Les éléments finis

414 Pages·2012·7.4 MB·English

Les ´el´ements finis :
de la th´eorie `a la pratique
Andr´e Fortin
Professeur titulaire
D´epartement de math´ematiques et de statistique
Universit´e Laval
et
Andr´e Garon
Professeur titulaire
D´epartement de g´enie m´ecanique
E´cole Polytechnique de Montr´eal
©1997-2011
ii
Avant-propos
La r´esolution des ´equations diff´erentielles ou plus g´en´eralement des ´equations aux d´eriv´ees par-
tielles occupe une place importante en ing´enierie et en math´ematiques appliqu´ees. Chacune de ces
disciplines apporte une contribution diff´erente mais compl´ementaire a` la compr´ehension et a` la
r´esolution de tels probl`emes.
Il existe plusieurs techniques permettant de r´esoudre les ´equations aux d´eriv´ees partielles. On
pense par exemple aux m´ethodes de diff´erences finies, de volumes finis, aux m´ethodes spectrales,
etc. On peut sans aucun doute affirmer que la plus largement r´epandue est la m´ethode des ´el´ements
finis. Cette popularit´e n’est pas sans fondement. La m´ethode des ´el´ements finis est tr`es g´en´erale
et poss`ede une base math´ematique rigoureuse qui est fort utile, mˆeme sur le plan tr`es pratique.
En effet, cette base math´ematique permet de pr´evoir jusqu’a` un certain point la pr´ecision de notre
approximation et mˆeme d’am´eliorer cette pr´ecision, via les m´ethodes adaptatives.
Ce texte est donc une introduction a` la m´ethode des ´el´ements finis. Nous poursuivrons ainsi
deux objectifs. Bien suˆr, nous souhaitons introduire la m´ethode des ´el´ements finis et en donner
une description relativement classique. Mais notre principal objectif est d’en d´egager aussi les bases
math´ematiques plus fondamentales. On peut se demander s’il y a vraiment besoin de s’attarder
autant sur les aspects plus math´ematiques. La r´eponse nous est apparue de plus en plus ´evidente
au fur et a` mesure que se d´eveloppaient les multiples applications de cette m´ethode. Les notions
de convergence, de normes, d’espaces fonctionnels sont de plus en plus n´ecessaires pour aborder
les probl`emes modernes notamment en ce qui concerne les m´ethodes adaptatives, les m´ethodes
de stabilisation et le d´eveloppement de discr´etisations compatibles dans le cas de probl`emes a`
plusieurs variables comme les ´equations de Navier-Stokes ou les probl`emes de coques. Pour travailler
s´erieusement sur ces probl`emes, une connaissance superficielle de la m´ethode des ´el´ements finis ne
suffit plus et on doit aller plus en profondeur.
Il va de soi que poursuivre ces deux objectifs ne va pas sans difficult´es. Au risque de d´eplaire
a` tous, nous visons un auditoire assez vaste allant du d´ebutant au lecteur plus aguerri ayant d´eja`
une connaissance de base en ´el´ements finis.
Cet ouvrage s’adresse donc principalement aux ´etudiants en ing´enierie, bien que les ´etudiants
en math´ematiques pourront y voir un compl´ement pratique a` leur formation plus th´eorique. Nous
implorons la patience des ´etudiants ing´enieurs. Les premiers chapitres vous paraˆıtront peut-ˆetre tr`es
th´eoriques mais soyez assur´es que nous avons r´eduit au minimum les consid´erations th´eoriques et que
nous nous limitons a` l’essentiel. Nous implorons aussi l’indulgence des lecteurs ayant une formation
iv
math´ematique plus avanc´ee car, comme nous l’avons d´eja` mentionn´e, la rigueur math´ematique n’est
pas notre obsession, bien que nous ayons fait notre possible pour rester rigoureux.
Dans la mesure du possible, cet ouvrage est auto-suffisant. On retrouve en annexe quelques rap-
pels de notions math´ematiques ´el´ementaires portant sur les tenseurs et les changements de syst`emes
de coordonn´ees qui sont d’une grande utilit´e dans l’´etude des ´equations aux d´eriv´ees partielles. Une
connaissance des m´ethodes d’analyse num´erique ´el´ementaire est requise et en particulier des notions
d’interpolation de Lagrange et d’int´egration num´erique de Gauss qui sont ´egalement rappel´ees en
annexe.
