Les matrices à signes alternants et le groupe quantique Uq(sl2hat)

30 Pages·2017·0.588 MB·French

by  Adrien Dauphin

Les matrices (cid:224) signes alternants et le groupe quantique U (s(cid:99)l )
q 2
Adrien DAUPHIN
Table des matiŁres
1 Introduction 2
1.1 DØnombrement de matrices (cid:224) signes alternants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 StratØgie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 IdentitØs gØnØriques 4
2.1 Premier pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 ThØorŁme de Yang-Baxter ou relation triangle-Øtoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Calcul de la fonction de partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Groupes quantiques et Øquation de Yang-Baxter 12
3.1 AlgŁbre de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 DØ(cid:28)nition et quelques reprØsentations de U (sl ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
q 2
3.3 Construction et dØ(cid:28)nition de Uq(s(cid:99)l2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Les R-matrices entre modules irrØductibles de dimension 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 ThØorŁme de Yang-Baxter avec les R-matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.6 DeuxiŁme preuve du thØorŁme 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 SpØcialisation de la fonction de partition Z(n;X,Y) 24
4.1 Relation entre A(n) et Z(n;X,Y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Fin de la dØmonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1
Chapitre 1
Introduction
1.1 DØnombrement de matrices (cid:224) signes alternants
DØ(cid:28)nition 1.1. Une matrice (cid:224) signes alternants, ou ASM, de taille n est une matrice carrØe de taille
n, composØe de 0, 1 et −1, telle que :
(cid:21) la somme de chaque ØlØment d’une ligne ou d’une colonne est Øgale (cid:224) 1.
(cid:21) les signes des ØlØments non-nuls d’une ligne ou d’une colonne alternent.
On note A(n) le nombre des ASM de taille n.
Exemple 1.2. Voici un exemple d’une ASM de taille 4 :
 
0 1 0 0
1 −1 1 0
 
0 0 0 1
0 1 0 0
Remarque 1.3. Les matrices de permutations sont des ASM particuliŁres, en e(cid:27)et ce sont des ASM
sans termes nØgatifs. On peut donc dØj(cid:224) a(cid:30)rmer que :
n!≤A(n).
Remarque 1.4. LadØ(cid:28)nition1.1impliquequelepremieretledernierØlØmentsnon-nulsdechaqueligne
etchaquecolonnesontØgaux(cid:224)1.PlusparticuliŁrementaucunØlØmentdelapremiŁreetladerniŁreligne
et de la premiŁre et derniŁre colonne ne seront Øgaux (cid:224) −1. Ainsi, il n’y aura qu’un seul ØlØment non-nul,
et Øgal (cid:224) 1, dans chacune de ces lignes et colonnes particuliŁres.
ThØorŁme 1.5 (Zeilberger). Le nombre d’ASM de taille n est Øgal (cid:224) :
n−1
(cid:89) (3k+1)! 1!4!7!···(3n−2)!
A(n)= = .
(n+k)! n!(n+1)!···(2n−1)!
k=0
Les premiŁres valeurs seront : A(1) = 1, A(2) = 2, A(3) = 7, A(4) = 42, A(5) = 429, A(6) =
7436...On remarque donc que la suite tend rapidement vers l’in(cid:28)ni, d’oø l’impossibilitØ de compter les
ASM (cid:224) la main. Ainsi le but de ce mØmoire sera de donner une des dØmonstrations de ce thØorŁme, celle
de Greg Kuperberg ([3]), et d’expliquer d’oø viennent certains rØsultats au (cid:28)l de la dØmonstration.
1.2 StratØgie
DØ(cid:28)nition 1.6. Une con(cid:28)guration de glace carrØe, ou square ice, de taille n est une orientation sur
les arŒtes d’une grille carrØe de c(cid:244)tØ n, dans laquelle chaque sommet a exactement deux arŒtes entrantes
et deux arŒtes sortantes, les arŒtes horizontales extØrieures pointent (cid:224) l’intØrieur et les arŒtes verticales
extØrieures pointent (cid:224) l’extØrieur.
2
En fait dans une telle con(cid:28)guration, comme chaque sommet a exactement deux arrŒtes entrantes
et deux sortantes, on a exactement (cid:0)4(cid:1) = 6 orientations possible pour un sommet, c’est-(cid:224)-dire les 6
2
con(cid:28)gurations locales suivantes :
1 2 3 4 5 6
Le six-vertex model est l’ensemble des graphiques (nommØs Øtats ou states) oø chacun de ses sommets
est comme ci-dessus et a(cid:27)ectØ d’un coe(cid:30)cient.
