Les pré-(a,b)-algèbres à homotopie près

29 Pages·2017·0.64 MB·French

by  Walid Aloulou

Les pré-(a,b)-algèbres à homotopie près
Walid Aloulou
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Walid Aloulou. Les pré-(a,b)-algèbres à homotopie près. 2012. ￿hal-00711338￿
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LES PRÉ-(a,b)-ALGÈBRES À HOMOTOPIE PRÈS
WALIDALOULOU
RÉSUMÉ. Danscetarticleonétudieleconceptd’algèbreàhomotopieprèspourunestruc-
turedéfiniepardeuxopérationsfet♦.Desexemplesimportantsd’unetellestructuresont
ceux des algèbrespré-Gerstenhaberet pré-Poisson.Etantdonnéeune structured’algèbre
pré-commutative et pré-Lie graduée pour deux décalages des degrés donnés par a et b,
on définit la structure d’une pré-(a,b)-algèbreet on donne une construction explicite de
l’algèbreàhomotopieprèsassociée.
Abstract.
Westudyinthisarticletheconceptofalgebrauptohomotopyforastructuredefinedbytwoope-
rationsfand♦.Importantexamplesofsuchstructurearethoseofpre-Gerstenhaberandpre-Poisson
algebras.
Givena structureofpre-commutativeandpre-Liealgebrafortwo shiftsof degreegivenby a and
b,wedefinethestructureofapre-(a,b)-algebraandwegiveanexplicitconstructionoftheassociated
algebrauptohomotopy
1. INTRODUCTION
Soit A une algèbre munie d’une opération m (m est associative, ou commutative, ou
Lie...). On dira juste que A est une P-algèbre ou une algèbre d’opérade P (P est Ass ou
Com ou Lie...). Dans beaucoup de cas, on sait définir la notion d’algèbre d’opérade P
à homotopie près de A. Précisément, si A est une P-algèbre, on lui associe canonique-
ment une cogèbre graduée C(A),∆ . Une structure de P-algèbre à homotopie près sur
A est équivalenteà la donné(cid:0)e d’une c(cid:1)odérivationQ : C(A),∆ −→ C(A),∆ de degré
1 et de carré nul (c’est à dire que Q est une codiffére(cid:0)ntielle). L(cid:1)a cogè(cid:0)bre codif(cid:1)férentielle
C(A),∆,Q est appelée la P-algèbre à homotopie près de A. Cette algèbre donne natu-
r(cid:0)ellementles(cid:1)complexesd’homologieetdecohomologieassociésàcetyped’algèbrepour
A et ses modules (voir [AAC], [C]). Par exemple, si A est une Lie-algèbre, alors on sait
construire l’algèbre de Lie à homotopieprès associée et retrouver l’homologieet la coho-
mologiedeChevalley-Eilenberg(des algèbres deLie).
Lorsque A possède deux opérations avec des relations de compatibilité,la construction
de l’algèbre à homotopie près enveloppante correpondante est plus difficile. On peut citer
Date:23/06/2012.
2000MathematicsSubjectClassification. 16A03,16W30,16E45.
Keywordsandphrases. Algèbreàhomotopieprès,cogèbres,algèbresdifférentiellesgraduées.
1
2 WALIDALOULOU
danscecadreles(a,b)-algèbres(voir[A]).Enparticulierune(0,0)-algèbreestunealgèbre
dePoissongraduée et une(0,−1)-algèbreest unealgèbredeGerstenhaber.
Un autre exemple d’algèbre à deux opérations est l’algèbre pré-Gerstenhaber à droite
(G,f,♦)définiedans [AAC2]par:
– (G,f)est unealgèbredeZinbielàdroitegraduée, |f| = 0.
– (G[1],♦) estunealgèbrepré-Lieàdroitegraduée, |♦| = −1.
– Lesrelationsdecompatibilitéentref et ♦sont:
αf(β♦γ) = (−1)(|β|−1)(|γ|−1)αf(γ♦β)
α♦(β fγ) = (α♦β)fγ
(α♦β)fγ = (−1)(|β|−1)|γ|(αfγ)♦β.
Rappelons qu’une algèbre pré-Lie est un espace vectoriel V muni d’une loi ♦ telle que
sonantisymétriséeestuneloid’algèbredeLie.Ilexistedoncunenotiond’algèbrepré-Lie
à homotopieprès ([ChL]). De même, une algèbre pré-commutative, appelée aussi algèbre
de Zinbiel est équippée d’un produit f, dont le symétrisé est associatif et commutatif. Il
existedoncunenotiond’algèbredeZinbielàhomotopieprès ([Liv]).
