Lexikon der Mathematik: Band 4: Moo bis Sch

495 Pages·2017·8.08 MB·German

by  Guido Walz (eds.)

Lexikon der
Mathematik
Band 4
Moo bis Sch
Lexikon der Mathematik: Band 4
Guido Walz
(Hrsg.)
Lexikon der Mathematik:
Band 4
Moo bis Sch
2. Auflage
Herausgeber
Guido Walz
Mannheim, Deutschland
ISBN 978-3-662-53499-1 ISBN 978-3-662-53500-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-53500-4
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V
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VI
HinweisefürdieBenutzer
Gemäß der Tradition aller Großlexika ist auch das vorliegende Werk streng alphabe-
tisch sortiert. Die Art der Alphabetisierung entspricht den gewohnten Standards, auf
folgende Besonderheiten sei aber noch explizit hingewiesen: Umlaute werden zu ih-
ren Stammlauten sortiert, so steht also das „ä“ in der Reihe des „a“ (nicht aber das
„ae“!);entsprechendfindetman„ß“bei„ss“.GriechischeBuchstabenundSonderzei-
chen werden entsprechend ihrer deutschen Transkription einsortiert. So findet man
beispielsweise das α unter „alpha“. Ein Freizeichen („Blank“) wird nicht überlesen,
sondern gilt als „Wortende“: So steht also beispielsweise „a priori“ vor „Abakus“.
ImGegensatzdazuwerdenSonderzeicheninnerhalbderWorte,insbesonderederBin-
destrich, „überlesen“, also bei der Alphabetisierung behandelt, als wären sie nicht
vorhanden.Schließlichistnochzuerwähnen,daßExponentenebensowieIndizesbei
derAlphabetisierungignoriertwerden.
VII
Mori,Shigefumi
Moon,Satzvon,® Turnier.
Moore,EliakimHastings,amerikanischerMathe-
matiker,geb.26.1.1862Marietta(Ohio,USA),gest.
30.12.1932Chicago.
Moore studierte bis 1883 an der Yale Univer-
sityinNewHavenundpromoviertedort1885.Es
folgten Studienreisen nach Göttingen und Berlin
zu Klein, Weierstraß und Kronecker. Nach seiner
Rückkehr arbeitete er an der Northwestern Uni-
versityundinYale.1892wurdeerProfessorander
neugegründetenUniversitätinChicago.
MooreführtedenBegriffMoore-Smith-Folgenals
verallgemeinerteFolgeneinundentwickeltedaraus
eineallgemeineTheoriederKonvergenz(Netzkon-
vergenz).DanebenbefaßteersichmitAlgebraund
Gruppentheorie. Von 1898 bis 1900 war er Vize-
präsidentderAmericanMathematicalSocietyund
versitätManchester,danachab1945anderUniver-
1901/02derenPräsident.
sitätCambridge.
Zu seinen bedeutendsten Schülern gehörten
Mordell war ein bedeutender Zahlentheoretiker.
Dickson,VeblenundBirkhoff.
Er studierte ®diophantische Gleichungen, insbe-
Moore-Automat,®endlicherAutomat.
sondereGleichungenderForm
Moore-Bellman-Ford,Algorithmusvon,liefertin
einem zusammenhängenden und bewerteten Gra- y2 = x3+k.
phenGohneKreisenegativerLängemiteinerKom-
plexität O(|E(G)||K(G)|) die kürzesten Wege von Er zeigte, daß diese Gleichung höchstens endlich
einerEckeuauszuallenübrigenEckendesGra- vieleganzzahligeLösungenbesitzt.Bekanntwurde
phen.DiesenAlgorithmusgewinntmandurcheine seineNamevorallemdurchdievonihmgeäußerte
ModifizierungdesAlgorithmus’vonDijkstra. ®MordellscheVermutung.