On admet la proposition suivante :
Proposition1.7. Onpeutconvertirunecon(cid:28)gurationdeglacecarrØeenuneASM,parlacorrespondance
suivante :
1 −1 0 0 0 0
Cette conversion est bijective.
En particulier le nombre des ASM de taille n, A(n), est Øgal au nombre de con(cid:28)gurations de glace
carrØe de taille n.
 
0 1 0 0
1 −1 1 0
=⇒  
0 0 0 1
0 1 0 0
Figure 1.1 (cid:21) Une con(cid:28)guration de glace carrØe et l’ASM correspondante
Par la suite, on va considØrer les con(cid:28)gurations de glace carrØe comme des six-vertex models, c’est-(cid:224)-
dire que chaque sommet de la con(cid:28)guration sera a(cid:27)ectØ d’un poids w(x,i) dØpendant d’un paramŁtre x
et de sa con(cid:28)guration locale i parmi l’une des six possibles :
x x x x x x
w(x,1) w(x,2) w(x,3) w(x,4) w(x,5) w(x,6)
On dØ(cid:28)nit le poids total d’un Øtat, en particulier d’une con(cid:28)guration de glace carrØe, comme le produit
des poids de tous ses sommets. On s’intØressera (cid:224) la somme des poids de toutes les con(cid:28)gurations pour
une certaine taille n, ce qui dØ(cid:28)nit une fonction appelØe fonction de partition, dØpendante des choix des
coe(cid:30)cients de chaque con(cid:28)guration locale et de la fonction de poids. Par un bon choix de ces derniers,
on dØ(cid:28)nira une fonction dØpendante de plusieurs paramŁtres qu’on spØcialise aprŁs de sorte (cid:224) trouver le
nombre de con(cid:28)guration de glace carrØ, et particuliŁrement des ASM’s.
3
Chapitre 2
IdentitØs gØnØriques
Dans cette partie, on donne la premiŁre partie de la preuve de G. Kuperberg. Il s’agit de calculer la
fonction de partition dØ(cid:28)nie prØcØdemment avec un bon choix du poids de chaque con(cid:28)guration locale,
cette fonction dØpendra seulement du choix de la taille n et de 2n indØterminØes associØes aux lignes et
colonnes de toutes con(cid:28)gurations de glace carrØe de taille n.
2.1 Premier pas
SoithunnombrecomplexeouuneindØterminØe.Onposeq =eh et[x]= qx/2−q−x/2.Toutaulongde
q1/2−q−1/2
ce chapitre, nous allons nous intØresser aux polyn(cid:244)mes de Laurent demi-entiers, c’est-(cid:224)-dire les ØlØments
de A[t1/2,t−1/2], oø A est un anneau, tel que la di(cid:27)Ørence entre deux exposants est un entier. Donc P
est un polyn(cid:244)me de Laurent demi-entier (cid:224) coe(cid:30)cient dans A si P ou t1/2P est un polyn(cid:244)me de Laurent
(P ∈A[t,t−1] ou t1/2P ∈A[t,t−1]). Ainsi, pour q (cid:28)xØ, [x] est un polyn(cid:244)me de Laurent demi-entier en qx
(cid:224) coe(cid:30)cients dans A=Q(q).
Remarque 2.1. Si x est un entier positif, on a :
(cid:16) (cid:17)
[x] = qx/2−q−x/2 =q1−2x qx−1
q1/2−q−1/2 q−1
= q1−2x (cid:0)qx−1+qx−2+···+q0(cid:1)
= qx−21 +qx−23 +···+q−x−21.
Ainsi pour q −→ 1 (h −→ 0), on obtient [x] −→ x. On peut gØnØraliser cette limite pour x quelconque,
par un dØveloppement limitØ de [x] pour h petit :
ehx/2−e−hx/2
[x] =
eh/2−e−h/2
hx+o(h2)
=
h+o(h2)
= x+o(h).
