Les nombres : secrets d’hier et d’aujourd’hui PDF
Preview Les nombres : secrets d’hier et d’aujourd’hui
lotheoue Les N o m d'aujourd'hui Secrets d'hier et EDITIONS HS n° 33 POLE ISSN 0987-0806 Bibliothèque Taft^ L'aventuremaicrterrria-tique Tangente Hors-série n° 33 Les nombres Secrets d'hier et d'auleurd'hui Sous la direction de Philippe Boulanger EDITIONS POLE © EditionsPOLE - Paris2008 Toutereprésentation, traduction, adaptation, publication ou reproduction, même partielle, partous procédésetsurtoussupports,entouspays,faitesansautorisationpréalable,estilliciteetexposerait lecontrevenantàdes poursuitesjudiciaires.Référence:loidu 11mars 1957. ISBN : 9782848840864 ISSN : 0987-0806 Commission paritaire : 1011 K 80883 l^'ave-nturema Prochainement dans la Bibliothèque Tangente iiîijjiliJijiJjJJJiJij yi Jyjjj" JyyujJii^y POLE p! Les nombres Sommaire l'apparition desnombres DOSSIER Quandnousavonsimaginélesnombres,ilyaenvironun million d'années, nous avons ouvert les portes d'une caverneauxtrésors mystérieuxetdepuis cettecréation, lesnombresmènentleurexistencepropreindépendam ment de leur créateur. Leurs propriétés sont d'autant plus étonnantes qu'elles sont parfois inconsciemment exploitées par les pratiquants des arts divinatoires et reconnues ensuite. Les maths dansles sociétés sans écriture Nommer et écrire les nombres dans les différentes langues Les naissances multiples du zéro La découverte de lanumérationCentauréenne DOSSIER Les nombres dans tous leurs états Ilexistetouteunefaunedenombresquiontétéinventés à mesure que les mathématiciens exploraientla nature dumondedel'abstraction. Chaquetypede nombreena engendréde nouveaux Les corps ultimes Lalente émergence des nombres négatifs Lagenèse des imaginaires La découverte des quaternions La répartition des nombres premiers Une sotie surles nombres parfaits La découverte des nombres transcendants Unetranche de vie Hors-série n° 33. Les nouveaux secrets des n mbres Ta DOSSIER Les uisionnaires des nombres Certains mathématiciens ont une telle intimité avec les nombres qu'ils en découvrent des propriétés à la fois extraordinaire etlogique. Ces visionnaires asso cient deux qualités réputées antagonistes, la rigueur etl'imagination. Tripletspythagoriciens Le nombre Oméga Erdôs, l'homme qui adoraitles nombres Les nombres de Ramsey Kaprekar oula passion des nombres DOSSIER Les calculs Un calcul n'est pas un automatisme, mais une réflexion sur les hypothèses utilisées et la manière optimale d'obtenir un résultat. Au cours du calcul, des surprises montrent de nouvelles facettes des nombres. L'hypothèse du continu Les partitions de nombres Les nombres calculésparHorner Les carpettes de Conway Surune blague de Martin Gardner Suites de Fareyet cercles de Ford Lesvaleurs de Jt Les nombres univers L'intuitiontrompée Les racines emboîtées En bref Problèmes Solutions Tangen±e Hors-série n°33. Les nouveaux se Lesmaths dans les sociétéssans écriture nommer et écrire les nombres dans lesdifférenteslangues iLes naissancesmultiplesduzéro [ladécouuerte de la numération Centauréenne l a p p o r i t i o n s Quand nous avons imagine les nombres, il y a environ un mil lion d'années, nous avons ouvertles portesd'unecaverneauxtré sorsmystérieuxetdepuiscettecréation, les nombres mènent leur existence propre indépendamment de leur créa teur. Leurs propriétés sont d'autant plus étonnantes qu'elles sont parfois (cid:127)ïii inconsciemment exploitées par les pra- tiqnants des arts divinatoires et recon nues ensuite. Hors-série n° 33. Les nouveaux secrets des nombres Tangente HISTOIRES par Marc Chemillier Les mathématiques dans les sociétés sans écriture Les mathématiques dans les sociétés sans écriture ne sontpas formalisées, mais certaines activités spécifiques comme les arts décoratifs du Vanuatu, la divination à Madagascar ou les polyrythmies africaines, sont assimilables à des mathéma tiques « naturelles ». Les mathématiques dans lescivi lever le doigt et sans repasser sur un lisations sans écriture mettent sillondéjàtracé,conditionquin'estrien en œuvredes « traces » (sillons d'autre que celle définissant un chemin creusés sur le sable, graines disposées eulérien dans un graphe. On sait sur le sol, etc.) sur lesquelles s'appuie qu'Euler (1707-1783) avait énoncé une la spéculation abstraite. L'étude des condition nécessaire et suffisante pour mathématiques contenues dans ces qu'un tel chemin existe : le nombre activitésdépassel'analysedes traces et d'arcs à chaque sommet doit être pair, examine les formes de rationalité qui saufdeux par lesquels le chemin com leurontdonné naissance. mence et finit. Ce théorème explique pourquoi on peut tracer une « enve Lesdessinssur lesabledu Uanuatu loppe »d'un seulcoup de crayon. L'ancienMuséedesArtsAfricains Les dessins sur le sable sont pratiqués etOcéaniens àParis avait proposé dans plusieurs régions du en 1997 une magnifique exposi monde. En Angola, ilexiste tion surles arts duVanuatu, archi une famille de dessins peldu Pacifiqueoù l'onvoyait des appelés « coq en photographies de belles formes fuite ». Lacontrainte éphémères tracées sur le sable est plus stricte celle (voir photographieci-contre) d'un chemin eulé rien : non seulement La tradition raconte que ces un segment déjà formes doivent être tracées sans tracé ne doit pas être Tangervte Hors-série n°33. Les nouveaux secrets des nombres DOSSIER : IMAGINER LES NOMBRES réutilisé,maisleslignesnedoiventpas La propriété mathématique d'asy- se touchersans croisement. métrie de cette séquence apparaît quand on la représente sur un cercle (le rythme est répété indéfiniment en boucle). , Si l'on essaie de cou- per le cercle en 2 deux à l'endroit Dans ces dessins, leréseau sous-jacent des notes, on s'aperçoit de points doit avoir un nombre qu'on ne peut le faire 2 impair de lignes et un nombre pair en deux parties de j de colonnes. Le dessin ci-dessus à mêmes durées, car il * 1 5ligneset6colonnesestmonolinéaire manque toujours une ^i (tracé avec une seule courbe), mais unité quel que soit le ^ celui à5 lignes et 10colonnes nel'est pointde partagechoisi. pas. Pourquoi ? Le mathématicien Cette propriété remar- 2 Paulus Gerdes amontré que siledes- quable est vérifiée par plu- ^ sin arespectivement 2m-r 1lignes et sieursrythmesd'Afriquecentrale. / 2n colonnes, alors le nombre de Dans les rythmes de la région, le courbes indépendantes nécessaires nombre d'unités du cercle n'est divi- pour le tracer est le plus grand com- sible que par une puissance de 2 et mundiviseur (pgcd)de (m-1-1,nH-1). éventuellement par 3, ce qui donne Ainsi, le dessin de gauche est bien 8, 12,16,24 (au-delà de24,laséquen- monolinéaire, pgcd(3, 4) = 1, mais ce est trop longue). Tous ces rythmes celui de droite est trilinéaire, asymétriques (sauf 1)sont utilisés chez pgcd(3, 6) = 3. Les artistes angolais les populations de la région (voir sont-ilsconscients deces propriétés ? tableau) ce qui suggère qu'une inten tion a suscité leurapparition. Les rythmesasymétriques d'HfrIque centrale niusique etcombinatoire des mots Les musiques des Ces rythmes sont des suites de 2 et Pygmées Aka, un de 3, c'est-à-dire des mots sur peuple de chas- l'alphabetA = {2, 3}. La combina seurs-cueilleurs toire des mots s'est développée vivant dans la sous l'impulsion de Marcel-Paul forêt tropicale au Schiitzenberger(1920-1996). Sud-Ouest de la Les rythmes asymétriques africains République cen forment une partiede A*, ensemble trafricaine, sont d'extraordinaires des mots sur A. On note e le mot enchevêtrements polyrythmiques vide et a, b deux fonctions de connus grâce aux travaux de A* XA* dansA* xA* définies par : l'ethnomusico-logue Simha Arom. a{u, v) = (3m,3v) et b(u, v) = (v, 2m). Elles sont souvent construites sur une L'ensemble des rythmes asymétriques structure rythmique asymétriquejouée estexactementl'ensembledes mots uv par des lames entrechoquées de ou VM tels que (m, v) est obtenu en machettes en fer. appliquantau couple(e, e)une succes- Hors-série n° 33. Les nouveaux secrets desnombres Tangen-te '1 7 il HISTOIRES Les mathématiques... sion dea etde è àcondition que b soit La diuination à IDadagascar appliquéun nombreimpairdefois. Par exemple, la succession abbb donne le ÀMadagascar,ledevinappelémpisiki- rythme 32322 : dy ou ombiasy, est à la fois celui qui abbb(E,e)=abb{e,2)=ab{2,2)=a{2,22) préditl'aveniret celui quiguérit etqui =(32, 322). résout les problèmes. Une difficulté apparaît dans Il maîtrise une technique de calcul rénumération des