Lezioni di Analisi matematica II

229 Pages·2012·3.05 MB·Italian

by  Sergio Lancelotti

Capitolo 1
Brevi richiami di topologia e
calcolo differenziale in piu`
variabili
Premessa fondamentale
Siano A e B dueinsiemi. Con la scrittura f :A B si intende una funzione che associa
→
ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Quindi A `e il dominio di f e B
`e il codominio di f. Talvolta il dominio si indica con il simbolo dom(f). Quindi se
f : A B `e una funzione, allora dom(f)= A.
→
1 Brevi richiami di topologia di Rn
Nel seguito considereremo n N, n 1. Denotiamo con Rn il prodotto cartesiano di R
∈ ≥
per se stesso n volte, cio`e
Rn = R R = (x ,x ,...,x ): x ,x ,...,x R .
1 2 n 1 2 n
×···× ∈
n volte n o
E` uno spazio vettor|iale s{uz R d}i dimensione n. Per ogni i = 1,...,n denotiamo con e
i
il vettore di Rn avente la componente i-esima uguale a 1 e tutte le altre nulle. E` detto
il vettore i-esimo della base canonica di Rn. La base (e ,...,e ) `e detta base
1 n
canonica di Rn. Se v = (v ,...,v ) Rn, allora si ha che
1 n
∈
v = (v ,...,v ) = (v ,0,...,0)+ +(0,...,0,v ) =
1 n 1 n
···
=v (1,0,...,0)+ +v (0,...,0,1) = v e + +v e .
1 n 1 1 n n
··· ···
e1 en
In Rn sono definiti|un p{rzodo}tto scalare| {z }
x = (x ,...,x ), y = (y ,...,y ): x y = (x ,...,x )(y ,...,y ) = x y + +x y ,
1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 n n
∀ · · ···
1
2 S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II
e una norma, detta anche modulo,
x = (x ,...,x ): x = √x x = x2+ +x2.
∀ 1 n k k · 1 ··· n
q
Introduciamo alcuni concetti di topologia dello spazio Rn.
(1.1) Definizione Siano x Rn e r > 0.
0
∈
Si chiama intorno (sferico) aperto di centro x e raggio r (o anche palla
0
aperta di centro x e raggio r) l’insieme
0
B (x )= x Rn : x x < r .
r 0 0
∈ k − k
n o
Questo intorno contiene tutti e soli i punti di Rn aventi distanza da x minore di
0
r.
Si chiama intorno (sferico) chiuso di centro x e raggio r (o anche palla
0
chiusa di centro x e raggio r) l’insieme
0
B (x )= x Rn : x x r .
r 0 0
∈ k − k ≤
n o
Per n= 1 si ha che
B (x ) = x R : x x < r = (x r,x +r),
r 0 0 0 0
{ ∈ | − | } −
B (x ) = x R : x x r = [x r,x +r].
r 0 0 0 0
{ ∈ | − | ≤ } −
Per n= 2 si ha che
B (x ,y ) = (x,y) R2 : (x,y) (x ,y ) < r =
r 0 0 0 0
∈ k − k
n o
= (x,y) R2 : (x x )2+(y y )2 < r2
0 0
∈ − −
n o
che `e l’insieme dei punti interni alla circonferenza di centro (x ,y ) e raggio r, mentre
0 0
B (x ,y ) = (x,y) R2 : (x,y) (x ,y ) r =
r 0 0 0 0
∈ k − k ≤
n o
= (x,y) R2 : (x x )2+(y y )2 r2
0 0
∈ − − ≤
n o
che`e l’insieme deipuntidella circonferenza dicentro (x ,y )e raggio r ediquelli interni
0 0
ad essa.
1 Brevi richiami di topologia di Rn 3
y
B (x ,y )
r 0 0
r
y
0 (cid:1)
(cid:3)
(cid:0) (cid:2)
x
O 0 x
Per n = 3 si ha che
B (x ,y ,z ) = (x,y,z) R3 : (x,y,z) (x ,y ,z ) < r =
r 0 0 0 0 0 0
∈ k − k
n o
= (x,y,z) R3 : (x x )2+(y y )2+(z z )2 < r2
0 0 0
∈ − − −
n o
che `e l’insieme dei punti interni alla sfera di centro (x ,y ,z ) e raggio r, mentre
0 0 0
B (x ,y ,z ) = (x,y,z) R3 : (x,y,z) (x ,y ,z ) r =
r 0 0 0 0 0 0
∈ k − k ≤
n o
= (x,y,z) R3 : (x x )2+(y y )2+(z z )2 r2
0 0 0
∈ − − − ≤
n o
che `e l’insieme dei punti della sfera di centro (x ,y ,z ) e raggio r e di quelli interni ad
0 0 0
essa.
z
z Br(x0,y0,z0)
0 (cid:8)
r
(cid:5)
O
(cid:4) (cid:7)y0 y
x
0 (cid:9) (cid:6)
x
Se n 2 non si introducono le nozioni di intorno destro e sinistro e non si
≥
introducono le nozioni di intorno di + e .
