Les polynômes de Macdonald dans le superespace et le modèle Ruijsenaars-Schneider supersymétrique [PhD thesis]

142 Pages·2015·1.18 MB·French

by  Olivier Blondeau-Fournier

Les polynômes de Macdonald dans le superespace et
le modèle Ruijsenaars-Schneider supersymétrique
Thèse
Olivier Blondeau-Fournier
Doctorat en physique
Philosophiæ doctor (Ph.D.)
Québec, Canada
© Olivier Blondeau-Fournier, 2015

Résumé
La théorie des superpolynômes symétriques ([DLM03, DLM06]) est généralisée avec l’introduction
d’une nouvelle base de superfonctions qui dépend de deux paramètres q et t. Cette nouvelle base, que
l’on appelle les polynômes de Macdonald dans le superespace (ou simplement, les superpolynômes de
Macdonald),généralisetoutes les autresbasesde superfonctions connues.Celles-cisontretrouvéesvia
différentes spécialisations (ou limites) de q et t. On démontre que les superpolynômes de Macdonald
sont uniquement déterminés par les deux propriétés suivantes. Premièrement, ils se décomposent de
façon triangulaire dans la base des superfonctions monomiales (par rapport à l’ordre de dominance
entrelessuperpartitions).Deuxièmement,ilssontorthogonauxparrapportàunproduitscalairedonné
danslabasedessuperfonctionssommesdepuissancesetquidépenddeq,t.L’étapeclefpourdémontrer
cerésultatestlaconnexionaveclathéoriedespolynômesnonsymétriquesdeMacdonald.Enfait,ilest
montréquelessuperpolynômesdeMacdonaldsontégalementdonnésparunprocessusdesymétrisation
particulier des polynômes non symétriques de Macdonald. Cette connexion peut être alors exploitée
pourobtenirunefamilled’opérateursquiestdiagonaledanslabasedessuperpolynômesdeMacdonald
ainsi qu’une seconde relation d’orthogonalité donnée par l’évaluation d’un terme constant.
Ces deux éléments, i.e. famille d’opérateurs et orthogonalité (analytique), permettent de relier les
superpolynômes de Macdonald à un problème de mécanique quantique supersymétrique généralisant
le modèle Ruijsenaars-Schneider (RS). L’hamiltonien de ce modèle est défini par l’anticommutateur
d’une superchargequiestlegénérateurde latransformationsupersymétrique.Lastructurealgébrique
sous-jacente à ce modèle est l’algèbre de Poincaré supersymétrique (i.e. une algèbre de Lie graduée).
Tous les états propres de l’hamiltonien sont donnés par le produit de la fonction d’onde de l’état du
vide par les superpolynômes de Macdonald. L’intégrabilité du modèle est également démontrée.
iii

Abstract
The theory ofsymmetric superpolynomials([DLM03,DLM06]) is further extendedwith the introduc-
tion of a family of superpolynomials that depends upon two parameters, denoted by q and t. This
new basis, that can be called Macdonald polynomials in superspace (or simply stated, Macdonald
superpolynomials), generalizes all the previously discovered bases of superpolynomials. These are ob-
tained by the evaluation (or by a limiting process) of the parameters q and t. It is proved that the
Macdonaldsuperpolynomialsareuniquely definedby the two followingproperties. First,they decom-
pose triangularly in the monomial basis (with respect to a certain ordering between superpartitions).
Second, they are orthogonal with respect to a given scalar product evaluated in the power sum basis
and which depends on q and t. The crucial step to prove this result is the connection between Mac-
donald superpolynomials and the theory of non-symmetric Macdonald polynomials. More precisely,
it is showed that the Macdonald superpolynomials can be expressed by a certain symmetrizer acting
on the non-symmetric analogue. Using this connection, a family of eigen-operatorsis obtained, which
is diagonalized by the Macdonald superpolynomals basis. In addition, another orthogonality relation
that involves a constant term evaluation (referred to as the analytic orthogonality) is obtained.
These two elements, i.e. the eigen-operators and the orthogonality (analytic), link the Macdonald
superpolynomials to a supersymmetric quantum mechanic model that generalizes the Ruijsenaars-
Schneider (RS) model. The Hamiltonian of this model is naturally written as an anticommutator of
a supercharge which is the generator of supersymmetric transformation. The underlying algebra of
this model is the super Poincaré algebra (i.e. a graded Lie algebra). All the quantum states of the
Hamiltonian are given as a product of the ground state function times Macdonald superpolynomials.
Finally, the integrability of the supersymmetric RS model is demonstrated.
v

