (37)) = mod (5·
9 9 9 9 9
2) = mod (10) = 1. Se non avessimo utilizzato la proposizione avremmo dovuto calcolare
9
mod (3515), che `e piu` difficile specialmente se n `e grande.
9
Se ci restringiamo ad i numeri compresi tra 0 e n−1, possiamo anche definire la somma
+ come segue (0 ≤ a,b < n):
n

a se b = 0


a+ b = a+1 se b = 1
n

(a+ (b−1))+1 se b (cid:54)= 0,1.
n
Example 2.2. 7+ 3 = (7+ 2)+1 = ((7+ 1)+1)+1 = ((7+1)+1)+1 = (8+1)+1 =
9 9 9
0+1 = 1.
Possiamo definire il prodotto ∗ sui numeri tra 0 e n−1 utilizzando la somma modulare
n
+ :
n

0 se b = 0


a∗ b = a se b = 1
n

(a∗ (b−1))+ a se b (cid:54)= 0,1.
n n
Example 2.3. 7∗ 3 = (7∗ 2)+ 7 = ((7∗ 1)+ 7)+ 7 = (7+ 7)+ 7 = 5+ 7 = 3.
9 9 9 9 9 9 9 9 9
Nella parte finale abbiamo applicato la definizione della somma + per arrivare al risultato
9
finale 3.
L’aritmetica dell’orologio`e correlata alla teoria delle congruenze che introduciamo nella
prossima sezione.
Lezioni di Aritmetica Modulare 10
3. Congruenze
Le tacche numerate dell’orologio della sezione precedente sono i rappresentanti delle n
classidiequivalenzadiunarelazionediequivalenza≡ definitasugliinteri. Nellaprossima
n
definizione definiamo la relazione ≡ .
n
Definition 3.1. Sia n > 0. Diciamo che a,b ∈ Z sono congruenti modulo n, e scriviamo
a ≡ b (mod n) oppure a ≡ b,
n
se mod (a) = mod (b).
n n
Quindi abbiamo a ≡ b se il resto della divisione di a per n `e uguale al resto della
n
divisione di b per n.
Lemma 3.1. Sia n > 0 e siano a e b numeri interi. Allora, a ≡ b sse n divide b−a.
n
Proof. Supponiamo che a ≡ b. Allora, dividendo a e b per n, si ha: a = q n + r e
n 1
b = q n+r con 0 ≤ r < n. Ne segue che b−a `e divisibile per n: b−a = n(q −q ).
2 2 1
Perladirezioneopposta, supponiamocheb−a = ntperunopportunot ∈ Z. Dividiamo
sia a che b per n: a = q n + r e b = q n + r con 0 ≤ r ,r < n. Allora, b − a =
1 1 2 2 1 2
n(q −q )+(r −r ) = nt, da cui segue r −r = n(t+q −q ). Ma |r −r | < n. Quindi
2 1 2 1 2 1 1 2 2 1
l’unica possibilit`a `e che r = r .
1 2
Lemma 3.2. La relazione ≡ `e una relazione di equivalenza su Z che `e compatibile
n
rispetto alle operazioni di addizione, moltiplicazione e esponenziazione di interi:
(i) a ≡ b∧c ≡ d ⇒ a+c ≡ b+d.
n n n
(ii) a ≡ b∧c ≡ d ⇒ ac ≡ bd.
n n n
(iii) a ≡ b ⇒ ak ≡ bk.
n n
Proof. Sia mod (a) = mod (b) e mod (c) = mod (d).
n n n n
(i) Sia Dalla Proposizione 2.1(1) e dall’ipotesi si ha: mod (a+c) = mod (mod (a)+
n n n
mod (c)) = mod (mod (b)+mod (d)) = mod (b+d).
n n n n n
(ii) La prova `e simile a quella del punto (i).
(iii) La prova `e per induzione su k utilizzando (ii).
La relazione ≡ partiziona Z in n classi di equivalenza. Se a `e un intero scriveremo [a]
n n
per la classe di equivalenza di a modulo l’equivalenza ≡ . Ecco la partizione determinata
n
da ≡ :
n
[0] = {kn : k ∈ Z}; [1] = {1+kn : k ∈ Z}; ... [n−1] = {(n−1)+kn : k ∈ Z}.
n n n
Scegliamo come rappresentanti delle classi di equivalenza i numeri 0,1,2,...,n − 1.
Questi numeri corrispondono alle tacche di un orologio che segna le ore da 0 sino ad n−1
(si veda la figura con n = 4).
Le operazioni di somma + e prodotto ∗ , definite nella sezione precedente, agiscono
n n
sulle classi di equivalenza modulo n tramite i loro rappresentanti.