Les polynômes cyclotomiques [expository notes]

4 Pages·2012·0.198 MB·French

by  Antoine Ducros

Les polynoˆmes cyclotomiques
Pr´eparation a` l’agr´egation de math´ematiques
Universit´e de Nice - Sophia Antipolis
Antoine Ducros
Novembre 2007
Remarque. Dans tout ce texte, nous utiliserons implicitement le fait suivant,
qui peut se d´emontrer `a l’aide de l’identit´e de Bezout, ou de l’algorithme d’Eu-
clide : si k (cid:44)→L est une extension de corps et si P et Q sont deux polynˆomes `a
coefficients dans k, leur PGCD dans L[X] est ´egal `a leur PGCD dans k[X].
Lemme 1. Soit k un corps et soit n un entier non nul tel que n.1 (cid:54)= 0 (ce
k
qui signifie, ou bien que k est de caract´eristique nulle, ou bien que k est de
caract´eristique p>0 avec p∧n=1). Toute racine de Xn−1 dans k est simple.
D´emonstration. Si n = 1 c’est ´evident car Xn − 1 est alors de degr´e 1.
Supposons n>1, et soit α une racine de Xn−1 dans k. Si elle ´etait multiple,
elle annulerait le polynˆome d´eriv´e nXn−1; on aurait donc nαn−1 = 0. Comme
n.1 (cid:54)=0 et comme n−1>0, ceci entraˆıne α=0, ce qui contredit l’hypoth`ese
k
que αn =1. (cid:3)
Lemme 2. Soit k un corps, soient n et m deux entiers et soit d leur PGCD. Le
PGCD de Xn−1 et Xm−1 dans k[X] est ´egal `a Xd−1.
D´emonstration. Supposons (par exemple) que n ≥ m. Si m > 0, ´ecrivons
(par division euclidienne) n=am+r avec r <m. On a alors
Xn−1=Xam+r−1=(Xm)a.Xr−1
=((Xm)a−1).Xr+Xr−1=(Xm−1)((Xm)a−1+...+1)Xr+Xr−1.
On en d´eduit que (Xn −1)∧(Xm −1) = (Xm −1)∧(Xr −1). On a ainsi
remplac´e le couple (n,m) par le couple (m,r). L’algorithme d’Euclide garantit
qu’enr´ep´etantl’op´erationunnombrefinidefois(´eventuellementnulsim=0!)
on obtient le couple (d,0). On en d´eduit que
(Xn−1)∧(Xm−1)=(Xd−1)∧(X0−1)=(Xd−1)∧0=(Xd−1). (cid:3)
Th´eor`eme.Il existe une unique suite (Φ ) de polynˆomes `a coefficients dans
n n>0
Q tels que :
i) Φ =X−1;
1
ii) Pour tout n>0, on a Xn−1= (cid:81)Φ (X).
d
d|n
De plus chacun des Φ est unitaire, `a coefficients dans Z, de degr´e ϕ(n); les
n
Φ sont deux a` deux premiers entre eux.
n
1
D´emonstration. Commen¸cons par l’unicit´e. Donnons nous deux suites (Φ )
n
et (Ψ ) satisfaisant les conditions requises, et montrons par r´ecurrence sur n
n
que Ψ = Φ . Pour n = 1, c’est ´evident puisqu’en vertu de i) Ψ et Φ sont
n n 1 1
tousdeux´egaux`aX−1.Soitn>1telquel’´egalit´esoitvraiepourtoutm<n.
De ii) d´ecoulent les formules (cid:81)Φ (X) = (cid:81)Ψ (X) = Xn −1; pour tout d
d d
d|n d|n
divisant strictement n, on a Φ = Ψ par l’hypoth`ese de r´ecurrence; on en
d d
d´eduit aussitˆot (Xn−1 ´etant non nul et l’anneau Q[X] int`egre) que Φ =Ψ .
n n
Montrons maintenant l’existence. On va construire les Φ r´ecursivement, en
n
montrant `a chaque ´etape les propri´et´es requises. On pose Φ = X −1; il est
1
bien unitaire, `a coefficients dans Z, et de degr´e 1=ϕ(1).
Supposons avoir construit une suite (Φ ,...,Φ ) telle que
1 n−1
(cid:89)
Xm−1= Φ (X)
d
d|m
pour tout m<n, telle que chacun des Φ soit unitaire, `a coefficients dans Z, de
i
degr´e ϕ(i), et telle que les Φ soient deux `a deux premiers entre eux.
i
Soit d un diviseur strict de n. Comme Xd−1 divise Xn−1 (on peut le voir
`a la main, ou utiliser le lemme 2 si on le souhaite...),Φ divise Xn−1. Les Φ ,
d d
ou` d parcourt l’ensemble des diviseurs stricts de n, sont deux `a deux premiers
entre eux; il en d´ecoule que (cid:81) Φ (X)|Xn−1. Ces deux polynˆomes ´etant
d
d|n,d(cid:54)=n
unitaireset`acoefficientsdansZ,leurquotientestunitaireet`acoefficientsdans
Z. On d´efinit Φ comme ´etant ´egal `a ce quotient.
n
Par construction, on a maintenant Xm−1 = (cid:81) Φ (X) pour tout m ≤ n.
d
d|m
Il reste `a s’assurer que le degr´e de Φ est bien ϕ(n), et que Φ est bien premier
n n
avec Φ pour tout i<n.
i
En ce qui concerne le degr´e, l’´egalit´e Xn−1= (cid:81)Φ (X) et le fait que, par
d
d|n
l’hypoth`ese de r´ecurrence, on ait deg Φ = ϕ(d) pour tout d < n, entraˆınent
d
(cid:80) (cid:80)
que n=degΦ + ϕ(d). Comme n= ϕ(d), on a bien degΦ =ϕ(n).
n n
d|n,d(cid:54)=n d|n
On termine en trois courtes ´etapes :
