Les graphes : Représenter les données et les stratégies

172 Pages·2015·55.485 MB·French

by  Collectif

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Bibliothèque
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L'aventure ?nat'ké?natiq"e
Tangente Hors-série n° 54
les graphes
Représenter les données
et les stratégies
i;DITIONS ~
POLE ~
© Éditions POLE - Paris - Juin 2015
Toute représentation, traduction, adaptation ou reproduction, même partielle, par tout procédé, ur
quelque support que ce soit, en tout pay , faites sans autorisation préalable, est illicite et exposerait le
contrevenant à des pour uite judiciaire (loi du 11 mars 1957).
ISBN: 9782848841366 ISSN: 2263-4908 Commission paritaire: 1016K80883
Prochaineinent
dans la Bibliothèque Tangente
EDITIONS.
POLE
les graphes
Les onze états du taureau de Picasso
Tous les chemins mènent à Konigsberg
DOSSIER
Quelques points et des traits pour les relier suffisent à
créer un graphe. Une idée aussi simple se devait
d'engendrer un monde foisonnant d'objets : les idées
les plus élémentaires sont souvent les plus riches !
Les graphes planaires
Quand les chemins ne se croisent pas
Gardons le sens de l'orientation et restons pondérés!
Obstruction et stabilité
Les matrices entrent en scène
Le graphe de l'amitié et le moulin à vent
Des arbres au secours des probabilités
Des graphes et des surfaces à partir d'un carré
Le théorème des mineurs
Des diagrammes pour la physique
Le théorème des quatre couleurs
Colorier, un défi innocent et redoutable
Le théorème des graphes parfaits
Cliques et théorème de Turân
La formule d'Euler et les solides de Platon
Le polyèdre de Czâszâr, un monstre topologique
Diagrammes de Schlegel :
les polyèdres sont des graphes !
I •I •k }i i4 , 1
Des applications à la ule quotidienne
De par leur structure purement topologique, les
graphes sont un puissant outil d'aide à la décision. Ils
sont utiles pour planifier et ordonnancer les tâches
dans une chaîne de production, gérer les priorités dans
un projet, ou hiérarchiser les étapes dans une suite
d'instructions informatiques ...
La fourmi et le problème du voyageur de commerce
Un projet dans le bon ordre, la méthode PERT
L'algorithme de Dijkstra
Quand le chemin se joue aux dés
(suite du sommaire au verso)
Un problème de téléphonie mobile
Des arbres pour faire passer les trains
Comment éviter les bouchons
Un arbre pour le théâtre
Entre sens et texte
Les livres dont vous êtes le héros
l •X•t}i i4 , 1
Dans l'informatique
Que serait la théorie des graphes aujourd'hui sans
l'informatique ? Qu'il s'agisse de trier des données, de
compresser des fichiers ou de rechercher un mot dans
un texte, on retrouve partout une structure de graphe
dans un ordinateur.
Parler à son ordinateur
Retrouver un mot dans un texte
Les réseaux de neurones
Des listes autrement qu'en ligne
Des arbres à compresser
DOSSIER
La théorie des graphes permet de comprendre, voire
de résoudre une grande quantité de jeux de réflexion
ou de jeux mathématiques et logiques, parfois de
manière inattendue (voir à ce sujet le numéro 46 de la
Bibliothèque Tangente). A contrario, les graphes
peuvent être à la source d'une catégorie de
récréations dont les plus classiques sont des
problèmes de labyrinthes.
Arbres, jeux et stratégies
Graphes sur échiquier
Algorithmes en graphes
Graphes et labyrinthes
Résoudre des énigmes à l'aide des graphes
Jeux et problèmes
Solutions
En bref
Glossaire
Tcingente Hors-série n°54. Les graphes
par Bertrand Hauchecorne EN BREF
Une origine anglaise: c'est graphe, docteur?
Tour de télégraphe Chappe à Marly-le-Roi.
Il peut paraître urprenant que le mot graphe soit apparu dans notre langue assez récemment, vers
xx:e
le début du iècle, et qu'il nou vienne ... de l'anglais. Pourtant, ce terme e retrouve comme
seconde partie de mot beaucoup plu anciens. Ainsi «orthographe» voit le jour à la Renaissance ;
ile t calqué sur un homonyme latin orthographia, à une époque où l'on devient soucieux d'une écri
ture acceptée par tous. Le mot « télégraphe », pour sa part, est créé en 1792 pour désigner un appa
reil pouvant tran mettre graphiquement des signaux. Leur suffixe commun est bien sûr issu d'une
racine grecque, graphein, qui signifie «écrire » ; le terme graphê désigne quant à lui tant l'écriture
que ce qui est écrit.
Si l'on en croit le Dictionnaire historique de la langue française dirigé par Alain Rey, le mot graph
apparaît en anglais comme abréviation de graphicformula d'abord dans le langage de la chimie. On
le trouve utilisé en mathématiques ver 1880. Cependant, sa première atte tation dan notre langue
daterait seulement de 1926. Son utilisation devient alors courante pour désigner la repré entation gra
phique d'une fonction.
L'émancipation de la théorie des graphes comme di cipline autonome.juste avant la Seconde Guerre
mondiale, donne une nouvelle jeune e à ce terme, avec comme point de départ le livre du mathé