Enfin, nous souhaitons remercier tous ceux qui ont contribu´e, de pr`es ou de loin, a` la r´ealisation
de cet ouvrage. De nombreux ´etudiants ont ´emis des commentaires constructifs qui nous ont incit´es
a` am´eliorer certains passages plus difficiles. Soyez tous assur´es de notre reconnaissance.
Table des mati`eres
1 Introduction et exemples 1
1.1 Bref historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Br`eve introduction a` la probl´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Espaces fonctionnels 7
2.1 Les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 D´efinitions et propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Distributions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Espaces fonctionnels lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Quelques espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 L’espace H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 L’espace H2(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Un r´esultat d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Th´eor`eme de Lax-Milgram 43
3.1 Formes lin´eaires et bilin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Th´eor`eme de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.1 Probl`emes d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3.2 Probl`emes d’ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.3 R´esum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 M´ethode de Ritz 63
4.1 Principes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
v
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vi TABLE DES MATIERES
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5 El´ements finis unidimensionnels 77
´
5.1 Equations diff´erentielles d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.1 Probl`eme type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.2 Le maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.3 Formulation variationnelle ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.4 Passage a` l’´el´ement de r´ef´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
ˆ
5.1.5 Construction des fonctions d’interpolation ψi(ξ) . . . . . . . . . . . . . . . . 89
´
5.1.6 Evaluation du syst`eme ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.1.7 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1.8 Imposition des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.9 Solution du syst`eme global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.1.10 Pr´esentation des r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1.11 Exemples et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
´
5.2 Equations diff´erentielles d’ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.1 Probl`eme type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.2 Le maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2.3 Formulation variationnelle ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.4 Passage a` l’´el´ement de r´ef´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.5 Construction des fonctions d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
´
5.2.6 Evaluation du syst`eme ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.7 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.8 Imposition des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.9 Solution du syst`eme global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.2.10 Exemples et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
´
6 El´ements finis multidimensionnels 137
6.1 Probl`eme type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2 Le maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2.1 Les noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2.2 Les degr´es de libert´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2.3 Num´erotation des degr´es de libert´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.3 Formulation variationnelle ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.4 Passage a` l’´el´ement de r´ef´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.5 Construction des fonctions d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
´
6.6 Evaluation du syst`eme ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.7 Assemblage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.8 Imposition des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.9 R´esolution du syst`eme lin´eaire global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.10 Pr´esentation des r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.11 Exemples et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
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TABLE DES MATIERES vii
6.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7 Analyse de convergence 167
7.1 Bases th´eoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8 Probl`emes non lin´eaires 181
8.1 Rappel sur les syst`emes d’´equations non lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.2 D´eriv´ee d’une fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.3 Application aux formulations variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9 Probl`emes instationnaires 195
9.1 Rappel sur les ´equations diff´erentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.2 Formulation quasi-variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.3 Le theta-sch´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.3.1 Cas lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.3.2 Cas lin´eaire ou` la matrice masse est constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.3.3 Cas g´en´eral non lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.4 Un sch´ema implicite d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.4.1 Variante de type points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.5 R´esultats num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.5.1 Probl`eme thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.5.2 Croissance de populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10 Probl`eme de convection-diffusion et stabilisation SUPG 209
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
10.1.1 Une premi`ere approche par ´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.1.2 Une deuxi`eme approche par ´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11 Application aux probl`emes d’´elasticit´e 219
11.1 Probl`emes d’´elasticit´e lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
11.2 Mat´eriau lin´eaire ´elastique isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
11.3 Mat´eriau lin´eaire ´elastique orthotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
´
11.4 Etat plan de contraintes et ´etat plan de d´eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
´
11.4.1 Etat plan de d´eformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
´
11.4.2 Etat plan de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.5 Le maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
11.6 Formulation variationnelle ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.7 Construction des fonctions d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
11.8 Passage a` l’´el´ement de r´ef´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
`
viii TABLE DES MATIERES
´
11.9 Evaluation du syst`eme ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