rythmes asymé consistant à disposer sur le sol des triques, car ils sont répétés indéfini tableaux de graines selon des règles ment en boucle, donc il n'y a pas de précises. raison de distinguerceux qui sedédui sent par une permutation circulaire. Les mots de Lyndon surmontent cette difficulté : parmi les permutations cir culaires d'un mot, on prend la premiè re dans l'ordre alphabétique. Par exemple, abbb est le mot de Lydon associé à abbb, bbba, bbab, babb. On obtient ainsi des solutions uniques « à une permutation circulaireprès ». Il reste que le calcul « à une permuta tion circulaireprès »doit être faitsur la séquence de 2 et de 3, et non sur celle de a etde b. Oron a lachance d'avoir cette propriété surprenante:lespermu tations circulaires d'un rythme asymé trique sont exactement les rythmes obtenus avec les permutations circu m laires de la suite de a et de è qui l'a engendré. Par exemple, le rythme 22323 (permutation circulaire de 32322) s'obtient avec bbba (permuta tion circulaire de abbb) : Rythmes bbba{t, e) = bbbO, 3) = bbO, 23) asymétriques = bi23, 23) = (23, 223). Les tableaux sont formés d'éléments dansles régions valant 1graineou 2graines.La matrice d'Afrique mère est la partie supé Nombrede3 Somme Transformation Rythme Groupeethnique rieure du tableau, un 8 ah 332 Zande carré de 4 lignes et 2 12 abbb 32322 Aka,Gbaya.Nzakara 4 colonnes. Les colonnes 16 abhbb 3223222 Gbaya,Ngbaka fdles sont la partie 24 abbbbbbbbb 32222322222 Aka inférieure du tableau : 4 16, 24 impossible 8 colonnes de 4 éléments 24 aaabbh 333233322 non utilisé calculés à partir de la 6 24 aababb 333233232 Aka(mokongo) matrice mère en appli 24 aabbab 333232332 rétrogradedelaprécédente quantlarègled'addition: 8 Tangente Hors-série n°33. Les nouveaux secrets des nombres DOSSIER : IMAGINER LES NOMBRES 1 + 1= 2 + 2 = 2, 1+2 = 2+1 = 1. Nord = 1222, 2212, 1112, 1212 ; L'ordre de génération des filles est Ouest = 2221, 1211, 1221, 2121, celui du tableau ci-dessous avec un 2111 ; =2122,2211,2112 vocabulaireadapté : Sud =2222, 1111, 1122, 1121. Une autre population, les Antemoro, utilise un classe mentdifférent. Génération1 P=P+P Génération2 Générations3et4 12 10 14 Lespositionssontles4colonnesP^,P^, La tradition arabe, dont dérive la géo f3, P4etles4lignesfj, Pg,Py,Pgdela mancie malgache, comporte aussi des matrice mère, ainsi que les 8 colonnes répartitions des seize figures en quatre filles,soient 16positions (leslignessont classes, appelées tasakîn. Voici un lues dedroite àgauche, c'est-à-direque classement arabe en lapremièrelignePj ci-dessusest2211). points cardinaux datant Les figures sont les suites de quatre du XV® siècle (schéma éléments que l'on peut former avec ci-contre). I graineou2graines, ilyena2^*=16, mais les 16 possibilités ne sont pas Certainstableauxappelés toutes obtenues dans un tableau. toka ou fohatse ont un II est très remarquable que les devins grand pouvoirsur leplan soient capables de construire les filles symbolique : Toka (ou mentalement (sans les matérialiser tokan-tsikidy) sont les avec lesgraines)et, de plus,ils peuvent tableaux dans lesquels - l'undespointscardinaux ^ le faire sans respecter l'ordre de géné ration des filles, parexemple de droite n'est représenté qu'une seule fois à gauche, c'est-à-dire en commençant parmi les seizepositions du tableau. par celle de quatrième génération. Fohatse sontles tableauxdans lesquels Commentfont-ils ce calcul ? l'unedes figures estrépétée unnombre Différents classements des figures defois supérieur à 8. Le tableau plus interviennent dans l'activité du devin- haut estfohatse avec 2211 guérisseur ; répété neuffois (2 lignes et Princes, esclaves:Les 8figuresavec un 2colonnesmère,5colonnes nombre pair de graines sont appelées fille). «princes », les 8autres «esclaves ». Le devin construit ces Points cardinaux : Il existe plusieurs tableaux sur la natte, puis classifications des figures en points isole les figures qui les ren cardinaux. La suivante est pratiquée dent toka ou fohatse et les chez les Antandroy, l'une des popula recouvre d'une poudre qui tions de Madagascar ; serviraensuitede talisman. photo©LantoRaonlzanany Hors-série n° 33. Les nouveaux secrets des nombres Tangente
The list of books you might like