Remarquons que si (G,f,♦) est une algèbre pré-Gerstenhaber, alors si on symétrise f
eton antisymétrise♦, on obtientunealgèbredeGerstenhaber.
Le présent travail consiste à unifier les constructions d’algèbre à homotopie près dans
les cas des algèbres pré-Poisson et des algèbres pré-Gerstenhaber, ce qui nous permet de
définir la structure d’une pré-(a,b)-algèbre à homotopie près. Disons qu’une pré-(a,b)-
algèbreestunespacevectorielgraduéAmunidedeuxproduitsfdedegréa ∈ Z(|f| = a)
et ♦ de degré b ∈ Z (|♦| = b) tel que A[−a],f est une algèbre de Zinbiel graduée et
A[−b],♦ est une algèbre pré-Lie grad(cid:0)uée. Ces d(cid:1)eux produits vérifient des relations de
c(cid:0)ompatibil(cid:1)itéentreeux données par:
αf(β♦γ) = (−1)(|β|+b)(|γ|+b)αf(γ♦β)
α♦(β fγ) = (α♦β)fγ
(α♦β)fγ = (−1)(|β|+b)(|γ|+a)(αfγ)♦β.
Sionpose[α,β] = α♦β−(−1)(|α|+b)(|β|+b)β♦αetα.β = αfβ+(−1)(|α|+a)(|β|+a)βfα,
onobtientque(A,.,[ , ]) est une(a,b)-algèbre.
Dans le cas où a = 0 et b = −1, on retrouve les algèbres pré-Gerstenhaber et dans le
cas où a = b = 0, on trouve une algèbre qu’il est naturel d’appeler algèbre pré-Poisson
graduées.
LESPRÉ-(a,b)-ALGÈBRES 3
2. GÉNÉRALITÉS
Soit V = V un espace vectoriel Z gradué. Le degré d’un élément homogène x
n∈Z n
dansV estnoLté|x|.OnnoteraT+(V)l’espace n>0 nV,graduépar|x1⊗···⊗xn| =
|x1|+···+|xn|. L N
Définition2.1.
1)UnealgèbregraduéeestunespacevectorielgraduéV munid’uneapplicationbilinéaire
m : V ⊗V → V dedegré0 (|m| = 0)c’est à dire:
m(V ⊗V ) ⊂ V .
i j i+j
2)Unedérivationddel’algèbre(V,m) est uneapplicationvérifiant:
d◦m = m◦(d⊗id+id⊗d).
Sid estdedegré1 etd2 = 0,on ditquedest unedifférentiellede(V,m).
Définition2.2.
1) Une cogèbre graduéeest un espace vectoriel graduéC muni d’une applicationlinéaire
∆ : C −→ C ⊗C ditecomultiplicationdeC vérifiant:
∆C ⊂ C ⊗C
k i j
i+Xj=k
2)UnecodérivationQdelacogèbre (C,∆) estuneapplicationvérifiant:
∆◦Q = (Q⊗id+id⊗Q)◦∆.
SiQestdedegré1etQ2 = 0,onditqueQestunecodifférentiellede(C,∆).Danscecas,
onditque(C,∆,Q) est unecogèbrecodifférentielle.
Pardéfinition,l’espaceV[1]estlemêmeespacequeV,maisavecundécalagedudegré:
ledegréd’un élémenthomogènexdans V[1] notédeg(x)devientdeg(x) = |x|−1.
Les bonnes structures algèbriques sont des lois associées à une opérade quadratique P
([GK]). En effet, si V est un espace vectoriel gradué, on peut dans ce cas construire la
cogèbrecolibre(W,∆) surl’opéradedualeP! engendréparledécaléV[1] deV.
Dans cette situation, dire qu’une loi m : V ⊗ V → V de degré 0 est une structure de
type P, c’est dire que sa décalée m′ : V[1] ⊗ V[1] → V[1] est bilinéaire, de degré 1 et
vérifie les symétries associées à l’opérade P!, donc est prolongeable de façon unique en
unecodérivationQde(W,∆)etlaloimvérifielesaxiomesdelastructuresietseulement
si,Qvérifiel’équationdestructure[Q,Q] = 2Q2 = 0.