Table des matières
Résumé iii
Abstract v
Table des matières vii
Liste des symboles ix
Remerciements xvii
Avant-propos xix
Introduction 1
1 Fondements : les superpolynômes symétriques 13
1.1 Le superespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Partitions, ordre de dominance et superpartitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Superpartitions et combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 L’anneau des superfonctions symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 L’orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 La dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 Les fonctions de Schur dans le superespace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8 Les superpolynômes de Jack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.9 Les matrices de transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Les superpolynômes à deux paramètres 33
2.1 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Les superpolynômes de Macdonald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Cas limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Propriétés des P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Λ
2.4.1 La normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.2 La dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.3 La spécialisation et la propriété de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.4 Forme intégrale et positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.5 Une seconde orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Les opérateurs de Cherednik et les supercharges 53
3.1 L’algèbre de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Les opérateurs de Cherednik et les polynômes E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
η
3.3 Les opérateurs de symétrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Une seconde caractérisationdes P (x,θ;q,t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Λ
3.5 Le produit scalaire du type terme constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 Les supercharges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.7 Preuve de la proposition 3.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.7.1 La partie en Y−1 +...+Y−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
m+1 N
vii
3.7.2 La partie en Y−1+...+Y−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1 m
3.7.3 Rassemblant le tout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.8 Les supercharges adjointes dans , S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
h· ·iN,q,t
4 Le modèle Ruijsenaars-Schneider et son extension supersymétrique 87
4.1 Introduction : le modèle RS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2 Le modèle RS supersymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 Conclusion : le modèle compact de van Diejen-Vinet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Conclusion 107
A La double limite de stabilité et les doubles Macdonald 111
B Sur les opérateurs nuls dans SN 115
A
Bibliographie 119
viii
Liste des symboles
Chapitre 1
x,θ variables commutantes, anticommutantes
K[x,θ], anneau des superpolynômes dans les variables x ,θ ,...,x ,θ
1 1 N N
A
sous-ensemble des superpolynômes avec degré fermionique m