DØ(cid:28)nition 2.2. On nomme R-matrice de x, notØ R(x), le sommet dØsignØ par x :
x
qui dØ(cid:28)nit l’ensemble des poids suivants :
−q−x/2 −qx/2 [x−1] [x−1] [x] [x]
4
Les poids ci-dessus sont invariants par rotation de 180(cid:6), d’oø :
x
=
x
Remarque 2.3. On Øtend la dØ(cid:28)nition 2.2 (cid:224) des con(cid:28)gurations locales oø l’on a des arcs de cercles au
lieud’arŒtesquisecoupenttransversalement.C’est-(cid:224)-dire,partantd’unerØuniondecourbesnonorientØe,
on attribue un poids (cid:224) chaque choix d’orientation des extrØmitØs de courbes. Ainsi si p est le sommet
dØsignØ par x, on pose les conventions suivantes sur les arcs en p :
(cid:21) si la tangente en p est verticale et bien orientØe, le poids associØ (cid:224) l’arc est 1;
1
(cid:21) si la tangente en p est horizontale et orientØe vers la droite, le poids associØ (cid:224) l’arc est 1;
1
(cid:21) silatangenteenpesthorizontale,orientØeverslagaucheetsilaconcavitØdel’arcestverslehaut,
le poids associØ (cid:224) l’arc est −q−1/2;
−q−1/2
(cid:21) si la tangente en p est horizontale, orientØe vers la gauche et si la concavitØ de l’arc est vers le bas,
le poids associØ (cid:224) l’arc est −q1/2;
−q1/2
(cid:21) silatangenteenpestmalorientØe,c’est-(cid:224)-direqu’ellepossŁdelesdeuxorientations,lepoidsassociØ
(cid:224) l’arc est 0.
0
Avec les conventions prØcØdentes on peut exprimer R(x) de la fa(cid:231)on suivante :
=[x] +[x−1]
x
Par exemple, on a bien l’ØgalitØ suivante :
=[x] +[x−1]
x
−qx/2 =[x](−q1/2×1) +[x−1](1×1)
Cette extension nous permet aussi d’Øtablir deux autres relations :
= = =−q1/2−q−1/2 =−[2]
5
2.2 ThØorŁme de Yang-Baxter ou relation triangle-Øtoile
ThØorŁme 2.4 (Yang-Baxter). Si x=y+z, les R-matrices R(x), R(y) et R(z) satisfont (cid:224) l’ØgalitØ :
y
x
z = z
x
y
Onvatoutd’abordvoirlesensdecethØorŁme,aussiappelØlarelationtriangle-Øtoile(oudelta-star).
C’est en fait une ØgalitØ sur les di(cid:27)Ørentes fonctions de partition possibles (cid:224) partir de ces deux graphes.
C’est-(cid:224)-dire que si l’on oriente les six arŒtes extØrieures de la mŒme fa(cid:231)on pour le graphique de gauche
que celui de droite, on a ØgalitØ des fonctions de partitions. Par exemple, voici l’une de ces ØgalitØs :
y
x
z = z
x
y
qui nous donne la relation suivante aprŁs avoir trouvØ tous les Øtats possibles de ces deux graphes :
(−qx/2)(−q−y/2)[z]−qz/2[x−1][y]=−qz/2[x][y−1]
L’ØgalitØ du thØorŁme rØsume 26 = 64 ØgalitØs. En fait 44 d’entre elles sont nulles car aucune de ces
orientations n’a un Øtat autorisØ par le modŁle de six-vertex, on ne peut vØri(cid:28)er ce dernier sur un tel
graphe que si l’on a autant d’arŒtes extØrieures pointant vers l’intØrieur que vers l’extØrieur. On a donc
(cid:0)6(cid:1)=20ØgalitØsnonØvidentes,etenfaitona10ØgalitØsrØpØtØesdeuxfoisparinvarianceparrotationde
3
180(cid:6)desdeuxgraphes.OnpourraitvØri(cid:28)ercesØgalitØs(cid:224)lamain,maisgr(cid:226)ceauxformulesdelaremarque
2.3, on va rØduire le calcul (cid:224) une seule ØgalitØ.
