Leseprobe zu Kurs 01320: Algebra und ihre Anwendungen

50 Pages·2017·1.08 MB·German

Dr. Silke Hartlieb, Prof. Dr. Luise Unger
Kurs 01320
Algebra und ihre Anwendungen
LESEPROBE
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Inhaltsverzeichnis
1 Kurseinheit 1 7
1 Die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme 13
1.1 Konstruierbare Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Drei klassische Konstruktionsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1 Das Deli’sche Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2 Die Quadratur des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.3 Die Dreiteilung von beliebigen Winkeln . . . . . . . . . . . . 24
1.2.4 Über Winkeldreiteiler und Kreisquadriererinnen . . . . . . . 24
1.3 Der Hauptsatz über konstruierbare Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 Unterkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.2 Quadratische Erweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3 Eine algebraische Charakterisierung konstruierbarer Zahlen . 30
1.4 Die Lösung der klassischen Konstruktionsprobleme . . . . . . . . . 37
1.4.1 Das Deli’sche Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.2 Die Quadratur des Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.3 Die Dreiteilung beliebiger Winkel . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Polynome und ihre Nullstellen 51
2.1 Polynom-Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2 Einfache und mehrfache Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Nullstellen von Polynomen über C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1 Der Hauptsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.2 Nullstellen in Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2 Kurseinheit 2 69
3 Körpererweiterungen 75
3.1 Der Grad einer Körpererweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.1 Kleinste Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1
2 INHALTSVERZEICHNIS
3.1.2 Erweiterungskörper als Vektorräume . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.3 Der Gradsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Endliche Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.1 Das Minimalpolynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.2 Das Eisenstein-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.3 Eine Charakterisierung endlicher Körpererweiterungen . . . 92
3.2.4 Der Satz vom primitiven Element . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.5 Die Konstruktionsprobleme im neuen Licht . . . . . . . . . . 97
3.3 Algebraische Körpererweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.1 Definition und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3.2 Der Körper der algebraischen Zahlen . . . . . . . . . . . . . 99
3.3.3 Algebraisch abgeschlossene Körper . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.4 Der algebraische Abschluss von Q . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 Konstruktion regelmäßiger n-Ecke 111
4.1 Geometrie komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2 Konstruierbare komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3 Komplexe n-te Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.1 Definition und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3.2 Die Kreisteilungspolynome in C[T] . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4 Das Konstruierbarkeitskriterium von Gauß . . . . . . . . . . . . . . 131
3 Kurseinheit 3 137
5 Gruppen 141
5.1 Gruppen und Homomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.1.1 Notationen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.1.2 Produkte von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.1.3 Gruppenhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2 Untergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2.1 Beispiele und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2.2 Der Satz von Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.2.3 Der Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.3 Normalteiler und Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3.1 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3.2 Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.3.3 Die Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.4 Die Klassengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.5 Zyklische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.5.1 Klassifikation zyklischer Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . 167
INHALTSVERZEICHNIS 3
5.5.2 Untergruppen zyklischer Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.5.3 Produkte zyklischer Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.5.4 Endliche Untergruppen von K× . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6 Ringe und ihre Ideale 183
6.1 Beispiele für Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.1.1 Integritätsbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.1.2 Die Hamilton’schen Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.1.3 Unterringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.1.4 Der Satz von Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.2 Ideale und Faktorringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.2.1 Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.2.2 Faktorringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.2.3 Ideale in kommutativen Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.3 Ringhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.3.2 Die Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.3.3 Der Primring eines Ringes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.3.4 Der Primkörper eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4 Kurseinheit 4 213
7 Zerfällungskörper und algebraischer Abschluss 217
7.1 Konstruktion von Erweiterungskörpern . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.1.1 Körperhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.1.2 Der Satz von Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.2 Zerfällungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.2.1 Fortsetzungen von Körperisomorphismen . . . . . . . . . . . 220
7.2.2 Existenz von Zerfällungskörpern . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.2.3 Eindeutigkeit von Zerfällungskörpern . . . . . . . . . . . . . 225