11.10Assemblage et imposition des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.11R´esolution du syst`eme global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.12Visualisation des r´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.13Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.13.1Essai en cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.13.2Plaque trou´ee en ´elongation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11.14Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
12 Probl`eme de Stokes 243
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
12.2 Le probl`eme continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
12.2.1 Cadre fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
12.2.2 Existence et unicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.3 Le probl`eme discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
12.3.1 Quelques r´esultats th´eoriques importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
12.4 Formulation point-selle (facultative) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
12.5 Formulation variationnelle ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
12.6 Choix des ´el´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
12.6.1 Pression continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
12.6.2 Pression discontinue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
12.7 R´esultats num´eriques : cas newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
12.7.1 L’´ecoulement de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
12.8 Probl`eme de Stokes non lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.8.1 R´esultats num´eriques : cas viscoplastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.9 Les ´equations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12.9.1 R´esultats num´eriques : cas Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.10Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
13 Formulations mixtes en ´elasticit´e lin´eaire 275
13.1 Cas isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
13.2 Cas anisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13.3 R´esultats num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
13.3.1 Plaque trou´ee en ´elongation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
13.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
14 Mat´eriaux en grandes d´eformations 289
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
14.2 D´eformations et tenseurs associ´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
14.3 Tenseurs de Green-Lagrange et Piola-Kirchoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
14.4 Mat´eriaux hyper´elastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
`
TABLE DES MATIERES ix
14.4.1 Limite incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
14.5 Formulations variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
14.5.1 Int´egrales volumiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14.5.2 Int´egrales surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
14.5.3 Pression suiveuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
14.5.4 Formulation variationnelle sur la configuration initiale . . . . . . . . . . . . . 308
14.6 Lin´earisation et m´ethode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
14.6.1 Formulation en d´eplacement seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
14.6.2 Formulation mixte en d´eplacements-pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
14.6.3 Formulation p´enalis´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
14.7 Liens avec la g´eom´etrie diff´erentielle intrins`eque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
14.7.1 Variation du jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
14.7.2 Variation du jacobien surfacique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
14.7.3 Variation de la normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
14.7.4 Pression suiveuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
14.8 Formulation Lagrangienne actualis´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
14.8.1 Formulation en d´eplacement seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
14.8.2 Formulation Lagrangienne actualis´ee mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
´
14.8.3 Equivalence des formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
14.8.4 Algorithme complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
14.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
15 Probl`emes de contact unilat´eral et frottant 329
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
15.1.1 Distance sign´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
15.2 Contact unilat´eral en petites d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
15.3 Contact unilat´eral en grandes d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
15.3.1 M´ethode de p´enalisation du contact unilat´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
15.3.2 Contact frottant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
A Rappels sur le th´eor`eme de la divergence 341
A.1 Gradient, divergence et laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
A.2 Int´egrales curvilignes et surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
A.2.1 Rappel sur les int´egrales curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
A.2.2 Rappel sur les int´egrales surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
A.3 Th´eor`eme de la divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
A.4 Transformation de Piola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
A.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
`
x TABLE DES MATIERES
B Rappels sur les tenseurs 351
B.1 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
B.1.1 Les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
B.1.2 Les tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
B.2 Calcul variationnel avec les tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
B.2.1 R´esultats g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
B.2.2 D´eriv´ees des invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
B.2.3 Application aux grandes d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
B.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
C Interpolation de Lagrange 365
C.1 Interpolation en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
C.2 Interpolation en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
C.2.1 Interpolation sur les triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
C.2.2 Sur les quadrilat`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
C.3 Interpolation en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
C.3.1 Sur les t´etra`edres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
D Int´egration num´erique 377
D.1 En dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
D.2 En dimension 2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
D.2.1 Sur les quadrilat`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
D.2.2 Sur les triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
D.2.3 Sur les t´etra`edres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
R´eponses aux exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
R´eponses aux exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
R´eponses aux exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
R´eponses aux exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
R´eponses aux exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
R´eponses aux exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
R´eponses aux exercices du chapitre 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394