DØmonstration. On va tout d’abord rØarranger l’ØgalitØ comme ceci :
z y
x
=
x
y z
Ils’agitdoncdeprouverunerelationd’invarianced’undesdeuxgraphesparrotationde180(cid:6).Partonsdu
graphedegauche:onledØcoupeenrempla(cid:231)ant,gr(cid:226)ceauxrelationsdelaremarque2.3,unecon(cid:28)guration
locale oø deux arŒtes se croisent par une somme de deux con(cid:28)gurations non croisØes. AprŁs calculs, on
trouve :
6
z
(cid:16) (cid:17)
= [x][y][z]+[x−1][y][z−1]+[x−1][y−1][z]−[2][x−1][y][z]
x
y
+[x][y−1][z−1] +[x][y−1][z]
+[x−1][y−1][z−1] +[x][y][z−1]
Les trois derniers termes sont invariants par rotation par 180(cid:6)pour tout x, y et z, tandis que les graphes
des deux premiers termes sont ØchangØs par cette rotation. Il nous reste donc (cid:224) prouver que le coe(cid:30)cient
de ces deux graphes sont Øgaux si x=y+z, c’est-(cid:224)-dire que
[x][y][z]+[x−1][y][z−1]+[x−1][y−1][z]−[2][x−1][y][z]=[x][y−1][z−1].
D’autre part, par un calcul immØdiat, on a [−a]=−[a] et
[a][b]−[a+1][b−1]=[a−b+1]
pour a et b quelconques. Ainsi, si x=y+z :
[x−1][y][z−1]+[z][x][y]+[z][x−1]([y−1]−[2][y]) = [x−1][y][z−1]+[z][x][y]−[z][x−1][y+1]
= [x−1][y][z−1]+[z]([x][y]−[x−1][y+1])
= [x−1][y][z−1]+[z][y−x+1]
= [x−1][y][z−1]−[x−y][z−1]
= [x][y−1][z−1].(cid:3)
2.3 Calcul de la fonction de partition
Par commoditØ, posons la notation suivante :
x =
x−y
y
de sorte (cid:224) a(cid:27)ecter des paramŁtres aux lignes et colonnes des con(cid:28)gurations de glaces carrØs plut(cid:244)t qu’(cid:224)
chaque sommet.
DØ(cid:28)nition 2.5. On pose Z(n;X,Y) la fonction de partition des con(cid:28)gurations de glace carrØe de taille
n a(cid:27)ectØes des coe(cid:30)cients X = (x ,...,x ) aux lignes horizontales et Y = (y ,...,y ) aux lignes
0 n−1 0 n−1
verticales, en d’autre termes, pour les con(cid:28)gurations de glace carrØe de cette forme :
x0 ...
x1 ...
... ... ... ...
xn−1 ...
y y y
0 1 n−1
7
Lemme 2.6. La fonction Z(n;X,Y) est symØtrique en les x et en les y .
i i
DØmonstration. On va s’intØresser aux ligne i et i+1. On introduit un sommet a(cid:27)ectØ du coe(cid:30)cient
x −x par la gauche de la con(cid:28)guration, ce dernier ne pourra prendre qu’une seule des 6 orientations
i+1 i
possibles, qui est a(cid:27)ectØe du poids [x −x ], d’oø aprŁs correction de l’exposant dans [3] :
i+1 i
xi ... xi+1 ...
[x −x ] =
i+1 i xi+1 ... xi ...
Par suite, en utilisant le thØorŁme 2.4, on obtient :
xi+1 ... xi+1 ... xi+1 ...
= =...=
xi ... xi ... xi ...
De mŒme, le sommet a(cid:27)ectØ du coe(cid:30)cient x −x dans la derniŁre ØgalitØ ne peut prendre qu’une des
i+1 i
6 orientations possible, aussi a(cid:27)ectØe du poids [x −x ], d’oø :
i+1 i
xi ... xi+1 ...
=
xi+1 ... xi ...
ce qui prouve que Z(n;X,Y) est symØtrique en x et x pour tout i, or on sait que les transpositions
i i+1
(i,i+1) engendrent S , donc Z(n;X,Y) est symØtrique en tout les x . Le mŒme argument est utilisØ
n i
pour la symØtrie en les y . (cid:3)
i
Lemme 2.7. Si x =y +1, alors
i j
  
(cid:89) (cid:89)
Z(n;X,Y)=−q−1/2 [xi−yk] [xk−yj]Z(n−1;X\xi,Y\yi).