7.3 Der algebraische Abschluss eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.3.1 Ein Exkurs über Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.3.2 Das Zorn’sche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.3.3 Existenz eines algebraischen Abschlusses . . . . . . . . . . . 232
7.3.4 Eindeutigkeit des algebraischen Abschlusses . . . . . . . . . 232
8 Endliche Körper 239
8.1 Klassifikation der endlichen Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.1.1 Was wir bereits wissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.1.2 Die Körper F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
q
4 INHALTSVERZEICHNIS
8.1.3 Unterkörper endlicher Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
8.1.4 Nullstellen irreduzibler Polynome . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.1.5 F -Konjugierte und F -Automorphismen . . . . . . . . . . . 247
q q
8.2 Endliche Körper als Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.2.1 Die Spur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.2.2 Die Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.2.3 Einschub: Zyklische Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
8.2.4 Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.2.5 Einschub: Zirkulante Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
8.2.6 Zirkulante Matrizen und Normalbasen . . . . . . . . . . . . 269
8.3 Noch einmal Einheitswurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
8.4 Darstellungen von Körperelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5 Kurseinheit 5 291
9 Polynome über endlichen Körpern 295
9.1 Faktorisierung von Polynomen über endlichen Körpern . . . . . . . 295
9.1.1 Quadratfreie Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
9.1.2 Verschiedengradige Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . 300
9.1.3 Gleichgradige Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
9.1.4 Anwendung: Nullstellen von Polynomen über endlichen Kör-
pern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
9.2 Irreduzible Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
9.2.1 Einschub: Möbius-Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9.2.2 Die Anzahl der normierten, irreduziblen Polynome eines fes-
ten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
9.3 Primitive Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6 Kurseinheit 6 341
10 Codierungstheorie 345
10.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.1.1 Erste Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 345
10.1.2 Codes als abelsche Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
10.1.3 Perfekte Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
10.1.4 Die Singleton-Schranke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
10.2 Lineare Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
10.2.1 Die Minimaldistanz eines linearen Codes . . . . . . . . . . . 357
10.2.2 Generator- und Kontrollmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . 358
INHALTSVERZEICHNIS 5
10.2.3 Decodieren linearer Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
10.2.4 Kontrollmatrix und Minimaldistanz . . . . . . . . . . . . . . 361
10.2.5 Hammingcodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
10.3 Zyklische Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.3.1 Zyklische Codes als Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.3.2 Generator- und Kontrollpolynom . . . . . . . . . . . . . . . 368
10.3.3 Zyklische Hammingcodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
10.3.4 Codes und Idempotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
10.3.5 Minimale Ideale, primitive Codes und primitive Idempotente 374
10.4 BCH-Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
10.4.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
10.4.2 Die Minimaldistanz eines BCH-Codes . . . . . . . . . . . . . 384
10.4.3 Decodieren von BCH-Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
7 Kurseinheit 7 403
11 Polynome in mehreren Variablen 409
11.1 Allgemeine Polynomringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
11.1.1 Polynomringe R[T] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
11.1.2 Polynomringe R[T ,...,T ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
1 n
11.2 Ideale in Polynomringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
11.2.1 Der Hilbert’sche Basissatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
11.2.2 Einige Fragen in der algebraischen Geometrie . . . . . . . . 417
11.2.3 Monomideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
11.3 Division mit Rest in K[T ,...,T ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
1 n
11.3.1 Monomordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
11.3.2 Ein Divisionsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
11.4 Gröbnerbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
11.4.1 Existenz und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 433
11.4.2 Das Buchberger-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
11.4.3 Der Buchberger-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
11.4.4 Reduzierte Gröbnerbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
11.5 Ideale und Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
11.5.1 Von Idealen zu Varietäten und zurück . . . . . . . . . . . . . 446
11.5.2 Die Nullstellensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
11.5.3 Die Ideal-Varietäten-Korrespondenz . . . . . . . . . . . . . . 456
11.6 Endliche Ringerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
11.6.1 Zwei Endlichkeitsbedingungen für Ringe . . . . . . . . . . . 460
11.6.2 Ganze Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
11.6.3 Noch ein Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
6 INHALTSVERZEICHNIS
11.6.4 Der Beweis des Schwachen Nullstellensatzes . . . . . . . . . 466
Anhang 479
Studierhinweise
Bevor es losgeht, möchten wir kurz vorstellen, worum es im Kurs „Algebra und
ihre Anwendungen“ geht. Dazu wiederholen wir zunächst, was wir zu dem Begriff
„Algebra“imerstenMathematikkursderFakultätfürMathematikundInformatik,
dem Kurs „Mathematische Grundlagen“ bereits berichtet haben.