4 WALIDALOULOU
Toujoursdanscecas,onparleradeP algèbreoud’algèbreàhomotopieprèspourtoute
∞
cogèbrecodifférentielle(W,∆,Q) correspondanteà (W,∆).
Définition2.3. [GK]
Une structurede P algèbre sur un espace vectoriel V est définie par la donnée d’une
∞
codifférentielleQsur laP!-cogèbre (W,∆) construiteà partirdeV.
En particulier, si (V,m,d) est une algèbre différentielle, on peut prolonger d + m′ en
une unique codérivation Q de degré 1 de (W,∆) telle que Q2 = 0, c’est à dire (W,∆,Q)
estuneP algèbre. Décrivonsquelquesexemples.
∞
3. LES (a,b)-ALGÈBRES À HOMOTOPIE PRÈS
Cettesectionconsisteàunifierlesconstructionsd’algèbreàhomotopieprèsdanslescas
des algèbres de Poisson et des algèbres de Gerstenhaber, ce qui nous permet de définir la
structured’une(a,b)-algèbreà homotopieprès.
3.1. Définitions et notations.
Définition3.1.
Considérons un espace vectoriel A gradué. Le degré d’un élément homogène α de A
est noté |α|. Soient a,b ∈ Z, l’espace A est muni d’un produit . de degré a (|.| = a) et
d’uncrochet[, ]dedegréb(|[, ]| = b)telque A[−a],. estunealgèbrecommutativeet
(cid:16) (cid:17)
associativegraduéeet A[−b],[, ] estunealgèbredeLiegraduée.Deplus,l’application
(cid:16) (cid:17)
linéairead : A[−b] −→ Der A[−a],. ; α 7−→ ad est telle quead soit une dérivation
α α
graduéepour leproduit.. (cid:16) (cid:17)
On dit que A,.,[ , ] est une (a,b)-algèbre graduée. Pour tout α,β,γ ∈ A, on a les
(cid:16) (cid:17)
propriétéssuivantes:
(i)α.β = (−1)(|α|+a)(|β|+a)β.α,
(ii)α.(β.γ) = (α.β).γ,
(iii)[α,β] = −(−1)(|α|+b)(|β|+b)[β,α],
(iv)(−1)(|α|+b)(|γ|+b)[[α,β],γ]+(−1)(|β|+b)(|α|+b) [β,γ],α
+(−1)(|γ|+b)(|β|+b) [(cid:2)γ,α],β (cid:3)= 0,
(cid:2) (cid:3)
LESPRÉ-(a,b)-ALGÈBRES 5
(v)[α,β.γ] = [α,β].γ +(−1)(|β|+a)(|α|+b)β.[α,γ]
quis’écrit encore[α.β,γ] = α.[β,γ]+(−1)(|β|+a)(|γ|+b)[α,γ].β.
Deplus,sionaunedifférentielled : A[−a] −→ A[−a+1] oud : A[−b] −→ A[−b+1]
(cid:16) (cid:17)
dedegré1 vérifiantd◦d = 0,
d(α.β) = dα.β +(−1)|α|+aα.dβ et d([α,β]) = [dα,β]+(−1)|α|+b[α,dβ],
ondiraque A,.,[, ],d est une(a,b)-algèbredifférentiellegraduée.
(cid:16) (cid:17)
On utilise un décalage pour homogènéiser le produit et la différentielle. On considère
l’espace A[−a+1] munide la graduationdg(α) = |α|+a−1 quel’on notesimplement
par α. Sur A[−a + 1], le produit . n’est plus commutatif et le crochet [ , ] n’est plus
antisymétrique. On construit, donc, un nouveau produit µ sur A[−a + 1] = A[−a][1] de
degré1 défini par
µ(α,β) = (−1)1.αα.β
etun nouveaucrochet ℓ surA[−a+1] = A[−b][b−a+1] dedegréb−a+1défini par
ℓ(α,β) = (−1)(b−a+1).α[α,β].
Eton a
(i)µ(α,β) = −(−1)αβµ(β,α),
(ii)µ(µ(α,β),γ) = −(−1)αµ(α,µ(β,γ)),
(iii)ℓ(α,β) = −(−1)b−a+1(−1)αβℓ(β,α),
(iv)(−1)αγℓ(ℓ(α,β),γ +(−1)βαℓ(ℓ(β,γ),α)+(−1)γβℓ(ℓ(γ,α),β) = 0,
(cid:1)
(v) ℓ(α,µ(β,γ)) = (−1)α+b−a+1µ(ℓ(α,β),γ)+(−1)(α+b−a+1)(β+1)µ(β,ℓ(α,γ)),
ou encore
ℓ(α,µ(β,γ)) = (−1)(b−a+1)(α+1)µ(α,ℓ(β,γ))+(−1)b−a+1+βγµ(ℓ(α,γ),β).
