Lexikon der Mathematik: Band 2: Eig bis Inn PDF
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Lexikon der Mathematik Band 2 Eig bis Inn Lexikon der Mathematik: Band 2 Guido Walz (Hrsg.) Lexikon der Mathematik: Band 2 Eig bis Inn 2. Auflage Herausgeber Guido Walz Mannheim, Deutschland ISBN 978-3-662-53503-5 ISBN 978-3-662-53504-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-662-53504-2 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detail- lierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum 1. Aufl.: © Spektrum Akademischer Verlag GmbH Heidelberg 2001 2. Aufl.: © Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Planung: Iris Ruhmann Redaktion: Prof. Dr. Guido Walz Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Germany Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany AutorinnenundAutorenim2.BanddesLexikonderMathematik Prof.Dr.SirMichealAtiyah,Edinburgh Prof.Dr.Hans-JochenBartels,Mannheim PDDr.MartinBordemann,Freiburg Dr.AndreaBreard,Paris Prof.Dr.MartinBrokate,München Prof.Dr.RainerBrück,Gießen Prof.Dr.H.ScottMcDonaldCoxeter,Toronto Dipl.-Ing.Hans-GertDänel,Pesterwitz Dr.UlrichDirks,Berlin Dr.JörgEisfeld,Gießen Prof.Dr.DieterH.Erle,Dortmund Prof.Dr.HeikeFaßbender,München Dr.AndreasFiller,Berlin Prof.Dr.RobertFittler,Berlin Prof.Dr.JoachimvonzurGathen,Paderborn PDDr.Ernst-GünterGiessmann,Berlin Dr.HubertGollek,Berlin Prof.Dr.BarbaraGrabowski,Saarbrücken Prof.Dr.AndreasGriewank,Dresden Dipl.-Math.HeikoGroßmann,Münster Prof.Dr.WolfgangHackbusch,Kiel Prof.Dr.K.P.Hadeler,Tübingen Prof.Dr.AdalbertHatvany,Kuchen Dr.ChristianeHelling,Berlin Prof.Dr.DieterHoffmann,Konstanz Prof.Dr.HeinzHolling,Münster Hans-JoachimIlgauds,Leipzig Dipl.-Math.AndreasJanßen,Stuttgart Dipl.-Phys.SabinaJeschke,Berlin Prof.Dr.HubertusJongen,Aachen Dr.GeraldKager,Berlin Prof.Dr.JosefKallrath,Ludwigshafen/Rh. 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Die Art der Alphabetisierung entspricht den gewohnten Standards, auf folgende Besonderheiten sei aber noch explizit hingewiesen: Umlaute werden zu ih- ren Stammlauten sortiert, so steht also das „ä“ in der Reihe des „a“ (nicht aber das „ae“!);entsprechendfindetman„ß“bei„ss“.GriechischeBuchstabenundSonderzei- chen werden entsprechend ihrer deutschen Transkription einsortiert. So findet man beispielsweise das α unter „alpha“. Ein Freizeichen („Blank“) wird nicht überlesen, sondern gilt als „Wortende“: So steht also beispielsweise „a priori“ vor „Abakus“. ImGegensatzdazuwerdenSonderzeicheninnerhalbderWorte,insbesonderederBin- destrich, „überlesen“, also bei der Alphabetisierung behandelt, als wären sie nicht vorhanden.Schließlichistnochzuerwähnen,daßExponentenebensowieIndizesbei derAlphabetisierungignoriertwerden. VII eigentlicheholomorpheAbbildung Eigenfunktion,LösungeinesEigenwertproblems ν ∈ N, z ∈ C, für die gilt: Es gibt ein z0 ∈ C und ineinemFunktionenraum. eineUmgebungU(z0)vonz0 so,daßjedevonder IstallgemeinV einVektorraumübereinemKör- Identität verschiedene Transformation aus G alle perKundT:V →VeinelineareAbbildung,sobe- PunktevonU(z0)aufPunkteaußerhalbvonU(z0) stehtdasEigenwertproblemdarin,Lösungenλ∈K abbildet. undx∈V derGleichungT(x)−λx=0zufinden. eigentlich orthogonal, Bezeichnung für eine or- DerVektorxheißtdannimallgemeinenEigenvek- thogonale Abbildung oder Matrix, deren Determi- torundderSkalarλheißtEigenwertvonT.Istnun nantedenWert+1hat. V ein Funktionenraum über R oder C, so spricht eigentliche Ähnlichkeitsabbildung, eine ®Ähn- man nicht mehr von Eigenvektoren, sondern von lichkeitsabbildung, deren Streckungsfaktor λ un- Eigenfunktionen der Abbildung T. Man vergleiche gleicheinsist. hierzuauch® EigenwerteinesOperators. eigentliche Divergenz, ®bestimmte Divergenz Ein wichtiges Gebiet, in dem Eigenfunktionen einerFolge,®bestimmteDivergenzeinerReihe. von Bedeutung sind, sind die Eigenwertprobleme eigentliche Gruppenoperation, Operation der beiDifferentialgleichungen.Darunterverstehtman Gruppe G auf der Varietät X so, daß die kanoni- Randwertprobleme, bei denen ein Eigenwertpara- scheAbbildung meter λ auftritt. Die Lösungen des Randwertpro- blems bei gegebenem Parameter λ heißen dann G×X→X×X, (g,x)(cid:9)→(g(x),x) dieEigenfunktionendesProblems.Istandererseits eigentlichist. eineIntegralgleichungderForm eigentlicheholomorpheAbbildung,wichtigerBe- (cid:2)b griffinderTheoriederU¨berlagerungen. y(x) = λ· K(x,t)y(t)dt EinlokalkompakterRaumisteinHausdorffraum, indemjederPunkteinekompakteUmgebungbe- a sitzt. Eine stetige Abbildung f : X → Y zwi- gegeben, so heißen die Zahlen λ, für die es von schenzweilokalkompaktenRa¨umenheißteigent- derNullfunktionverschiedeneLösungenyderGlei- lich,wenndasUrbildjederkompaktenMengekom- chunggibt,EigenwertederGleichung,währenddie paktist.Diesistz.B.stetserfu¨llt,wennXkompakt LösungenselbstdieEigenfunktionenderGleichung ist. Eine eigentliche Abbildung ist abgeschlossen, genanntwerden. d.h. das Bild jeder abgeschlossenen Menge ist ab- Eigenkreisfrequenz, Frequenz einer harmoni- geschlossen.Diesfolgtdaraus,daßineinemlokal- schenSchwingung. kompakten Raum eine Teilmenge genau dann ab- Wird ein Massenpunkt in eine harmonische geschlossen ist, wenn ihr Durchschnitt mit jeder Schwingungversetzt,sokannmandieAuslenkung kompaktenMengekompaktist. des Massenpunktes zum Zeitpunkt t beschreiben Wir nennen im folgenden einige zentrale Sätze durch die Funktion y(t) = A·sin(ωt+φ). Dabei übereigentlicheholomorpheAbbildungen. istAdie®AmplitudederSchwingung,ωheißtdie Satz1: KreisfrequenzderSchwingungundφdiePhaseder Es seien X und Y lokalkompakte Ra¨ume und Schwingung.DerWert 2ωπ wirddannalsEigenkreis- p : Y → X eine eigentliche U¨berlagerungsabbil- frequenzbezeichnet. dung.Danngilt: Eigenpaar, selten gebrauchte Bezeichnung für a)Fu¨r jeden Punkt x ∈ X ist die Menge p−1(x) einen Eigenwert und zugehörigen Eigenvektor endlich. einerMatrix. b)Sei x ∈ X und V eine Umgebung von p−1(x). Eigenraum,®Eigenwert. DannexistierteineUmgebungUvonxmit Eigenraum eines Operators, ® Eigenwert eines p−1(U) ⊂ V. Operators. c)Sei X zusammenha¨ngend und Y nicht leer. EigenschafteinerMenge,inder®axiomatischen