Moore-Penrose-Inverse, ein spezieller Typ von MordellscheVermutung,dievonLouisJoelMor-
Pseudo-InverseneinerMatrix. dellaufgestellteVermutung,daßaufalgebraischen
EsseiAeinereelle(m×n)-Matrix.Die(n×m)- KurvenmiteinemGeschlechtgrößeralsEinshöch-
MatrixBheißtMoore-Penrose-InversevonA,wenn stensendlichvielerationalePunkteliegen.
gilt: Sie konnte erst im Jahre 1983 durch Gerd Fal-
(i)ABA=AundBAB=B, tings bewiesen werden und stellt einen wichtigen
(ii)ABundBAsindsymmetrisch. SchrittzumBeweisder®FermatschenVermutung
Jede Moore-Penrose-Inverse ist eine Pseudo-In- dar.
verse,jedochnichtumgekehrt.EsgiltderSatz: Morera, Satz von, funktionentheoretische Aus-
Jedereelle(m×n)-MatrixAbesitzteineeindeutig sage,diewiefolgtlautet:
bestimmteMoore-Penrose-Inverse. Es sei G ⊂ C ein ®Gebiet und f: G → C eine
Mora-Algorithmus,AlgorithmuszurBerechnung inGstetigeFunktion.Weitergeltefürjedesabge-
vonStandardbaseneinesIdealsI inderLokalisie- schlosseneDreieck(cid:5)⊂G
rungeinesPolynomenringesnacheinemdurchdie (cid:2)
Ordnungdefiniertenmultiplikativabgeschlossenen f(z)dz = 0.
System.
∂(cid:5)
Es handelt sich um eine Verallgemeinerung des
®Buchberger-Algorithmus’ durch T.Mora für lo- Dannist f eineinG®holomorpheFunktion.
kale®Monomenordnungen(derBuchberger-Algo- Morgan,Augustus,®deMorgan,Augustus.
rithmus terminiert nur für Wohlordnungen). Da- Mori,Shigefumi,japanischerMathematiker,geb.
bei muß die im Buchberger-Algorithmus verwen- 23.2.1951Nagoya.
dete Normalform (®Normalform eines Polynoms) Mori,dessenElterneineHandelsgesellschaftlei-
geeignetmodifiziertwerden. teten, studierte bis 1975 an der UniversitätKyoto
Mordell,LouisJoel,amerikanisch-englischerMa- undpromoviertedort1978beiM.Nagata.1980er-
thematiker, geb. 28.1.1888 Philadelphia, gest. hieltereineDozentenstelle(Lecturer)anderUni-
12.3.1972Cambridge(England). versitätvonNagoya,1982eineAssistenz-Professur
MordellstudierteinPhiladelphiaundCambridge und 1988 eine Professur. In dieser Zeit weilte
undwurdedanachDozentamBirkbeckCollegein er oft als Gastprofessor in des USA, so 1977–80
London.1923bis1945warerProfessoranderUni- an der Harvard Universität in Cambridge (Mass.),
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G. Walz (Hrsg.), Lexikon der Mathematik: Band 4,
DOI 10.1007/978-3-662-53500-4_1
Morita-Äquivalenz
1981/82 am Institute for Advanced Study in Prin- der Dampfkraft für einfache technische Zwecke
ceton, 1985–87 an der Columbia Universität New (1685).
Yorkund1987-89,1991/92anderUniversitätvon Morphismenklasse, Menge von ®Morphismen,
UtahinSaltLakeCity.Seit1990hatereinePro- diedenselbenVoraussetzungengenügen.
fessuranderUniversitätKyotoinne. Morphismus, Abbildung zwischen Ringen, Mo-
MorierzieltebahnbrechendeResultatezurKlasi- duln oder anderen Objekten, auf denen Operatio-
fikationalgebraischerMannigfaltigkeitenundstieß nen definiert sind, die mit den entsprechenden
inFortsetzungdesWerkesvonCastelnouvo,Severi, Operationenverträglichsind.