Das Wort Algebra entstand aus dem Titel eines arabischen Werks, dessen Ver-
fasser, Muhammed ibn Musa Alchwarizmi, im ersten Viertel des 9. Jahrhunderts
unserer Zeitrechnung gelebt hat. Aus dem Namen Alchwarizmi leitet sich der in
der Informatik und Mathematik übliche Begriff des „Algorithmus“ her. Sie se-
hen Alchwarizmi hier auf einer sowjetischen Briefmarke, die 1983 zu Ehren seines
1200-jährigen Geburtstags herausgegeben wurde.
Der Titel des Werkes lautete:„Aldschebr walmukabala“. Dabei bedeutet „dschebr“
Wiederherstellung und „mukabala“ Gegenüberstellung, und die Bedeutung dieser
WorteistnachdemMathematikhistorikerMoritzCantor(1829–1920)diefolgende:
„Wiederherstellungistgenannt,wenneineGleichungderartgeordnetwird,dassauf
beiden Seiten des Gleichheitszeichens nur positive Glieder sich finden; Gegenüber-
stellung sodann, wenn Glieder gleicher Natur nach vollzogener Gegenüberstellung
nur noch auf der einen Seite vorkommen, wo sie eben im Überschusse vorhanden
waren.“
9
10 Studierhinweise zu Kurseinheit 1
Der Name des Gebietes Algebra verweist also auf die Kunst, Gleichungen zu lösen.
Algebra ist mithin die mathematische Wissenschaft, die sich mit dem Lösen von
Gleichungen beschäftigt.
Natürlich müssen wir spezifizieren, um welche Art von Gleichungen es eigentlich
geht.EsgibtinderMathematikdieverschiedenstenFormenvonGleichungen,etwa
Differentialgleichungen,Integralgleichungen,Funktionalgleichungenundebenauch
algebraischeGleichungen.EinetypischealgebraischeGleichungistzumBeispieldie
Polynomgleichung
x3 −5x2 +11x−6 = 0,
und man fragt sich etwa, für welche Werte von x diese Gleichung eine Lösung
besitzt und wie viele Lösungen es gibt. In Analogie zur Linearen Algebra, wo man
die Lösungsmengen von Systemen spezieller algebraischer Gleichungen (nämlich
linearer Gleichungen) untersucht, gibt es auch Teilgebiete der Algebra, die sich
mit der Struktur der Lösungsmengen von Systemen nicht linearer, algebraischer
Gleichungen in mehreren Unbestimmten beschäftigen.
Kommen wir nun zum zweiten Teil des Kurstitels: Anwendungen der Algebra.
Es ist irgendwie klar, dass eine Wissenschaft, die sich das Lösen von Gleichun-
gen auf die Fahnen schreibt, viele Anwendungen haben wird, und dieses Gefühl
täuscht nicht. Viele Teilgebiete der Mathematik tragen den Begriff „Algebra“ be-
reits in ihrem Titel. Die Algebraische Zahlentheorie untersucht zahlentheoretische
Probleme mit algebraischen Mitteln. Sie grenzt sich damit von der Elementaren,
der Analytischen und der Algorithmischen Zahlentheorie ab. Zum Thema Alge-
braische Zahlentheorie werden Sie in diesem Kurs nichts finden. Die Algebraische
Geometrie untersucht die Lösungsmengen von Systemen nicht linearer algebrai-
scher Gleichungen in mehreren Unbestimmten. Sie verwendet dabei Methoden der
sogenanntenkommutativenAlgebra.WirwerdenindieAnfängederAlgebraischen
Geometrie beziehungsweise der kommutativen Algebra in Kurseinheit 7 einführen.
In der Computeralgebra geht es darum, Algorithmen zu entwickeln, die in vertret-
barem Zeitaufwand Lösungen von (wie auch immer gearteten) Gleichungen finden.
Anders als in der Numerik, wo versucht wird, gute Näherungslösungen zu finden,
sind in der Computeralgebra exakte Lösungen gefordert. Die Computeralgebra
ist in den letzten 20 Jahren zu einem riesigen Forschungsgebiet der Mathematik
und Informatik geworden und in diesem Kurs können wir bestenfalls Teilaspekte
vorstellen. Wir haben uns dafür entschieden, den Schwerpunkt auf endliche Kör-
per beziehungsweise Polynomringe über endlichen Körpern zu legen, da diese in
praktischen Anwendungen immer wieder benötigt werden. Im zweiten Teil von
Kurseinheit 4 und in Kurseinheit 5 konzentrieren wir uns auf diese Themen – in
den Kurseinheiten 2 und 3 stellen wir die mathematischen Grundlagen dafür zur
Verfügung.