• Si δ divise strictement n, alors Φ est premier avec Φ ; en effet, soit L
n δ
uncorpsded´ecompositiondeXn−1surQ.L’´egalit´eXn−1= (cid:81)Φ (X)
d
d|n
et la simplicit´e des racines de Xn −1 dans L (lemme 1) impliquent que
Φ et Φ sont tous deux scind´es dans L et sans racine commune; ils sont
n δ
donc premiers entre eux.
• Si d divise strictement n, alors Φ est premier avec Xd−1; en effet, on
n
a Xd−1= (cid:81)Φ (X); or si δ divise d, il divise strictement n et donc Φ
δ n
δ|d
est premier avec Φ d’apr`es ce qui pr´ec`ede, d’ou` l’assertion.
δ
• Soit i un entier strictement inf´erieur `a n et soit P le PGCD de Φ et Φ ;
n i
soit d le PGCD de n et i. Comme P divise Φ (resp. Φ ), il divise Xn−1
n i
2
(resp. Xi−1) d’apr`es la sempiternelle formule; il divise donc leur PGCD,
qui n’est autre Xd−1 en vertu du lemme 2. Comme i<n, l’entier d est
un diviseur strict de n; d’apr`es l’´etape pr´ec´edente, Φ est premier avec
n
Xd−1. Tous deux ´etant multiples de P, on a P =1. (cid:3)
Proposition. Soit n un entier non nul et soit L un corps de caract´eristique
nulle dans lequel Xn −1 est scind´e. Pour tout d divisant n, le polynˆome Φ
d
est scind´e `a racines simples dans L; ses racines sont exactement les racines de
l’unit´e d’ordre d dans L.
D´emonstration D’apr`es le lemme 1, le polynˆome Xn−1 est scind´e `a racines
simplesdansL;siddivisen,alorsΦ diviseXn−1etestdoncscind´e`aracines
d
simples dans L.
Soitαuneracinen-i`emedel’unit´edansLetsoitω sonordredanslegroupe
L∗ (c’est un diviseur de n); comme Xn−1 = (cid:81)Φ (X) et comme les Φ sont
δ d
δ|n
deux `a deux premiers entre eux, il existe un et un seul diviseur d de n tel que
Φ (α)=0. On va montrer que d=ω, ce qui permettra de conclure.
d
Montrons que ω divise d. Comme Φ (α) = 0 et comme Φ |Xd −1, on a
d d
αd =1 et ω divise d.
Montrons que d divise ω. Comme αω =1, le polynˆome Xω−1 annule α. Or
(cid:81)
ils’´ecrit Φ (X);onend´eduitqu’ilexisteδ divisantω telqueΦ (α)=0.Par
δ δ
δ|ω
d´efinition de d, on a δ =d et donc d|ω. (cid:3)
Soit p un nombre premier. Pour tout n, on notera Φn,Fp l’image de Φn dans
F [X] (obtenue en r´eduisant modulo p chacun de ses coefficients). L’´egalit´e
p
Xn−1= (cid:81)Φ (X), valable dans Z[X], devient apr`es r´eduction modulo p
d
d|n
(cid:89)
Xn−1= Φd,Fp(X) dansFp[X].
d|n
Proposition.Soit n un entier premier `a p et soit L un corps de caract´eristique
p dans lequel Xn −1 est scind´e. Les Φd,Fp pour d divisant n sont scind´es `a
racines simples dans L et deux `a deux premiers entre eux; pour tout d divisant
n, les racines de Φd,Fp dans L sont exactement les racines de l’unit´e d’ordre d
dans L.
D´emonstration.D’apr`eslelemme1,lepolynˆomeXn−1estscind´e`aracines
simples dans L. L’´egalit´e Xn −1 = (cid:81)Φd,Fp(X) implique alors que les Φd,Fp
d|n
(pour d divisant n) sont tous scind´es `a racines simples dans L, et deux `a deux
sans racine commune; ils sont donc deux `a deux premiers entre eux.
LadescriptiondesracinesdeΦd,Fp sefaitaveclesmˆemesargumentqueceux
employ´es ci-dessus concernant les racines de Φ (il suffit de recopier mot pour
d
mot la d´emonstration en rajoutant des F en indice `a l’occasion). (cid:3)
p
Corollaire. Soient d et δ deux entiers distincts et premiers `a p. Les po-
lynˆomes Φd,Fp et Φδ,Fp sont premiers entre eux.
D´emonstration.L’entiern=dδ estpremier`ap,etdetδ sontdeuxdiviseurs
de n. Il n’y a plus qu’`a appliquer la proposition pr´ec´edente. (cid:3)
3
Contre-exemples en caract´eristique p
On d´esigne toujours par p un nombre premier.
A` propos des racines de Xn −1. Soit n un multiple non nul de p et soit
L un corps de d´ecomposition de Xn−1 sur F . E´crivons n = mp. On a alors
p
Xn−1=(Xm)p−1=(Xm−1)p, et toute racine de Xn−1 dans L est donc
au moins de multiplicit´e p.
A` propos des Φn,Fp. On a
Xp−1=(X−1)p =Φp,FpΦ1,Fp =Φp,Fp(X−1)
et
Xp2 −1=(X−1)p2 =Φp2,FpΦp,FpΦ1,Fp =Φp2,FpΦp,Fp(X−1).
On en d´eduit que Φp,Fp =(X−1)p−1 et Φp2,Fp =(X−1)p2−p; en cons´equence,
le PGCD de Φp,Fp et Φp2,Fp est ´egal `a Xp−1−1.
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