Zariski,Kodairau.a.inneueBereichevor.Angeregt Ein Morphismus zwischen Moduln ist ein
durchdenErfolgbeimBeweisderHartshorneschen ®HomomorphismusvonModuln.EinMorphismus
Vermutung (1978), daß gewisse glatte vollstän- ϕ:R1→R2vonRingenmußϕ(x+y)=ϕ(x)+ϕ(y)
dige algebraische Mannigfaltigkeiten als projek- undϕ(x·y)=ϕ(x)·ϕ(y)erfüllen.Morphismenvon
tiveRäumebeschriebenwerdenkönnen,stellteer Vektorräumen sind lineare Abbildungen. Die Ab-
ein Programm zur vollständigen Klassifikation al- bildungx(cid:12)→ex vonCnachCistkeinMorphismus
ler dreidimensionalen algebraischen Mannigfaltig- des C–Vektorraumes C, sie definiert jedoch einen
keiten auf. Die von Mori im Beweis entwickelten Morphismus der additiven Gruppe C in die multi-
neuenTechnikenzurKonstruktionrationalerKur- plikativeGruppeC(cid:3){0}.
ven auf Mannigfaltigkeiten bildeten eine wichtige MorphismusvongeringtenRäumen,Verallgemei-
Basis für die Realisierung des Programms. 1981 nerung der Charakterisierung der holomorphen
gelangihmdievollständigeKlassifikationderFano- Abbildungen ϕ : X → Y zwischen Bereichen
Mannigfaltigkeiten.MitHilfedesBegriffsdernume- X⊂CnundY⊂CmmitHilfederLiftungholomor-
rischenEffektivitätfandereinMittel,umdiedrei- pherFunktionenϕ0: XO→YO, f (cid:12)→f◦ϕ|ϕ−1(W),
dimensionalenMannigfaltigkeiteninzweiGruppen W ⊂Y offen, f ∈ YO(W).
einzuteilen, die er dann jeweils in kleinere Klas- Ein Morphismus ϕ : (S,SA)(cid:3)→ (T,(cid:4)TA) von ge-
sen aufspalten konnte. Für all diese Klassen wies ringten Räumen ist ein Paar |ϕ|,ϕ0 , bestehend
er bis 1988 die Existenz eines minimalen Modells aus einer stetigen Abbildung |ϕ| : |S| → |T| und
nach und schloß damit nach über zehnjähriger einem|ϕ|-Komorphismusϕ0 : TA → SAvonAl-
Forschungstätigkeit die Klassifikation der dreidi- gebren, d.h. einer Familie von Algebrahomomor-
mensionalenMannigfaltigkeitenab.MitseinenMe- phismen
thoden eröffnete Mori zugleich Wege, um höher- (cid:5) (cid:3) (cid:4)(cid:6)
dimensionale Probleme in Angriff zu nehmen, die ϕ0:= ϕ0(V): TA(V)→ SA ϕ−1(V) ,
V⊂T
bisheralsvölligunzugänglicherschienen.
Mori wurden für seine Leistungen zahlreiche diemitdenEinschränkungeninTAundSAverträg-
Ehrungen zuteil, 1990 wurde er mit der ®Fields- lichist.DabeibezeichnetmanzurUnterscheidung
Medailleausgezeichnet. eines geringten Raumes S = (S,SA) von seinem
Morita-Äquivalenz, Äquivalenz von Kategorien zugrundeliegenden topologischen Raum den letz-
vonModuln. terenmit|S|.