k(cid:54)=j k(cid:54)=i
DØmonstration. Ons’intØressed’abordaucasi=j =0,onsupposedoncx =y +1.Lacon(cid:28)guration
0 0
x
0
y
0
ne peut prendre que deux orientations possibles, dont on calcule le poids :
x0 =−q−(x0−y0)/2 =−q−1/2
y
0
x0 =[x0−y0−1]=0
y
0
Toutecon(cid:28)gurationdeglacecarrØedontlesommetdelignex etdecolonney quisuitlasecondeorien-
0 0
tationci-dessussera doncdepoidsnul.D’autrepart, sicederniersommetestdela premiŁre orientation,
tout sommet de la ligne de x et de la colonne de y de poids non nul, pour k (cid:54)=0, aura pour orientation
k 0
8
donc a(cid:27)ectØ du poids [y −x ]. De mŒme, tout sommet de la ligne x et de la colonne de y , pour k (cid:54)=0,
0 k 0 k
sera de la forme
donc a(cid:27)ectØ du poids [y −x ]. De plus, par l’orientation des sommets de la ligne x et de la colonne y ,
k 0 0 0
les con(cid:28)gurationsrestreinteaux lignes X\x et auxcolonnes Y\y sont toutes lescon(cid:28)gurations de glace
0 0
carrØe de la fonction de partition Z(n;X\x ,Y\y ). On obtient donc :
0 0
  
(cid:89) (cid:89)
Z(n;X,Y)=−q−1/2 [x0−yk] [xk−y0]Z(n−1;X\x0,Y\y0).
k(cid:54)=0 k(cid:54)=0
Le cas gØnØral s’obtient par symØtrie gr(cid:226)ce au lemme 2.6. (cid:3)
Lemme 2.8. L’ØlØment qnx0Z(n;X,Y) est un polyn(cid:244)me en qx0 de degrØ au plus n−1.
DØmonstration. Dans chaque con(cid:28)guration de glace carrØe, seuls les sommets de la ligne x , c’est-(cid:224)-
0
dire la premiŁre ligne, font appara(cid:238)tre des termes en qx0/2, c’est-(cid:224)-dire n sommets. De plus, (cid:224) la ligne
x , il ne peut y avoir que 3 con(cid:28)gurations di(cid:27)Ørentes : les con(cid:28)gurations 1,3 et 5 de la dØ(cid:28)nition 1.6. La
0
con(cid:28)guration 1, c’est (cid:224) dire
appara(cid:238)t exactement une fois, la premiŁre ligne sera en fait de la forme suivante pour i convenable :
x ··· ···
0
y y y y y
0 i−1 i i+1 n
Ce dernier point peut s’expliquer par la remarque 1.4, c’est-(cid:224)-dire que sur la premiŁre ligne d’une ASM,
on n’a qu’un 1 et n−1 zØros. D’autre part, le poids de la con(cid:28)guration 1 est de la forme −q(yi−x0)/2 et
(cid:16) (cid:17)(cid:16) (cid:17)
−qx0/2 −q(yi−x0)/2 =−qyi/2
est un polyn(cid:244)me constant. Tandis que le poids des deux con(cid:28)gurations 3 et 5 sont de la forme [x −y ]
0 i
ou [x0 −yi −1] et qx0/2[x0 −yi] ou qx0/2[x0 −yi −1] sont des polyn(cid:244)mes de degrØ 1 en qx0. Le poids
d’une con(cid:28)guration de glace carrØe de taille n a(cid:27)ectØ des coe(cid:30)cients X et Y auquel on multiplie −qnx0/2
est donc un polyn(cid:244)me de degrØs n−1 en qx0, ainsi la fonction de partition Z(n;X,Y) est la somme de
polyn(cid:244)mes de degrØ n−1. (cid:3)
ThØorŁme 2.9 (Izergin,Korepin). La fonction de rØpartition Z(n;X,Y) est donnØe par
(cid:16)n−1 (cid:17)(cid:16) (cid:17)
(−1)n (cid:81) q(yi−xi)/2 (cid:81) [xi−yj][xi−yj −1]
i=0 0≤i,j<n
Z(n;X,Y)= detM,
(cid:16) (cid:17)(cid:16) (cid:17)
(cid:81) (cid:81)
[x −x ] [y −y ]
i j i j
0≤j<i<n 0≤i<j<n
oø M est la matrice carrØe de taille n dont les coe(cid:30)cients sont :
1
M = .
i,j [x −y ][x −y −1]
i j i j
DØmonstration. OnnommeraZ(cid:48)(n;X,Y)lemembrededroite,DledØterminantdeM,P lenumØrateur
et Q le dØnominateur de sorte que
P
Z(cid:48)(n;X,Y)= D.
Q
9