∞ −∞
4 S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II
(1.2) Definizione Siano Ω Rn e x Rn.
0
⊆ ∈
Diciamo che x `e un punto interno ad Ω se esiste r > 0 tale che B (x ) Ω.
0 r 0
⊆
In particolare x Ω. Si chiama parte interna di Ω l’insieme dei punti interni
0
∈
di Ω. Si denota con int(Ω).
Diciamo che x `e un punto isolato per Ω se esiste r > 0 tale che Ω B (x ) =
0 r 0
∩
x . In particolare x Ω.
0 0
{ } ∈
Diciamo che x `e un punto di accumulazione per Ω se per ogni r > 0 si ha che
0
Ω B (x ) x = ,
r 0 0
∩ \{ }6 ∅
h i
cio`e se ogni intorno di x contiene punti di Ω diversi da x . In tal caso non `e detto
0 0
che x appartenga ad Ω.
0
Diciamo che x `e un punto di frontiera per Ω se per ogni r > 0 si ha che
0
Ω B (x ) = e Ω B (x ) = , dove Ω `e il complementare di Ω. In tal caso
r 0 r 0
∩ 6 ∅ C ∩ 6 ∅ C
non `e detto che x appartenga ad Ω.
0
Si chiama frontiera di Ω (talvolta detta anche bordo di Ω) l’insieme dei punti
di frontiera di Ω. Si denota con Fr(A) oppure ∂Ω. Evidentemente ∂Ω = ∂ Ω.
C
Si chiama chiusura di Ω l’insieme Ω = Ω ∂Ω.
∪
Il termine punti di frontiera sembra indicare quei punti che “separano” un insieme
da un altro, che in questo caso`e il complementare. In molte situazioni in effetti si tratta
proprio di punti che delineano un confine fra i due insiemi.
y y
∂Ω
Ω
ΩΩ
O x
∂Ω
O x
Esistono per`o casi particolari ai quali mal si applica la dicitura di punti di “sepa-
1 Brevi richiami di topologia di Rn 5
razione”. Nel caso dell’insieme
Ω = (x,y) R2 : x,y Q ,
∈ ∈
n o
si ha che il suo complementare `e
(Ω) = (x,y) R2 : x y Q
C ∈ ∨ 6∈
n o
mentre il bordo `e ∂Ω = R2 che contiene sia Ω che (Ω).
C
(1.3) Definizione Sia Ω Rn.
⊆
Diciamo che Ω `e aperto se ogni punto di Ω `e interno ad Ω, cio`e se int(Ω)= Ω.
Diciamo che Ω `e chiuso se Ω `e aperto.
C
Diciamo che Ω `e limitato se esiste r > 0 tale che Ω B (0).
r
⊆
Diciamo che Ω `e compatto se `e chiuso e limitato.
Per convenzione e Rn sono contemporaneamente aperti e chiusi.
∅
Si osserva che Ω `e chiuso se e solo se ∂Ω Ω. Ne segue che Ω `e aperto se e solo se
⊆
Ω ∂Ω = . Inoltre se Ω `e chiuso, allora Ω = Ω.
∩ ∅
Richiamiamo alcune semplici propriet`a degli insiemi aperti e chiusi.
(1.4) Proposizione Valgono i seguenti fatti:
a) l’unione di insiemi aperti `e un insieme aperto;
b) l’intersezione di un numero finito di insiemi aperti `e un insieme aperto;
c) l’unione di un numero finito di insiemi chiusi `e un insieme chiuso;
d) l’intersezione di insiemi chiusi `e un insieme chiuso.
(1.5) Proposizione Siano Ω Rn non vuoto, f :Ω R una funzione continua
⊆ →
e A R. Allora valgono i seguenti fatti:
⊆
a) se A `e aperto, allora f−1(A) `e aperto;
b) se A `e chiuso, allora f−1(A) `e chiuso.