Sei K ein Körper, seien A und B endlich-dimen- Für zwei Morphismen ϕ : S → T und ψ : T →
sionaleK–Algebrenundmod–Abzw.mod–BdieKa- U(cid:3) von geringten(cid:4)Räumen definiert man ψ ◦ϕ :=
tegorienderA–Modulnbzw.B–Moduln.Dannsind |ψ|◦|ϕ|,ϕ0◦ψ0 .Häufigschreibtman‘ϕ’anstelle
dieKategorienmod–Aundmod–Bäquivalentgenau von ‚|ϕ|‘, obwohl der Komorphismus ϕ0 i.a. nicht
dann,wenneinprojektiverA–ModulPexistiertmit durch(cid:3)|ϕ|bes(cid:4)timmtist.EsgiltderfolgendeSatz:
B=Hom (P,P).DabeiwirddieÄquivalenzdurch Ist |ϕ|,ϕ0 :S→TeinMorphismusvongering-
A
dieFunktorenF=HomA(P,−):mod–A→mod–B tenRäumen,undistSreduziert,dannistϕ0durch
und G =−⊗BP : mod–B → mod–A gegeben, d.h. |ϕ|bestimmt:ϕ0(f)= (Redf)◦|ϕ|für f ∈TA.
GF∼=Id undFG∼=Id . Dies führt zu der folgenden Standard-Termino-
mod–A mod–B
Morland, Samuel, englischer Mathematiker und logiefürreduziertegeringteRäumeSundT:Eine
Techniker,geb.1625SulhamsteadBannister(Eng- stetige Abbildung τ : |S| → |T| heißt Morphismus
land),gest.30.12.1695London. vongeringtenRäumenSundT,wenndas‚Urbild‘
MorlandstudierteinCambridge.Erwidmetesich f◦τ fürjedes f ∈ TAinSAliegt.
zunächstderPolitikundwarfürCromwellalsDi- Beispiele. 1. Ist ϕ : S → T eine stetige Abbil-
plomat tätig. Später unterstützte er die Restaura- dung von topologischen Räumen, und bezeichne
tionderMonarchie. ϕ0 die Liftung von Funktionen, dann ist (ϕ,ϕ0) :
Morland entwickelte zwei handgetriebene Re- (S,SC)→(T,TC)einMorphismus.
chenmaschinen(1662,1672,1673)undeinBaro- 2.FüreinenBereichX⊂Cn,bezeichnei(cid:3): XO(cid:4)→
meter. Er arbeitete außerdem zur Hydrostatik XC die kanonische Inklusion, dann ist idX,i :
und unternahm Experimente zur Anwendung (X,XC) → (X,XO) ein Morphismus. Dabei sei XO
2
Morse-Zerlegung
dieStrukturgarbevonXundXCdieGarbederste- mannschen Mannigfaltigkeit M in folgender Weise
tigenFunktionenaufX. zugeordnetwird:
Morphogenese, die Entwicklung eines Organis- λ ist gegeben durch die gewichtete Anzahl der
mus’,seinerOrganeundFunktionen,nachseinem Punkte γ(t) (0 < t < 1), die entlang γ zu γ(0)
genetischenProgrammunterdemEinflußderUm- konjugiertsind,wobeijederdieserPunktemitder
welt. Dimension des Raums derjenigen Jacobi-Felder
EinzelneAspektewieSegmentierungderArthro- entlangγ gewichtetwird,diebei0undtverschwin-
poden und Vertebraten, Anlage der Extremitäten, den.
die Bildung von Oberflächenformen (Säugetiere, Morse-Smale-System, ein Ck-Fluß (M,R,(cid:14))
Reptilien, Fische, Muscheln und Schnecken) sind bzw. ein von einem Ck-Diffeomorphismus f :
hierGegenstandmathematischerModellbildung. M → M erzeugtes diskretes dynamisches System
Morse, Harold Calvin Marston, amerikanischer (M,Z,(cid:14)) mit einer kompakten differenzierbaren
Mathematiker, geb. 24.3.1892 Waterville (Maine, n-dimensionalenMannigfaltigkeitM,wofürgilt:
USA), gest. 22.6.1977 Princeton (New Jersey, 1.EsgibtnurendlichvieleFixpunkteundgeschlos-
USA). seneOrbits,undsiesindallehyperbolisch.