m
A
π opérateur de projection, π (θ )=δ θ
I I J IJ I
opérateur de permutation, x ,θ x ,θ
σ i i σ(i) σ(i)
K 7→
SN sous-espace des superpolynômes symétriques, SN
A
S(n|m) sous-espace des superpolynômes symétriques de degré (nm)
N |
1, 1c secteur fondamental (1,...,m) et complément (m+1,...,N)
σ S∨ ensemble des permutations croisées entre le secteur 1 et 1c
∈ N
(q) (1 qk)
∞ k≥1 −
λ,µ Qpartitions
Λ,Ω superpartitions, par exemple Λ=(Λa;Λs)
Λ′,Ω′ superpartitions conjuguées
Λ∗ partition obtenue en ordonnant les parties de Λ
Λ⊛ partition obtenue en ordonnant les parties de (Λa+1m;Λs)
ℓ() nombre de parties non nulles, ℓ(Λ)=m+ℓ(Λs)
·
(Λ) boîtes fermioniques : qui sont dans une rangée et colonne se terminant par un cercle
F
(Λ) boîtes bosoniques : qui ne sont pas fermioniques
B
(Λ) donné par Λ⊛/δm+1, où δm =(m 1,...,0)
S −
m ,p superfonctions symétriques monomiales, sommes de puissances
Λ Λ
e ,h superfonctions symétriques élémentaires, homogènes
Λ Λ
(m)
, , produit scalaire pΛ,pΩ =( 1) 2 δΛΩzΛs
h· · i h i −
zλ i≥1inλ(i)nλ(i)!, où nλ(i) est le nombre de parties égales à i dans λ
Π(x,θ;y,φ) Qnoyau reproducteur : i,j(1−xiyj −θiφj)−1
E+ adjoint de l’opérateurQE par rapport à un certain produit scalaire
ω involution qui envoie e h
Λ Λ
7→
sΛ,s¯Λ superfonctions symétriques de Schur, également s∗Λ =ωs¯Λ′
ix
P(α) superpolynômes symétriques de Jack
Λ
M(u,v) matrice de transition entres les bases u et v, i.e. u = (M(u,v)) v
i j i,j j
P
Chapitre 2
Q(q,t) corps des fonctions rationnelles en q,t
(m)
, q,t produit scalaire sur le corps Q(q,t), donné par pΛ,pΩ q,t =( 1) 2 δΛΩzΛ(q,t)
h· ·i h i −
zΛ(q,t) zΛsq|Λa| i(1−qΛsi)/(1−tΛsi)
Π(x,θ;y,φ;q,t) noyau reQproducteur, voir (2.6)
g ,g˜ coefficient de yn, φyn dans Π(x,θ;y,φ;q,t)
n n
P =P (q,t) superpolynômes symétriques de Macdonald
Λ Λ
b (q,t) inverse de la norme des superpolynômes de Macdonald, i.e. P ,P −1
Λ h Λ Λiq,t
h↑,↓(q,t) h↑(q,t)= (1 qa(s)+1t˜l(s)),h↓(q,t)=h↑ (t,q)
Λ Λ s∈B(Λ) − Λ Λ′
QΛ bΛ(q,t)PΛ(Qq,t), base duale aux PΛ
Ωq,t homomorphisme (dualité) qui envoie PΛ(q,t) vers QΛ′(t−1,q−1)
Ωq,t homomorphisme (dualité) qui envoie PΛ(q,t) vers QΛ′(t,q)
ϕ homomorphisme qui envoie ϕ (p )=(1 tr)p et ϕ (p˜ )=p˜
bt t r − r t r r
u application qui envoie un superpolynôme sur Q(q,t,), i.e. spécialisation des x
Λ i
u∅(PΛ) formule de l’évaluation pour les superpolynômes de Macdonald
P˜Λ version normalisée donnée par PΛ/u∅(PΛ)
J forme intégrale des superpolynômes de Macdonald, h↓(q,t)P
Λ Λ Λ
H superpolynômes de Macdonald modifiés, ϕ−1(J )
Λ t Λ
K (q,t) coefficient de s dans l’expression de H
ΩΛ Ω Λ
H (1 qa˜(s)tl(s)+1)H
Λ s∈F(Λ) − Λ
ct() Qterme constant, coefficient à l’ordre zéro en x
b ·
, S produit scalaire de type terme constant ou analytique, voir (2.121)
h· ·iN,q,t
∆ (x /x ;q) /(tx /x ;q)
N i6=j i j ∞ i j ∞
Q
Chapitre 3
A anneau des polynômes dans les variables x ,...,x
1 N
s opérateur d’échange entre x x
i i i+1
↔
T opérateur de Hecke, t+[(tx x )/(x x )](s 1)
i i i+1 i i+1 i
− − −
τ opérateur de q-différence, x qx
i i i
→
ω involution donnée par s s τ
N−1 1 1
···
Y opérateur de Cherednik, voir (3.10)
i
E polynôme de Macdonald non symétrique associé à la composition η
η
Sˆ opérateur de symétrisation sur les variables x ,...,x
(1,...,N) 1 N
x