6 S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II
Si rammenta che f−1(A) `e la preimmagine (o controimmagine) di A tramite f
definita da
f−1(A) = x Ω : f(x) A .
{ ∈ ∈ }
(1.6) Esempio
1) L’insieme Ω = (x,y) R2 : x2+y2 = 1 `e chiuso.
∈
n o
Infatti, posto A = 1 e f(x,y) = x2 + y2, si ha che Ω = f−1(A). Poich´e A `e
{ }
chiuso e f `e continua, per la Proposizione (1.5) si ha che Ω `e chiuso. Inoltre si
osserva che int(Ω)= e ∂Ω = Ω.
∅
2) L’insieme Ω = (x,y) R2 : 2x2+3y2 < 4 `e aperto.
∈
n o
Infatti, posto A= ( ,4) e f(x,y) = 2x2+3y2, si ha che Ω= f−1(A). Poich´e A
−∞
`e aperto e f `e continua, per la Proposizione (1.5) si ha che Ω `e aperto.
3) L’insieme Ω = (x,y) R2 : 2 x2+y2 3 `e chiuso.
∈ ≤ ≤
n o
Infatti, posto A = [2,+ ), B = ( ,3] e f(x,y) = x2 + y2, si ha che Ω =
∞ −∞
f−1(A) f−1(B). Poich´e AeB sonochiusief `econtinua, perleProposizioni(1.4)
∩
e (1.5) si ha che Ω `e chiuso.
4) L’insieme Ω = (x,y,z) R3 : 1< x2+y2+z2 < 4 `e aperto.
∈
n o
Infatti, posto A= (1,+ ), B =( ,4) e f(x,y,z) = x2+y2+z2, si ha che Ω =
∞ −∞
f−1(A) f−1(B). Poich´e AeB sonoapertief `econtinua, perleProposizioni(1.4)
∩
e (1.5) si ha che Ω `e aperto.
5) L’insieme Ω = (x,y) R2 : 1 x2+y2 < 4 non `e n´e aperto n´e chiuso.
∈ ≤
n o
La dimostrazione viene lasciata per esercizio.
2 Brevi richiami di calcolo differenziale in piu` variabili 7
2 Brevi richiami di calcolo differenziale in piu` variabili
Nel seguito n e m indicano numeri naturali maggiori o uguali a 1.
(2.1)Definizione SianoΩ Rnapertononvuoto,x Ω,v Rnef :Ω Rm
0
⊆ ∈ ∈ →
una funzione.
Diciamo che f `e derivabile in x rispetto a v se esiste in Rm il limite
0
f(x +tv) f(x )
0 0
lim − ,
t→0 t
che in tal caso si denota con il simbolo ∂f(x ) ed `e detto derivata direzionale
∂v 0
di f in x rispetto a v.
0
In particolare se v = e , i-esimo vettore della base canonica di Rn, allora questa
i
derivata `e anche detta derivata parziale di f rispetto a x in x e si denota
i 0
con il simbolo ∂f (x ).
∂xi 0
Si osserva che il limite
f(x +tv) f(x )
0 0
lim −
t→0 t
`e nella sola variabile reale t. Quindi `e il limite di una funzione in una variabile, piu`
precisamente fissati x e v `e il limite della funzione t f(x0+tv)−f(x0) .
0 7→ t
n o
(2.2) Definizione Siano Ω Rn aperto non vuoto, x Ω e f : Ω Rm una
0
⊆ ∈ →
funzione.
Diciamo che f `e differenziabile in x se esiste una funzione lineare (e continua)
0
L : Rn Rm tale che
→
f(x) f(x ) L(x x )
0 0
lim − − − =0.
x→x0 x x0
k − k
In tal caso denotiamo questa funzione L con il simbolo df(x ) (oppure df ) che `e
0 x0
detto differenziale di f in x .
0
Si osserva che il limite
f(x) f(x ) L(x x )
0 0
lim − − −
x→x0 x x0
k − k
`e nella variabile x di Rn, quindi `e un limite di una funzione di n variabili.
8 S. Lancelotti, Appunti di Analisi Matematica II
(2.3) Proposizione Siano Ω Rn aperto non vuoto, x Ω e f : Ω Rm una
0
⊆ ∈ →
funzione. Allora valgono i seguenti fatti:
1) se f `e differenziabile in x , allora f `e continua in x ;
0 0
2) se f `e differenziabile in x , allora per ogni v Rn si ha che f `e derivabile in
0
∈
x rispetto a v e vale la seguente uguaglianza
0
∂f
(x )= df(x )(v).