Deplus,dresteencore unedérivationpourµet ℓ, ellevérifie:
d(µ(α,β)) = −µ(dα,β)+(−1)α+1µ(α,dβ)
et d(ℓ(α,β)) = (−1)b−a+1ℓ(dα,β)+(−1)α+b−a+1ℓ(α,dβ).
3.2. Extensiondelamultiplicationetducrochet àlacogèbredeLiecodifférentielle.
Onconsidèrel’espaceA[−a+1]munidudegrédeg(α) = |α|−1 = α.Unepermutation
σ ∈ S (p,q ≥ 1)est diteun (p,q)-shufflesiellevérifie:
p+q
σ(1) < ··· < σ(p) et σ(p+1) < ··· < σ(p+q).
6 WALIDALOULOU
OnnoteSh(p,q)l’ensembledes (p,q)-shuffles.
On noteaussi
ε ( α1 ... αn ) = ε (σ)
α αi1 ... αin α
lasignaturedelapermutationσ = ( 1 ... n ),entenantcomptedesdegrésdeα ,autrement
i1 ... in j
dit,ε estl’uniquemorphismedeS dans R telqueε ((i,j)) = (−1)αiαj.
α n α
On définitensuiteleproduitshufflesur +A[−a+1] par:
N
sh (α ⊗...⊗α ,α ⊗...⊗α ) = ε (σ−1)α ⊗...⊗α .
p,q 1 p p+1 p+q α σ−1(1) σ−1(p+q)
X
σ∈Sh(p,q)
On définitalors l’espacequotient
H = +A[−a+1] = NnA[−a+1](cid:30) .
Pp+q=nIm(shp,q)
O Mn≥1
Pour X = α ⊗...⊗α ∈ H, le degré dg(X) = α +···+α noté simplementpar x.
1 n 1 n
Surcet espace, on définitun cocrochet δ dedegré0par:
n−1
δ(X) = α ⊗...⊗α α ⊗...⊗α
1 j j+1 n
Xj=1 O
−ε α1...αj αj+1...αn α ⊗...⊗α α ⊗...⊗α
α αj+1...αn α1...αj j+1 n 1 j
(cid:0) (cid:1) O
= U V −(−1)vuV U.
U⊗XV=X O O
U,V6=∅
On prolongeµ etd àH commedes codérivationsµ et d deδ dedegré1 en posant:
1 1
d1(α1⊗...⊗αn) = (−1)Pi<kαiα1⊗...⊗d(αk)⊗...⊗αn
1≤Xk≤n
et
µ1(α1⊗...⊗αn) = (−1)Pi<kαiα1⊗...⊗µ(αk,αk+1)⊗...⊗αn.
1≤Xk<n
Alors,
(µ ⊗id+id⊗µ )◦δ = δ ◦µ ,µ2 = 0,(d ⊗id+id⊗d )◦δ = δ ◦d et d2 = 0.
1 1 1 1 1 1 1 1
(Voir[AAC1])
En posantD = d, D = µ,D = 0, sik ≥ 3 et
1 2 k
D(α ⊗...⊗α ) =
1 n
(−1)Pi≤jαiα1⊗...⊗αj⊗Dr(αj+1⊗...⊗αj+r)⊗αj+r+1⊗...⊗αn.
X
1≤r≤n
0≤j≤n−r
LESPRÉ-(a,b)-ALGÈBRES 7
Alors,D = d +µ estl’uniquecodérivationdeδ dedegré1quiprolongedet µ àH.
1 1
Ellevérifie
D◦D = 0et (D ⊗id+id⊗D)◦δ = δ ◦D.
On obtient que H,δ,D est une cogèbre de Lie codifférentielle, donc, c’est une C al-
∞
gèbre. (cid:0) (cid:1)
On prolonge,ensuite,lecrochet ℓ àH.
Proposition3.2.