Morsestudiertebis1914amColbyCollege.Nach 2.Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten schnei-
demKriegsdienstpromovierteer1917beiBirkhoff densichnurtransversal.
an der Harvard University in Massachusetts. Von 3.Die Menge der nichtwandernden Punkte von M
1920bis1925arbeiteteranderCornellUniversity bestehtnurausperiodischenPunkten,alsoFix-
inIthaca,von1925bis1926anderBrownUniver- punktenundperiodischenOrbits.
sity (Providence, Rhode Island) und von 1926 bis EinCk-Diffeomorphismus,dereindiskretesMorse-
1935 in Harvard. Ab 1935 war er am Institute for Smale-System induziert, bzw. ein Ck-Vektorfeld,
AdvancedStudyinPrincetontätig. daseinkontinuierlichesMorse-Smale-Systemindu-
ziert, heißt Morse-Smale-Diffeomorphismus bzw.
Morse-Smale-Vektorfeld.
Morse-Thue-Folge,zweiseitigeFolge{an}n∈Z mit
Wertenin{0,1}.
Für n ∈ N0 setzt man an gleich der Anzahl der
Einsen mod2inderbinärenEntwicklungvonn;
fürn∈Z−:={···,−2,−1}setztmanan=0.
DieBerechnungderWertederMorse-Thue-Folge
fürpositiveIndizeskannauchblockweiseerfolgen:
Man beginnt mit dem Block A0 := 0. Für jedes
n∈NwirddieGrößedesbisherigenBlocksAnver-
doppelt,indemdembisherigenAnderZiffernblock
¯
An angefügt wird, der aus An durch Vertauschen
von 0 und 1 entsteht Für A2 = (0,1,1,0) ist z.B.
A¯2=(1,0,0,1).DamitbeginntderpositiveTeilder
Morse-Thue-Folge mit (0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,
1,0,1,1,0,...).DieMorse-Thue-Folgeistnichtpe-
riodisch, aber fastperiodisch. Sie wird zur Kon-
struktionspeziellerBeispieledynamischerSysteme
Morse entwickelte anhand des Dreikörperpro- indersymbolischenDynamikverwendet.
blems die Variationsrechnung im Großen mit
[1]Kitchens,B.P.:SymbolicDynamics.SpringerBerlin,1997.
AnwendungeninderStabilitätstheoriedermathe-
matischenPhysik.SeinHerangehenbestandinder Morse-Zerlegung, endliches System {(cid:15)1,...,
Beschreibung einer Mannigfaltigkeit mittels ihrer (cid:15)n}paarweisedisjunkter,abgeschlossener,invari-
kritischen Punkte. Dieses Vorgehen ist Ausgangs-
anterTeilmengenvonGfürein®dynamischesSy-
punkt und wichtiges Hilfsmittel für viele Untersu- stem(M,G,(cid:14)),dasfolgendenBedingungengenügt:
chungeninderTopologie. (1)Fürjedesx∈Ggibtesi,jmiti≤jund
Seine wichtigsten Arbeiten sind „Functional to-
pology and abstract variational theory“ (1938), α(x)⊂(cid:15)j, ω(x)⊂(cid:15)i,
„Topologicalmethodsinthetheoryoffunctionsof wobeiα(x)bzw.ω(x)dieα-bzw.ω-Limesmenge
acomplexvariable“(1947)und„Lecturesonana- vonxbezeichnet.
lysisinthelarge“(1947). (2)Wenn α(x) ⊂ (cid:15)i und ω(x) ⊂ (cid:15)i, dann gilt
Morse-Index, ganze Zahl λ, die nach M. Morse x∈(cid:15)i.
einer Geodätischen γ : [0,1] → M auf einer Rie- FallsAein®Attraktorist,dannistA∗:=A\Ws(A)
3