Lezioni di analisi matematica 1

523 Pages·2021·3.354 MB·Italian

by  Massimo Lanza De Cristoforis

Questo testo mira sia ad una trattazione rigorosa della materia che a fare Massimo Lanza de Cristoforis
acquisire allo studente quei concetti base che gli permettano di avere della
materia stessa una visione che, a parere dell’autore, è di una certa profondità
e sintesi.
Ciascun concetto è stato presentato in quello che, almeno agli occhi dell’au- M
tore, appare essere il suo ambiente naturale. È stato fatto uno sforzo affinché le a
ipotesi degli enunciati siano quelle naturali all’enunciato stesso e non altre ma- s
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gari adatte ad una presentazione più spiccia, anche a costo di richiedere allo im
studente un impegno iniziale maggiore.
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Numerosi sono gli esercizi, molti di questi svolti. Il loro livello è generalmente

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adeguato anche nel caso in cui il docente decida di tralasciare dal programma a
molti degli aspetti teorici del libro ed intenda rivolgersi ad un pubblico con minori n
pretese teoriche. z
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Il testo è rivolto sia a studenti dei corsi di laurea in matematica che ad altri di LEZIONI
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carattere scientifico. Può essere adottato anche in corsi di ingegneria, facendo
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però accurati tagli e alcune integrazioni.
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Massimo Lanza de Cristoforis ricopre una posizione di professore ordinario pres- r
so l’Università degli Studi di Padova ove si è laureato per poi conseguire il titolo is
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di PhD presso l’Università del Maryland (USA). Ha insegnato corsi di analisi ma-
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tematica a vari livelli e ha trascorso periodi di studio o ricerca e tenuto cicli di E
Z MATEMATICA 1
lezioni o seminari in Atenei di alcuni paesi del mondo cui è grato per quanto ha I
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potuto ivi apprendere, fra cui Bielorussia, Finlandia, Francia, Georgia, Germania,
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Giappone, Israele, Kazakistan, Portogallo, Regno Unito, Romania, Russia, Turchia,
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Ucraina, USA. D
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ISBN 978-88-9385-244-9 IS
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Feedback 34,00 Euro A
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Massimo Lanza de Cristoforis
Lezioni di Analisi Matematica 1
ISBN 978-88-9385-244-9
© Copyright 2021
Società Editrice Esculapio s.r.l.
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Romana, n. 108 - 20122 Milano
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InmemoriadimiamadreAnnaMaria

Indice
Prefazione xi
1 Preliminari 1
1.1 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Filtrosuuninsieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Prodottocartesianodiinsiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Definizionedifunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Inversesinistre,inversedestreel’assiomadellascelta . . . . . . . 14
1.7 Ancorasuiprodotticartesianidipiu` insiemi . . . . . . . . . . . . . 16
2 Numerinaturali,razionali,realiecomplessi 19
2.1 Inumerinaturalieilprincipiodiinduzione . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Inumerireali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Larettarealeestesaconduepunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Valoreassoluto,segnoefunzionecaratteristica . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Massimieminimi. Maggiorantieminoranti . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Estremosuperioreedinferiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.8 Ordinamentopuntualedellefunzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9 Partepositivaenegativadiunafunzione . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.10 LemmadiArchimedeeparteintera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.11 Densita` ordinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12 Funzionipariefunzionidispari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.13 Funzionimonotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.14 Potenzeadesponenteintero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.15 Potenzeadesponenterazionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.16 Potenzeadesponentereale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.17 Brevedigressioneelementaresullefunzionitrigonometriche . . . . 45
2.18 Inumericomplessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.19 Formapolaredeinumericomplessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.20 Risoluzionedialcuneequazioninelcampocomplesso . . . . . . . . 59
2.21 Alcuniesercizisullarisoluzionedelleequazioninelcampocomplesso 61
2.22 Uguaglianzeedisuguaglianzeelementari . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.23 Insiemifinitieinsieminumerabili1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1Questasezionedeveessereomessaseilcapitolo3fapartedelprogramma.
vi
3 Equipotenzadegliinsiemi 77
3.1 Insiemiequipotentiecardinalita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Insiemifiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Insiemiinfinitiedinsieminumerabili . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 Primenozioniditopologia 91
4.1 Spazimetrici,primenozioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Spazitopologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 Sottoinsiemichiusidiunospaziotopologico . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4 Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5 Spazitopologiciseparati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.6 Topologieefamigliediintorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7 Nomenclaturatopologicadeipunti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.8 Chiusuradiuninsieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.9 Sottoinsiemitopologicamentedensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.10 Unatopologiaperlarettarealeestesaconduepunti . . . . . . . . 114
4.11 EstensionedellospazioRn conunpunto . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5 Funzionicontinue 123
5.1 Definizionedicontinuita` inunpunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2 Continuita` dellerestrizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3 Continuita` dellefunzionicomposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.4 Proprieta` degliinsiemisucuiduefunzionicontinuecoincidono . . 132
5.5 Topologiasuunospazioprodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.6 Funzionicontinueavalorireali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6 Limiti 139
6.1 Definizionedilimite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2 Limitedellerestrizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3 Limitedellefunzionicomposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4 Qualcheosservazionesuilimitiainfinito . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5 Successionielimiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.6 Limitiperfunzioniavalorireali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.7 Limitidisuccessionireali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.8 Sottosuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.9 Limitiperfunzioniavaloriinunospazioprodotto . . . . . . . . . . 173
6.10 Limitidifunzionimonotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.11 Continuita` dellefunzionimonotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.12 IlteoremadiCesa`roedapplicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.13 Calcolodialcunilimiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.14 Limitidisuccessionidefiniteperinduzione . . . . . . . . . . . . . . 189
6.15 Alcuniesercizisullesuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.16 Cennialminimoemassimolimitedellesuccessionireali . . . . . . 193
LezionidiAnalisiMatematica1 vii
7 Spaziconnessi 203
7.1 Definizionediconnessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7.2 Isottoinsiemiconnessidellarettareale . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.3 Connessioneperarchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.4 Sottoinsiemiconvessidiunospaziovettoriale . . . . . . . . . . . . . 208
7.5 ConnessionedeisottoinsiemiconvessidiRn . . . . . . . . . . . . . . 210
7.6 Funzionicontinuesuspaziconnessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.7 Ilteoremadeglizeriedelleinverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.8 Funzionilocalmentecostanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.9 Unionedisottoinsiemiconnessiecomponenticonnesse . . . . . . . 214
7.10 Alcuniesercizisullanozionediconnessione . . . . . . . . . . . . . . 215
8 Lacompletezzaneglispazimetrici 217
8.1 SuccessionidiCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.2 Ladefinizionedicompletezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9 Spazicompatti 221
9.1 Compattezzasequenziale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.2 Compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.3 Compattezzadeiprodotticartesiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.4 IsottoinsiemicompattidiRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9.5 Compattezzadellarettarealeestesaconduepunti . . . . . . . . . 224
9.6 CompattezzadellospazioRn estesoconunpunto. . . . . . . . . . . 225
9.7 Funzionirealidefinitesuuncompatto . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