0 0
∂v
In particolare se v = e , i-esimo vettore della base canonica di Rn, si ha che
i
∂f
(x ) = df(x )(e ).
0 0 i
∂x
i
Quindi se v = v e + +v e , si ha che
1 1 n n
···
df(x )(v) = df(x )(v e + +v e ) = v df(x )(e )+ +v df(x )(e )=
0 0 1 1 n n 1 0 1 n 0 n
··· ···
∂f ∂f
= v (x )+ +v (x ).
1 0 n 0
∂x ··· ∂x
1 n
In particolare se m = 1, allora
df(x )(v) = f(x ) v;
0 0
∇ ·
3) se la funzione f ammette tutte le derivate parziali ∂f per ogni i= 1,...,n in
∂xi
Ω e se queste le derivate parziali sono continue inx , allora f `e differenziabile
0
in x .
0
(2.4) Osservazione Poich´e il differenziale di f : Ω Rm in x Ω Rn `e una
0
→ ∈ ⊆
applicazione lineare, ad essa `e associata, rispetto alle basi canoniche di Rn e Rm, una
matrice m n, detta matrice Jacobiana, denotata talvolta con il simbolo J (x ). Piu`
f 0
×
precisamente, se f = (f ,...,f ), allora
1 m
∂f1(x ) ∂f1(x )
∂x1 0 ··· ∂xn 0
Jf(x0)=  ... ... ... .
∂fm(x ) ∂fm(x )
 ∂x1 0 ··· ∂xn 0 
Evidentemente si ha che per ogni v = (v ,...,v ) Rn
1 n
∈
∂∂xf11(x0) ··· ∂∂xfn1(x0) v1
df(x0)(v) = Jf(x0)v =  ... ... ...  ... .
 ∂∂fxm1(x0) ··· ∂∂fxmn(x0)vn
2 Brevi richiami di calcolo differenziale in piu` variabili 9
Sef `eunafunzionereale,cio`esem = 1,alloradenotatecon(dx ,...,dx )leapplicazioni
1 n
lineari da Rn in R tali che
1 se i= j
dx (e ) =
i j
(0 se i= j,
6
dove e `e il j-esimo vettore della base canonica di Rn, si ha che
j
n
∂f ∂f ∂f
(2.5) df(x ) = (x )dx + + (x )dx = (x )dx .
0 0 1 0 n 0 i
∂x ··· ∂x ∂x
1 n i=1 i
X
(2.6) Osservazione Se I R `e un intervallo aperto, x I e f :I Rm `e derivabile
0
⊆ ∈ →
in x , allora f `e differenziabile in x con df(x )(x) = f0(x )x per ogni x R.
0 0 0 0
∈
0
In particolare f (x ) = df(x )(1).
0 0
Differenziale della funzione composta
Se f e g sono due funzioni rispettivamente differenziabili in x e in f(x ), allora la
0 0
funzione composta g f `e differenziabile in x con
0
◦
x : d(g f)(x )(x) = dg(f(x ))(df(x )(x)).
0 0 0
∀ ◦
In termini matriciali si ha che Jg◦f(x0) = Jg(f(x0))Jf(x0).
Derivata parziale della funzione composta
Se f e g sono due funzioni rispettivamente differenziabili in x e in f(x ), allora la
0 0
derivata parziale i-esima della funzione composta g f in x `e data da
0
◦
∂(g f) ∂f
◦ (x ) = d(g f)(x )(e ) = dg(f(x ))(df(x )(e )) = dg(f(x )) (x ) .
0 0 i 0 0 i 0 0
∂x ◦ ∂x
i (cid:18) i (cid:19)
In particolare se g `e una funzione reale, cio`e ad esempio si ha Rn f Rm g R, allora
−→ −→
per (2.5) si ha che
m ∂g
dg(y ) = (y )dy
0 0 j
∂y
j=1 j
X
e quindi, denotate con (f ,...,f ) le componenti di f, si ha che
1 m
∂(g f) ∂f m ∂g ∂f
◦ (x )= dg(f(x )) (x ) = (f(x ))dy (x ) =
0 0 0 0 j 0
∂x ∂x ∂y ∂x
i (cid:18) i (cid:19) j=1 j (cid:18) i (cid:19)
X
m ∂g ∂f ∂f
= (f(x ))dy 1(x ),..., m(x ) =
0 j 0 0
∂y ∂x ∂x
j=1 j (cid:18) i i (cid:19)
X