Les QCM de la prépa, Maths MPSI-PTSI-PCSI-BCPST 1re année PDF
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Q M les C de la prépa MathUnseapprochedifférente pourréussirsaPrépa M P S I e P C S I é n P T S I n BCPST a e CollectiondirigéeparLaurentDesmottes r Professeurenclassespréparatoires è MartineArous-Latanicki i m Professeurenclassespréparatoires e r P Composition:IndoLogic Maquetteintérieure:NicolasPiroux Maquettedecouverture:NicolasPiroux www.hachette-education.com ©HACHETTELIVRE2010,43quaideGrenelle75905ParisCedex15 ISBN:978-2-01-181240-7 Tousdroitsdetraduction,dereproductionet d’adaptationréservéspourtouspays. LeCodedelapropriétéintellectuellen’autorisant, auxtermesdesarticlesL.122–4etL.122–5,d’une part,queles«copiesoureproductionsstrictement réservéesàl’usageprivéducopisteetnondestinées àuneutilisationcollective»,et,d’autrepart,que «lesanalysesetlescourtescitations»dansunbut d’exempleetd’illustration,«toutereprésentation oureproductionintégraleoupartielle,faitesansle consentementdel’auteuroudesesayantsdroitou ayantscause,estillicite». Cettereprésentationoureproduction,parquelque procédéquecesoit,sansautorisationdel’éditeur ouduCentrefrançaisdel’exploitationdudroitde copie(20,ruedesGrands-Augustins75006Paris), constitueraitdoncunecontrefaçonsanctionnéeparles articles425etsuivantsduCodepénal. Introduction Cet ouvrage s’adresse à tous les étudiants en 1ère année d’études supérieures scientifiques (classes préparatoires et 1er cycle universitaire) désirant tester l’outil QCM.Ilsendécouvrirontlesnombreusesvertus. • Parleurcaractèreludique,lesQCMsontuneinvitationpermanenteàtravailler, etàlefaireavecenthousiasme. • Séparésenblocsindépendants,lesQCMseprêtentparticulièrementàdesséquen- cesdetravaildecourtedurée(½heureparexemple),propicesàuneconcentration etuneefficacitémaximales. • N’exigeant pas de rédaction, les QCM renvoient néanmoins à la nécessité de rédigerconvenablementunbrouillonpouraboutiràlasolutionexacte. • LesQCMconfrontentimmédiatementl’étudiantàuneévaluationsansconcession. Il n’y a pas de réussite approximative, aucune possibilité de biaiser : c’est bon ou c’estfaux! • Les QCM, qui ne sont faciles qu’en apparence, renvoient aux fondamentaux des programmes, à la difficulté qu’il y a finalement à maîtriser parfaitement des questionsdebase,etàlanécessitéderetravaillerconstammentcesincontourna- bles.LesQCMontlavertudesecouerlecocotier. • LesQCMpoussentfinalementl’étudiantàseremettreencausedanssespratiques, et à s’interroger sur la qualité, le plaisir et la gestion du temps, qui sont les véritablescritèresdelaréussiteauxconcours. Unegrandepartiedessujetsproposésdanscetouvragereprennent,enlesadaptant, les annales des concours de recrutement de l’École Nationale de l’Aviation Civile (ENAC) : concours EPL (Élèves Pilotes de Ligne) et concours ICNA (Ingénieurs du ContrôledelaNavigationAérienne). LesquestionsontétéregroupéesenQCMde3ou4questions,etclasséesenquatorze chapitres thématiques, ce qui permet une utilisation régulière de l’ouvrage tout au longdel’année,àmesuredel’avancéeduprogramme. Chaquequestionpropose4possibilitésderéponse:A,B,CouD. Chaque question comporte exactement zéro, une ou deux réponse(s) exacte(s). Àchaquequestion,lecandidatadonclechoixentre: •sélectionnerlaseuleréponsequ’iljugebonneparmi A,B,CouD; •sélectionnerlesdeuxseulesréponsesqu’iljugebonnesparmi A,B,CouD; •considérerqu’aucunedesréponsesproposéesn’estbonne. 3 sommaire Introduction 3 Chapitre 1 : Complexes 7 énoncés ccoorrrriiggééss •QCM1:Relationstrigonométriques 8 1155 •QCM2:Transformationduplancomplexe 10 1199 •QCM3:Interprétationgéométrique 12 2233 •QCM4:Équationscomplexes 14 2277 Chapitre 2 : Fonctions usuelles 2299 •QCM1:Fonctionexponentielle 30 3366 •QCM2:Fonctionstrigonométriques réciproques 31 3399 •QCM3:Calculd’unesomme 32 4422 •QCM4:Fonctionsarg 33 4455 •QCM5:Fonctiondéfinieparmorceaux 34 4466 Chapitre 3 : Équations différentielles 4499 •QCM1:Équationlinéairedu1erordre 50 5566 •QCM2:Raccordement 51 5599 •QCM3:Équationlinéairedu2ndordre 53 6622 •QCM4:Changementdevariable 54 6666 Chapitre 4 : Géométrie du plan et de l’espace– Courbes – Coniques 6699 •QCM1:Courbesparamétrées 70 7788 •QCM2:Autourdelacardioïde 72 8833 •QCM3:Inversed’unecourbe 74 8877 •QCM4:Géométriedel’espaceetconiques 76 9911 Chapitre 5 : Applications – Structures --- 9955 •QCM1:Injections–surjections-bijections 96 110033 •QCM2:Dénombrement 97 110066 •QCM3:Groupesetmorphismes 99 110077 •QCM4:Anneaux–Corps-Arithmétique 100 111111 4 Chapitre 6 : Suites réelles et complexes 111155 énoncés ccoorrrriiggééss •QCM1:Suiterécurrente 116 112233 •QCM2:Relationdecomparaison 117 112266 •QCM3:Suitesproduits 119 113300 •QCM4:Bornesinférieureetsupérieure 121 113333 Chapitre 7 : Limites – Continuité – Dérivation 113355 •QCM1:Limitesetcontinuitésurunintervalle 136 114422 •QCM2:Dérivéesnèmesetprolongement defonctions 137 114455 •QCM3:Accroissementsfinis 139 114499 •QCM4:Convexité 140 115511 Chapitre 8 : Espaces vectoriels 115555 •QCM1:Sous-espacesvectoriels 156 116633 •QCM2:Applicationslinéaires–Noyau etimage 157 116677 •QCM3:EndomorphismedeC∞(,) 159 117700 •QCM4:Endomorphismessolutionsd’uneéquation 161 117733 Chapitre 9 : Polynômes et fractions rationnelles 117777 •QCM1:Degréetracines 178 118833 •QCM2:Polynômesscindés 179 118877 •QCM3:PolynômesdeTchebychev 180 119900 •QCM4:Espacesvectorielsetpolynômes 182 119944 Chapitre 10 : Matrices – Déterminants – Systèmes 119977 •QCM1:Ensembledematrices–Calculdepuissances 198 220055 •QCM2:Matricesnilpotentes–Changementdebase 200 220088 •QCM3:Résolutiond’unsystème 202 221111 •QCM4:Matriced’unendomorphisme 203 221144 5 sommaire CChhaappiittrree 1111 :: DDéévveellooppppeemmeennttss lliimmiittééss 221177 énoncés ccoorrrriiggééss •QCM1:Prolongementparcontinuité, branchesinfinies 218 222255 •QCM2:Dérivabilitéetéquationdifférentielle 220 222299 •QCM3:Courbeparamétrée 221 223322 •QCM4:FormuledeTaylor-Young 223 223366 Chapitre 12 : Intégration 223399 •QCM1:Existenceetpropriétésdel’intégrale 240 224488 •QCM2:Intégraledépendantd’unparamètre 242 225522 •QCM3:Intégrationetalgèbrelinéaire 244 225555 •QCM4:Fonctiondéfinieparuneintégrale 245 225588 Chapitre 13 : Fonctions deux variables – Intégralesdoubles – Étude métrique des courbes 226611 •QCM1:FonctionCn-Extremum 262 226699 •QCM2:Équationauxdérivéesd’ordre2 263 227733 •QCM3:Aires–Intégralesdoubles 265 227777 •QCM4:Étudemétriquedescourbes 266 228800 Chapitre 14 : Espaces vectoriels euclidiens – Transformationsdu plan et de l’espace 228833 •QCM1:Produitscalaireetpolynômes orthogonaux 284 229911 •QCM2:AutomorphismesorthogonauxdeE 286 229955 •QCM3:Isométriesetsimilitudesduplan 287 229999 •QCM4:Isométriesdel’espace 288 330011 6 chapitre 1 Complexes énoncés ccoorrrriiggééss • QCM 1 : Relations trigonométriques 8 1155 • QCM 2 : Application du plan complexe 10 1199 • QCM 3 : Interprétation géométrique 12 2233 • QCM 4 : Équations complexes 14 2277 7 énoncés > QCM 1 Relations trigonométriques (d’après EPL 2008) • Question 1 Parmilesassertionssuivantes,lesquellessontvraies? A ∀∀∀θθθθθθθθθθθ∈∈∈ : cossss(((((((((5555θθθθθθθθθθθ)===================1166ccoossssss5555θθθθθθθθθθθθθθ+++++++++++++++++++5555ccccccosθθθθθθθθθθθθθθ B ∀∀∀θθθθθθθθθθθ∈∈∈ : cossss(((((((((5555θθθθθθθθθθθ)===========1166ccoossssssss555555555555θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ−−−−−−−−−−−222222222000000000ccccccccooss333333333333θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+5cosθ π 5555+ 5555 C cos = 10 8 πππππππππππππππππππππππ 555555− 555555 πππππππππππππππππππππππ π D cossssssssssssssssssssssssssssssssssssss = car ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccos ≤cos 10 8888888 11111110000000000000 3333333333333 • Question 2 (d’aprèsEPL2008) n n Soitn∈*.Onchercheàrésoudre ∑ cos(2kθ)=0 oùθestuneinconnue k réelle. k=1 n n A Siθestsolution,alors ∑ sin2((((kkθ))))=2n. k k=1 B ∑n nk cossssssssss(((((((((((((((((((222kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkθθθθθθθθθθ)))))))))))))))))))===ccccccccccooss((((((nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnθθθθθθθθθθ)co2sθn k=1 πππ kkπππ πππππππ C L’ensembledessolutionsest +++++++ ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk∈∈∈∈∈∈∈∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkππππππππ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, kkk∈∈. n n 22 D Iln’yapasdesolutionàcetteéquation. 8
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