10 Calcolodifferenziale 229
10.1 Introduzionealconcettodiderivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10.2 Derivabilita` adestraeasinistra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10.3 Continuita` ederivabilita` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10.4 Regolediderivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10.5 Qualcheeserciziosulladerivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10.6 Estremantirelativiezeridelladerivata . . . . . . . . . . . . . . . . 240
10.7 IteoremidiRolleediLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10.8 Segnodelladerivataemonotoniadellefunzioni . . . . . . . . . . . 243
10.9 AltreconseguenzedelteoremadiLagrange . . . . . . . . . . . . . . 246
10.10 Ilteoremadegliincrementifinitieilteoremadidel’Hoˆpital . . . . 248
10.11 ConfrontolocaleesimbolidiLandau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
10.12 Derivatediogniordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
10.13 LaformuladiTaylorconilrestodiPeano . . . . . . . . . . . . . . . 267
10.14 ApplicazionidelprincipiodisostituzioneedellaformuladiTaylor. 275
10.15 Alcuniesercizisulcalcolodeilimiticonilprincipiodisostituzione . 287
10.16 Applicazioni del calcolo differenziale allo studio dei massimi e
minimirelativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.17 LaformuladiTaylorconilrestodiLagrange . . . . . . . . . . . . . 294
10.18 Funzioniconcaveeconvesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
viii
10.19 Convessita` econcavita` stretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
10.20 Condizionidiconvessita` econcavita` perfunzioniderivabili . . . . . 302
10.21 Applicazioni della convessita` e della concavita` allo studio delle
disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
10.22 Continuita` ederivabilita` dellefunzioniconvesseeconcave . . . . . 307
10.23 Puntidiflesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.24 Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.25 Esempidistudioqualitativodelgraficodiunafunzione . . . . . . . 314
10.26 Alcuniesercizisullostudioqualitativodelgraficodiunafunzione . 317
10.27 Applicazioniallostudiodelledisuguaglianze . . . . . . . . . . . . . 323
11 Funzioniuniformementecontinue 327
11.1 Continuita` uniformeemodulidicontinuita` uniforme . . . . . . . . 327
11.2 Continuita` uniformedelladistanzaedistanzadauninsieme . . . . 332
11.3 Funzionicontinuedefiniteinspazimetricicompatti . . . . . . . . . 333
11.4 Ilteoremadell’estensioneperlefunzioniuniformementecontinue. 337
11.5 Alcuniesercizisullefunzioniuniformementecontinue . . . . . . . . 342
12 L’integralediRiemann 345
12.1 Funzioniascalino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
12.2 L’integralediRiemannperlefunzioniascalinoasupportocompatto 347
12.3 MisuraelementarediPeano-JordaninR . . . . . . . . . . . . . . . 350
12.4 MisuraelementarediPeano-JordaninR2 . . . . . . . . . . . . . . . 352
12.5 L’integralediRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
12.6 L’integralediRiemanndiunafunzionesuunsottoinsiemediR . . 364
12.7 Integrabilita` dellefunzionicontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
12.8 Lamediaintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
12.9 IntegralidiRiemannsuintervalliorientati . . . . . . . . . . . . . . 370
12.10 Integraliindefiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
12.11 IlteoremadiTorricelliedilteoremafondamentaledelcalcolo . . . 372
12.12 Integraliindefinitiimmediati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
12.13 Integrazioneperparti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
12.14 Integrazionepersostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
12.15 Integrazionedellefunzionirazionalifratte . . . . . . . . . . . . . . 380
12.16 RegoladiHermiteperlefunzionirazionalifratte. . . . . . . . . . . 384
12.17 Integrazionedifunzionirazionalidisenoecoseno . . . . . . . . . . 385
12.18 Cenniallefunzioniiperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
12.19 Integralidifunzioniriconducibiliaintegralidifunzionirazionali . 391
12.20 Alcuniesercizisulcalcolodegliintegrali . . . . . . . . . . . . . . . . 395
12.21 Primitivediordinesuperiorealprimo . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
12.22 LaformuladiTaylorconilrestoinformaintegrale . . . . . . . . . 399
12.23 EnunciatoriassuntivodelteoremadellaformuladiTaylor . . . . . 400
LezionidiAnalisiMatematica1 ix
13 Ilpianocomplessocomespaziometrico 403
13.1 Unadistanzaeunatopologiaperilpianocomplesso . . . . . . . . . 403
13.2 Ilpianocomplessoestesoconunpunto . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
13.3 Continuita` elimitiperfunzioniavaloricomplessi . . . . . . . . . . 404
13.4 Qualcheosservazionesuilimitiainfinito . . . . . . . . . . . . . . . 407
13.5 Qualcheosservazionesuilimitidellesuccessioniaterminicomplessi 408
13.6 Limitiinformaindeterminata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
14 Serienumeriche 411
14.1 Definizionediserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
14.2 Serieaterminipositivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14.3 Serieassolutamenteconvergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
14.4 Ilcriteriodelrapporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
14.5 Ilcriteriodellaradice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
14.6 Ilcriteriodelconfrontoasintotico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
14.7 Serieaterminidisegnoalterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
14.8 IlcriteriodiAbel-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
14.9 ProdottoallaCauchydidueserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
14.10 Seriedipotenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
14.11 IlteoremadiCauchy-Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
14.12 Seriedipotenzeconterminigeneralifraloroasintotici . . . . . . . 443
14.13 LaseriediTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
14.14 Unaformulabinomialeperesponentirealielaseriebinomiale . . 450
14.15 Lafunzioneesponenzialenelcampocomplesso . . . . . . . . . . . . 453
14.16 Funzionigoniometrichenelcamporealeecomplesso. . . . . . . . . 454
14.17 Alcuniesercizisulleserie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
15 L’integralediRiemanngeneralizzato 469
15.1 DefinizionediintegralediRiemanngeneralizzato . . . . . . . . . . 469
15.2 Valore principale di una funzone localmente Riemann integrabile
inR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
15.3 Criteridelconfronto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
15.4 Ilcriteriodell’integraleperleserie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
15.5 AlcuniesercizisugliintegralidiRiemanngeneralizzati . . . . . . . 490
Bibliografia 497
Indiceanalitico 499