Dannistpsurjektiv. Mengenlehre identisch mit einer mengentheoreti- Satz2: schenFormel,d.h.,jedemengentheoretischeFor- Es seien X und Y lokalkompakte Ra¨ume und melstellteineEigenschafteinerMengedar. p : Y → X eine eigentliche, unverzweigte U¨ber- Eigensystem,Mengealler®Eigenwertezueinem lagerungsabbildung. gegebenenEndomorphismusbzw.einergegebenen DannistpeineunbegrenzteU¨berlagerung. Matrix. Seien X und Y Riemannsche Fla¨chen und f : eigentlich diskontinuierliche Gruppe, Gruppe G X → Y eine eigentliche nicht konstante holomor- vongebrochenlinearenTransformationen phe Abbildung. Wegen der lokalen Gestalt holo- fν = acννzz++dbνν mguonrgpshpeurnAkbtebivldounnfgeanbgisetsdchieloMsseenngeuAnddedrisVkerreztw. Deia- © Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 1 G. Walz, Lexikon der Mathematik: Band 2, DOI 10.1007/978-3-662-53504-2_1 eigentlicheLösungeinerDifferentialgleichung f eigentlich ist, ist auch B := f(A) abgeschlossen wobeiν(f,zj)dieVielfachheitder®a-Stellezj be- unddiskret.MannenntBdieMengederkritischen zeichnet.ImFalla=∞istν(f,zj)durchdie®Pol- Wertevon f. stellenordnungvonzjzuersetzen.DieZahlkheißt SeiY(cid:11):=Y\Bund der Abbildungsgrad von f und wird mit k = degf X(cid:11) := X\f−1(B)⊂X\A. beiegzeenictlhicnheet.mMearnomscohrrpehibetAabubcihldufn:gGf1:−kG→:11→G2.GE2iniset alsoinsbesonderesurjektiv. Dannist f |X(cid:11)→Y(cid:11) eineeigentlicheunverzweigte EinigeBeispiele: holomorphe U¨berlagerung, besitzt also eine wohl- Essei bestimmteendlicheBla¨tterzahln(dieMa¨chtigkeit vco∈nYf(cid:11)−g1e(nca)u,cn-∈mYa(cid:11)l)a.nDgaesnboemdmeuetnetw,idradß. jederWert R(z)= QP((zz)) = bamnzznm++······++ab11zz++ab00 UmdieseAussageauchaufdiekritischenWerte b∈Bausdehnenzuko¨nnen,mu¨ssenwirdieViel- einerationaleFunktionmitteilerfremdenPolyno- fachheitm(cid:3)itbe(cid:4)ru¨cksichtigen.Fu¨rx∈Xbezeichnen menP,Qundan (cid:16)=0,bm (cid:16)=0.DannistReineei- wirmitv f,x dieVielfachheit,mitder fimPunkt gentlicheholomorpheAbbildungvon(cid:6)C auf(cid:6)C vom xdenWert f(x)annimmt.Wirsagen,daß f aufX Grad k = degR = max{m,n}. Dabei setzt man denWertc ∈ Y mitVielfachheitgerechnetm-mal R(z0) := ∞, falls z0 ∈ C eine Polstelle von R ist, annimmt,falls R(∞) := ∞, falls n > m, R(∞) := 0, falls n < m (cid:5) (cid:3) (cid:4) undR(∞):=an/bn,fallsn=m. m = v f,x . Eine®konformeAbbildungvonG1aufG2isteine x∈p−1(c) eigentlicheAbbildungvomGradEins. EineeigentlicheAbbildung f:G1→G2heißtun- MankannnunfolgendenSatz3formulieren: verzweigt, falls f keine ®kritischen Punkte in G1 Es seien X und Y Riemannsche Fla¨chen und besitzt,andernfallsheißtsieverzweigt. f : X → Y eine eigentliche, nicht-konstante holo- Zur äquivalenten Umformulierung des Begriffs morphe Abbildung. Dann gibt es eine natu¨rliche der eigentlichen Abbildung führt man folgende Zahlnso,daß f jedenWertc∈Y mitVielfachheit Redewendung ein. Eine meromorphe Funktion gerechnetn-malannimmt. f: G1 → G2 bildet Randfolgen in Randfolgen ab, KAuorfoellianreerhkieormaupsaksitnedn:Riemannschen Fla¨che X feailnlsζfü∈r je∂dGe1FdoilegeB(izldnf)oilngeG(1f(mznit))nl→aiml∞lezinhr=e