les mathematiques appliquees a la prevision du temps

25 Pages·2007·1.71 MB·French

LES MATHEMATIQUES APPLIQUEES A LA
PREVISION DU TEMPS
Quelques défis mathématiques en modélisation de l’atmosphère
Jean PAILLEUX
Météo-France (CNRM)
42 avenue G. Coriolis
31057 Toulouse Cedex 1
[email protected]
Journée « Mathématiques et
environnement »
Institut Henri-Poincaré Paris
29 mars 2007
Trois défis mathématiques en
prévision du temps
• L’intégration des équations d’Euler
appliquée à l’atmosphère
(largement résolu depuis
30 ans)
• Le contrôle optimal et l’assimilation des
données en météo
(largement résolu depuis 10 ans)
• Assimilation de données de type image ou
objet
(pas résolu)
La modélisation de
l’atmosphère…
….s’appuie sur des modèles numériques intégrant les
équations générales de l’hydrodynamique:
• Équation du mouvement(Newton)
• Équation de continuité
• Thermodynamique
• Équation des gaz parfaits
• (Equations de bilans de constituants: vapeur d’eau, eau liquide,
ozone, etc…)
Équations en météorologie
r
r r
dV r 1
• = g − grad p - 2 Ω ∧ V + F
f
dt ρ
r 1 dρ
• Div V + = 0
ρ dt
• dU(T) = δU + δQ (Travail + Chaleur)
• p = ρRT
dq
• = Evaporation - Précipitation
dt
r
V(u, v, w) = vecteur vitesse
P : pression
ρ: densité
U : énergie interne
T : température
q : concentration en vapeur d’eau
Principe d’un modèle numérique
ETAT DE EQUATIONS
PREVISION
L'ATMOSPHERE D'EVOLUTION
CALCUL
RESEAU CARTE
et
de de
ORDINATEUR
MESURE CHAMP PREVU
Jour J J+10 jours
12h UTC 12h UTC
t
t t +Δt
f
o o
Richardson en 1916
Schéma numérique d’avance
temporelle
Δt le plus long possible
Δt ≤ k.Δx (Stabilité numérique)
Eulérien → Semi-Lagrangien
Équations en météorologie
r
dV Approche }
=
L
dt
Lagrangienne
NAVIER
dT
=
L
dt
(ou particulaire)
STOKES
r
∂V
=
L
∂t Approche
∂T
= Eulérienne
L
∂t
Approximation Hydrostatique
dp = -ρg dz = -ρ dΦ
∂u ∂q
= L = L
∂t ∂t
∂v = L ∂ps =
∂t ∂t L
∂T
=
L
∂t
REPRESENTATION D’UN
CHAMP X(_,_) SUR LA SPHERE
EN POINTS DE GRILLE
X
ij, i=1,..
j=1,..
EN SPECTRAL
n
X(_,_) = __a mY m(_,_)
n n
nm
:

N m

HARMONIQUES SPHERIQUES

P m(sin_). eim_
(Legendre/Fourier)
n
_Y m = k mY m
n n n
Un enjeu pour les modèles spectraux:
des transformées de Fourier et des
transformées de Legendre rapides