Sur H,il existeun unique"crochet"ℓ , dedegréb−a+1, vérifiant:
2
(3.1) δ◦ℓ = (ℓ ⊗id)◦ τ ◦(δ⊗id)+id⊗δ +(id⊗ℓ )◦ δ⊗id+τ ◦(id⊗δ) .
2 2 23 2 12
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
Cecrochetestdéfini pourX = α ⊗...⊗α et Y = α ⊗...⊗α par:
1 p p+1 p+q
ℓ2(X,Y) = εα(σ−1)(−1)(b−a+1)Ps<kασ−1(s)×
X
σ∈Sh(p,q)
k,σ−1(k)≤p<σ−1(k+1)
×α ⊗...⊗ℓ(α ,α )⊗...⊗α .
σ−1(1) σ−1(k) σ−1(k+1) σ−1(p+q)
3.3. AlgèbredeLiedifférentielle graduéeassociéeàune(a,b)-algèbredifférentielle.
On considère, maintenant, l’espace H[a − b − 1] muni de la graduation dg′(X) =
dg(X)−a+b+1 noté simplement par x′ pour X ∈ H[a−b−1]. On pose ℓ′(X,Y) =
2
(−1)(a−b−1)dg′(X)ℓ (X,Y). Alors, le crochet ℓ′ est de degré 0 dans H[a − b − 1] et la
2 2
différentielleD restededegré1.Et ona
Proposition3.3.
L’espace H[a − b − 1], muni du crochet ℓ′ et de la différentielle D est une algèbre de
2
Liedifférentiellegraduée:Pour toutX,Y et Z deH[a−b−1], on a:
(i) ℓ′(X,Y) = −(−1)x′y′ℓ′(Y,X),
2 2
(ii) (−1)x′z′ℓ′ ℓ′(X,Y),Z +(−1)y′x′ℓ′ ℓ′(Y,Z),X
2 2 2 2
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
+(−1)z′y′ℓ′ ℓ′(Z,X),Y = 0,
2 2
(cid:16) (cid:17)
(iii) D ℓ′(X,Y) = ℓ′ D(X),Y +(−1)x′ℓ′ X,D(Y) .
2 2 2
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
3.4. La L algèbre S+(H[a−b]).
∞
Dansleparagrapheprécédent,onamontréque H[a−b−1],ℓ′,D estunealgèbrede
2
(cid:16) (cid:17)
Liedifférentiellegraduée. On considèrel’espaceH[a−b] munidelagraduation
dg′′(X) = dg′(X)−1 = dg(X)−a+b := x′′ , pourtoutX ∈ H[a−b].
On voudrait construire la cogèbre cocommutative coassociative (S+(H[a− b]),∆), où
S+(H[a − b]) = Sn(H[a − b]) et ∆ est son coproduit qui est de degré 0 et défini
n≥1
par: L
8 WALIDALOULOU
∀X ...X ∈ Sn(H[a−b]),
1 n
∆(X ...X ) = ε (x1...xn)X X .
1 n x′′ xIxJ I J
X O
I∪J={1,...n}
#I,#J>0
Le crochet ℓ′ était antisymétriquede degré 0 sur H[a−b−1]. Comme l’on veut une co-
2
dérivationdedegré1pour∆,onposeℓ′′(X,Y) = (−1)x′′ℓ′(X,Y)quiestuneapplication
2 2
symétriquesurH[a−b] dedegré1. Ona
Proposition3.4.
PourtoutX, Y, Z ∈ H[a−b], on a :
(i) ℓ′′(X,Y) = (−1)x′′y′′ℓ′′(Y,X),
2 2
(ii) (−1)x′′z′′ℓ′′(ℓ′′(X,Y),Z)+(−1)y′′x′′ℓ′′(ℓ′′(Y,Z),X)
2 2 2 2
+(−1)z′′y′′ℓ′′(ℓ′′(Z,X),Y) = 0,
2 2
(iii) D(ℓ′′(X,Y)) = −ℓ′′(D(X),Y)+(−1)1+x′′ℓ′′(X,D(Y)).
2 2 2
On prolonge ℓ′′ à S+(H[a − b]) de façon unique comme une codérivation ℓ′′ de ∆ de
2
degré1 en posant:
ℓ′′(X ...X ) = ε x1...xn ℓ′′(X ,X ).X ...ij...X .
1 n Xi<j x′′(cid:16)xixjx1...ibj...xn(cid:17) 2 i j 1 n
b
Enutilisantl’identitédeJacobi,on peutvérifier queℓ′′ ◦ℓ′′ = 0.