ζHäfüur- hfa:tXje→dePn1icebhet-nksoonsvtiaelneteNumllesrtoemlleonrpwhiee PFoulnek(tmioint dfuiengFsoplugnek(tfe(zanu)f)∂nGic2hthkaot.nMvearngebnetascehitnemdaubße.iD,adnanß Vielfachheitgerechnet). sind folgende Eigenschaften für eine meromorphe Diesfolgtdaraus,daß f :X→P1eineeigentliche Funktion f:G1→G2 äquivalent: Abbildungist,sowie: (a)f isteineeigentlicheAbbildung. EinPolynom n-tenGerades f(z)=zn+a1zn−1+ (b)f bildetRandfolgeninRandfolgenab. ...+an ∈C[z]hatmitVielfachheitgerechnetge- (c)Das Urbild f−1(K) jeder kompakten Menge naunNullstellen. K⊂G2 istkompaktinG1. ManvergleicheauchdasengverwandteStichwort ManvergleicheauchdasengverwandteStichwort ®eigentlichemeromorpheAbbildung. ®eigentlicheholomorpheAbbildung. [1]Forster, O.: Riemannsche Flächen. Springer-Verlag Ber- eigentlicheRiemannscheGeometrie,dieTheorie lin/Heidelberg,1977. der ®Riemannsche Mannigfaltigkeiten, deren me- eigentliche Lösung einer Differentialgleichung, trischerFundamentaltensorpositivdefinitist. nichttriviale Lösung einer Differentialgleichung, Der Sprachgebrauch ist nicht einheitlich. Oft also eine solche Lösung y, die nicht y(x) = 0 für setzt man voraus, daß Riemannsche Mannigfaltig- alleximDefinitionsbereichvonyerfüllt. keitenvonvornhereineinenpositivdefinitenme- eigentlichemeromorpheAbbildung,eine®mero- trischenTensorhabenundnenntdieübrigenpseu- morpheFunktion f:G1 →G2 (wobeiG1,G2 ⊂C doriemannsch. ®Gebiete sind) mit folgender Eigenschaft: Es exi- Aus dem metrischen Fundamentaltensor wer- stiert eine Zahl k ∈ N derart, daß jedes a ∈ G2 dengeometrischeGrundgrößenabgeleitet,wiedie genaukUrbilderinG1 hat,wobeidieVielfachheit Bogenlänge,derWinkelzwischenzweiKurven,das zu berücksichtigen ist. Genauer bedeutet dies: Zu VolumeneinesGebietes,dieKrümmung,diedurch jedem a ∈ G2 gibt es (cid:11) ≤ k verschiedene Punkte denRiemannschenKrümmungstensorausgedrückt z1,...,z(cid:11)∈G1 mit f(zj)=afürj=1,...,(cid:11)und wird, und schließlich die Parallelübertragung von VektorenlängsKurvenundderBegriffdergeodäti- ν(f,z1)+···+ν(f,z(cid:11)) = k, schenLinie. 2 EigenwerteinesGraphen Es gibt viele Gemeinsamkeiten zwischen Rie- auch von Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum mannscherGeometrieundpseudoriemannscher. vonA.EsgiltindiesemFallalsodieBeziehung DergravierendsteUnterschiedbestehtdarin,daß inpseudoriemannschenMannigfaltigkeitengeome- Av = λv. trische Begriffe, die aus der Bogenlänge und der IstVendlich-dimensional,sosinddieEigenwerte inneren Metrik abzuleiten sind, nicht mehr in ge- von f geradedieNullstellendescharakteristischen wohnterWeisedefiniertwerdenkönnen.Beispiels- Polynoms von f sowie des Minimalpolynoms von weisewürdedieüblicheDefinitiondesWinkelszwi- f,wobeiimletzterenFalledieVielfachheitennicht schenzweiKurvenverlangen,daßdieLängender übereinstimmenmüssen. TangentialvektorenderKurvennichtNullsind. π DieEigenräumesindLösungsräumederhomoge- eigentlicherMorphismus,einMorphismusX→Y nenlinearenGleichungssysteme vonSchemataso,daßXalgebraischesY-Schemaist und für jeden Morphismus