maticien hongrois Déne Kônig, Theorie der endlichen und unendlichen Graphen, paru en 1936.
Cet ouvrage est uivi en 1958 de celui de Claude Berge, Théorie des graphes et ses applications.
Le mathématicien français introduit peu après la notion et le terme « hypergraphe».
De nos jour , le mot graphe, par-delà e acceptions mathématique , est devenu un terme courant,
montrant que la science concourt elle aussi à enrichir la langue.
Hors-série n• 54. Les graphes Tcingente
PASSERELLES
par Benoit Rittaud
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les onze états du taureau
de Picasso
C ette double page présente une érie de onze Il est frappant de constater à quel point cette suite de
lithographies de Pablo Picasso, réalisées dessins peut se lire comme une métaphore du pro
entre le 5 décembre 1945 et le 17 janvier cessus qui a conduit Euler à inventer la notion de
1946 (la suite chronologique se lit de haut en bas, graphe. Dans cette analogie, le premier taureau repré
colonne par colonne, à partir de la gauche). sente la ville de Konigsberg et ses sept ponts.
Tc:ingente Hors-série n°54. Les graphes
devoir passer par la géométrie. Les recherches
'orientent donc de ce côté-là : c'est l'irruption des
triangles à partir du quatrième taureau. Mais le
problème est fuyant : les triangles, figures cen
trales et emblématiques de la géométrie euclidien
ne, se tournent et se retournent sans parvenir à la
solution. Progressivement, ils cèdent du terrain :
au neuvième taureau, ils doivent disparaître. Éti
rés, comprimés, tordus, ils ne résistent pas à la
poussée unificatrice qui se met en place et qui
verra l'avènement de la topologie. Le derniers
Une figure rassurante, bien identifiée, tout comme taureaux achèvent le travail d'élaboration de la
celui du plan de Konigsberg avec sa petite île et sa nouvelle structure permettant de comprendre le
rivière, que l'on imagine tranquille. problème sous un jour nouveau : la notion de
Et puis le problème surgit : la question des sept graphe est née. Ain i, loin de montrer une dispa
ponts rend brusquement le plan de Konigsberg beau rition progressive, la démarche de l'arti tee t au
coup plus déroutant. Le calme de la figure cède la contraire celle d'une création.
place à la controverse : les deuxième et troisième tau
reaux, presque monstrueux, se mettent ainsi en L'œil de Picasso et celui d'Euler ont chacun tiré
parallèle avec la confusion mentale qui règne dan les d'une image quotidienne quelque chose de radicale
esprits de ceux qui s'attaquent dése pérément au pro ment nouveau. Après s'être immergé dans leur
blème des sept ponts. façon de voir, plus rien ne peut paraître comme
avant.
Pui que le plan de Konig berg est une figure plane,
une approche mathématique du problème semble B.R.
Hors-série n°54. Les graphes Tangente
HISTOIRES par Benoît Rittaud
Tous les chemins mènent à
Ktin igsberg
L'acte de naissance de la théorie des graphes est une question
toute simple, presque une devinette à laquelle s'attelaient sans
succès les habitants de Konigsberg. A la clé, une notion
mathématique qui allait essaimer dans bien d'autres domaines.
I l n'est pas très fréquent que l'in xv111e siècle), un problème se discutait
troduction d'une notion mathéma beaucoup chez les habitants de la ville
tique passe par l'exposition du de Kê:inigsberg, aujourd'hui Kaliningrad
premier problème qui lui a fait voir le (en Ru ie, proche de la Pologne et de
jour : d'ordinaire, les développements la Lituanie). La ville, construite autour
et simplifications ultérieure font qu'il de la rivière Pregel, possédait alors sept
devient difficile de reconnaître, sous ponts, selon le plan ci-contre.
les multiple couches de perfectionne La question était de savoir comment un
ments successifs, la question initiale voyageur pouvait visiter le ept ponts
d'une théorie. en traversant chacun d'eux, dans un
À l'opposé de cette règle, l'histoire des ordre quelconque et sou la seule contrainte
ept ponts de Kê:inigsberg est un véri de ne jamais passer deux fois ur le
table pa sage obligé pour la théorie des même pont.
graphes. Plus de deux siècles après cette
jolie histoire, il est difficile de trouver Un uoyageur économe de son temps
Les sept ponts un ouvrage de base sur les graphes qui
de Konigsberg. ne la mentionne pas au moins en passant. On ignore qui, au XVllle siècle, a eu l'idée
Or, donc, à l'époque du mathématicien de e poser la question des sept ponts de
suisse Leonhard Euler (c'e t-à-dire au Kê:inigsberg. Cet inconnu, sans le savoir,
a pourtant posé une question qui fut à l'ori
gine de deux nouvelles branches des
mathématiques.
La première de ces branches est deve
nue au xxe siècle l'une des disciplines
phares des mathématiques: la topologie.
L'aspect topologique de la question des
sept ponts est probablement son aspect
le plu révolutionnaire.
De quoi s'agit-il ? Eh bien, pour la pre
mière foi , on avait affaire à une ques-
Tangente Hors-série n°54. Les graphes