On prolonge, aussi, la différentielle D à S+(H[a−b]) comme l’unique codérivationm
de∆toujoursdedegré1 en posant:
n
m(X ...X ) = ε x1...xn D(X ).X ...i...X .
1 n x′′ xix1...bi...xn i 1 n
Xi=1 (cid:0) (cid:1)
b
Ellevérifiem◦m = 0.
On poseQ = m+ℓ′′, ouQ = D, Q = ℓ′′, Q = 0, si k ≥ 3et
1 2 2 k
Q(X ...X ) = ε (x1...xn)Q (X ).X .
1 n x′′ xIxJ #I I J
X
I∪J={1,...,n}
I6=∅
Alors,QvérifieQ2 = 0 et (Q⊗id+id⊗Q)◦∆ = ∆◦Q.
Donc, le complexe (S+(H[a−b]),∆,Q) est une cogèbre cocommuative coassociative
etcodifférentielle,c’est à direuneL algèbre.
∞
LESPRÉ-(a,b)-ALGÈBRES 9
3.5. La C algèbre S+(H[a−b]).
∞
L’espace H,δ,D étant une cogèbre de Liecodifférentielle, on définit un cocrochet δ′′
dedegréa−(cid:0)b surH(cid:1)[a−b] par:
δ′′(X) = (−1)(a−b)u′′ U V +(−1)u′′v′′+a−b+1V U .
U⊗XV=X (cid:16) O O (cid:17)
U,V6=∅
On prolongeδ′′ àS+(H[a−b]) par:
δ′′(X1...Xn) = εx′′(xxI1x..s.xxnJ ) (−1)(a−b)(x′I′+u′s′)×
1X≤s≤n Us⊗XVs=Xs
I∪J={1,...,n}\{s} Us,Vs6=∅
× X .U V .X +(−1)u′s′vs′′+a−b+1X .V U .X ,
I s s J I s s J
(cid:16) O O (cid:17)
quis’écrit encore
δ′′(X1...Xn) = (−1)Pi<s(a−b)x′i′ (−1)(a−b)u′s′×
1≤Xs≤n Us⊗XVs=Xs
I∪J={1,...,n}\{s} Us,Vs6=∅
× ε ( x1...xn )X .U µV .X +(−1)a−b+1ε ( x1...xn )X .µV U .X ,
x′′ xI us vs xJ I s s J x′′ xI vs us xJ I s s J
(cid:16) O O (cid:17)
avec
εx′′(xIxu1s...vxsnxJ ) = εx′′(xxI1x..s.xxnJ )(−1)Pii∈<Js x′i′(−1)Pii>∈Is x′i′.
Alors, δ′′ est un cocrochet sur S+(H[a−b]) de degré a−b. En notant τ′′ la volte dans
S+(H[a−b]), δ′′ vérifie :
Proposition3.5.
i) τ′′ ◦δ′′ = −(−1)a−bδ′′ : δ′′ est (a−b)-coantisymétrique,
ii) id⊗3 +τ′′ ◦τ′′ +τ′′ ◦τ′′ ◦(δ′′ ⊗id)◦δ′′ = 0 : identitédecoJacobi,
12 23 23 12
(cid:16) (cid:17)
iii) (id⊗∆)◦δ′′ = (δ′′ ⊗id)◦∆+τ′′ ◦(id⊗δ′′)◦∆ : identitédecoLeibniz.
12
Ainsi (S+(H[a−b]),δ′′) est une cogèbre de Lie. On montrequ’avec Q = m+ℓ′′, elle
estcodifférentielle.
Proposition3.6.
met ℓ′′ sontdescodérivationsdeδ′′ dedegré1, ilsvérifient :
(i)(m⊗id+id⊗m)◦δ′′ = (−1)a−bδ′′ ◦m.
(ii)(ℓ′′ ⊗id+id⊗ℓ′′)◦δ′′ = (−1)a−bδ′′ ◦ℓ′′.
Alors, le complexe(S+(H[a−b]),δ′′,Q) est unecogèbre deLie codifférentiellegraduée,
donc,c’est aussiuneC algèbre.
∞
Enfin, lecocrochet δ′′ et lecoproduit∆vérifient l’identitédecoLeibniz:
(id⊗∆)◦δ′′ = (δ′′ ⊗id)◦∆+τ′′ ◦(id⊗δ′′)◦∆.
12