Y(cid:11) → Y der induzierte (A−λI)x = 0, Morphismus wobeiAeinedenEndomorphismus f repräsentie- X×YY(cid:11)=X(cid:11)→π(cid:11) Y(cid:11) rende Matrix darstellt (I bezeichnet die Einheits- matrix). abgeschlossen ist (d.h., daß abgeschlossene Teil- DieDimensiondesEigenraumeszumEigenwertλ mengenV(cid:11)⊂X(cid:11)stetswiederabgeschlosseneBilder desEndomorphismus fbzw.derrepräsentierenden haben). Matrix A auf dem n-dimensionalen Vektorraum V Beispielsweise sind projektive Morphismen über istgleich einemNoetherschenSchemaeigentlich. n−Rg(A−λI). eigentlicher Reinhardtscher Körper, ® Rein- hardtschesGebiet. Ein Endomorphismus f auf einem endlich- Eigenvektor,®Eigenwert. dimensionalen Vektorraum V kann genau dann Eigenvektor eines Operators, ® Eigenwert eines durch eine Diagonalmatrix repräsentiert werden, Operators. fallsV eineBasisausEigenvektorenzu f besitzt. Eigenvektoren als Basisvektoren, Eigenschaft Eine(n×n)-MatrixAistgenaudannzueinerDia- eines diagonalisierbaren Endomorphismus. Es sei gonalmatrixähnlich,wennAnlinearunabhängige V einendlichdimensionalerVektorraumüberdem Eigenvektorenbesitzt. Körper K und f : V → V ein Endomorphismus. Für weitere Information im Zusammenhang mit Dann ist f genau dann diagonalisierbar, wenn V Eigenwerten vergleiche man auch das Stichwort eineBasisausEigenvektorenvon f besitzt. ®Eigenwertgleichung. Eigenwert, einer der grundlegendsten und zen- Die Bezeichnung „Eigen“ ist auch im angloame- tralenBegriffeinnerhalbderLinearenAlgebra,wo- rikanischenSprachraumüblich,womanbeispiels- bei man hier in stillschweigender Übereinkunft weisevom„Eigenvalue“und„Eigenvector“spricht. den Begriff „Eigenwert“ als Synonym für „Eigen- werteinesEndomorphismusbzw.einerMatrix“be- [1]Fischer,G.:LineareAlgebra.VerlagViewegBraunschweig, nutzt. 1978. [2]Koecher,M.:LineareAlgebraundAnalytischeGeometrie. Als Eigenwert bezeichnet man einen Skalar λ ∈ K, für den bezüglich eines Endomorphismus ESipgreinngwere-rVterelaingeBrerIlinnt/Hegeirdaellgbelergic,h19u9n2g., eine Zahl λ, f auf einem ®Vektorraum V über dem Körper K fürdiedieIntegralgleichung gilt:EsexistierteinvonNullverschiedenerVektor v∈V,sodaß (cid:2)b y(x) = λ K(x,t)·y(t)dt f(v) = λv. a JederderartigeVektorheißtEigenvektorvon fzum vonNullverschiedeneLösungenbesitzt.Hierbeiist Eigenwertλ. K(x,t) eine vorgegebene Kernfunktion, daher be- Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten zeichnetmandieLösungenλderobigenGleichung sindlinearunabhängig. manchmalauchalsEigenwertedesKernsK. Die Menge aller Eigenvektoren eines Vektorrau- EigenwerteinesGraphen,Bezeichnungfüreinen meszueinemEigenwertλergänztumdenNullvek- Eigenwert der Adjazenzmatrix eines Graphen torwirdalsEigenraumvonλbezeichnet;dieEigen- (®Eigenwert). räume sind stets Untervektorräume von V. Wird Es sei G ein ®Graph und AG = ((aij)) seine der Endomorphismus f bezüglich einer Basis von Adjazenzmatrix. Ist der Graph G von der Ord- V durchdieMatrixArepräsentiert,sosprichtman nung n, so ist AG = ((aij)) eine symmetrische 3
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