Les annales du BTS Mathématiques, groupement B

80 Pages·2013·0.97 MB·French

Les annales du BTS "
S
E
U
Q
Mathématiques, groupement B
I
G
O
L
O
N
H
C
FRANÇOISMAILLOUX E
T
S
T
mai2013 N
E
M
E
N
G
I
E
S
N
E
"
E
P
U
O
R
G
-
I
I
I
X
S
I
R
A
P
M
E
R
I
1
Epreuves du BTS groupement B
1 mai2001 8
Exercice1(9points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
PartieA:loibinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
PartieB:loinormale,indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
PartieC:arbrepondéré,probabilitésconditionnelles,probabilitéstotales . . . . . . . . . 8
Exercice2(11points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
PartieA:équationlinéairedupremierordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . 9
PartieB:étuded’unefonctionavecexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
PartieC:calculd’intégraleavecintégrationparparties,limite,interprétationgraphique . 10
2 mai2002 12
Exercice1(8points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.LoidePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.Loibinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.Intervalledeconfiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Exercice2(12points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
PartieA:équationdifférentiellelinéairedusecondordreavecsecondmembre . . . . . . 13
PartieB:étuded’unefonctionavecexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
PartieC:primitiveàpartirdel’équationdifférentielle,calculd’aire . . . . . . . . . . . . . 14
3 mai2003 16
Exercice1(9points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.Probabilitésgénérales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.LoidePoisson,seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.Testd’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Exercice2(11points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
A.Équationlinéairedupremierordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
B.Étuded’unefonctionavecexponentielle,lecturegraphique . . . . . . . . . . . . . . . . 18
C.Primitiveàpartirdel’équationdifférentielle,écartentredeuxintégrales . . . . . . . . . 19
4 mai2004 20
Exercice1(9points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
A.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
B.Loibinomialeetapproximationd’uneloibinomialeparuneloidePoisson . . . . . . . 20
C.Intervalledeconfiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exercice2(11points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
A.Équationlinéairedupremierordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
B.Étuded’unefonctionavecexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
C.Applicationàunproblèmedeprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 mai2005 23
Exercice1(11points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A.Équationlinéairedupremierordreàcoefficientvariableavecsecondmembre . . . . . 23
B.Étuded’unefonctionaveclogarithmenépérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
C.Vérificationd’uneprimitive,calculd’intégrale,interprétationgraphique . . . . . . . . 24
2
EPREUVESDUBTSGROUPEMENTB LesannalesduBTSgroupementB
Exercice2(9points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
A.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
B.Loibinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
C.Approximationd’uneloibinomialeparuneloinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
D.Testd’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6 mai2006 27
Exercice1(11points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
A.Équationlinéairedusecondordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
B.Étudelocaled’unefonctionavecexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
C.Intégrationparparties,interprétationgraphiquedel’intégrale . . . . . . . . . . . . . . 28
Exercice2(9points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A.Ajustementaffine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
B.Probabilitésconditionnelles,probabilitéstotales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
C.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
D.Intervalledeconfiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7 NouvelleCalédonie,octobre2006 30
Exercice1(11points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A.Équationlinéairedupremierordreàcoefficientvariableavecsecondmembre . . . . . 30
B.Étuded’unefonctionavecexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
C.Applicationàlagestiond’unrisque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercice2(9points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.Probabilitésconditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
B.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
C.Loibinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
D.Testd’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8 mai2007 34
Exercice1(12points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A.Équationlinéairedupremierordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
B.Étuded’unefonctionavecexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
C.Intégrationparparties,limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Exercice2(8points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
A.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
B.Loibinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
C.Testd’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9 NouvelleCalédonie,novembre2007 37
Exercice1(10points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
A.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
B.Loibinomialeetapproximationd’uneloibinomialeparuneloidePoisson . . . . . . . 37
C.Testd’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Exercice2(10points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A.Équationlinéairedupremierordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
B.Étudelocaled’unefonctionavecexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
C.Calculintégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Page3sur80
LesannalesduBTSgroupementB EPREUVESDUBTSGROUPEMENTB
10 mai2008 40
Exercice1(12points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.Équationlinéairedupremierordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
B.Étudelocaled’unefonctionavecexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
C.Calculintégral,intégrationparparties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Exercice2(8points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
A.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
B.LoibinomialeetloidePoisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
C.Intervalledeconfiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
11 NouvelleCalédonie,octobre2008 44
Exercice1(10points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
B.Loibinomialeetapproximationd’uneloibinomialeparuneloidePoisson . . . . . . . 44
C.Testd’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Exercice2(10points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.Équationlinéairedusecondordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
B.Étuded’unefonctionavecexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
12 mai2009 46
Exercice1(12points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.Équationlinéairedusecondordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
B.Étudelocaled’unefonctionavecexponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
C.Primitiveàpartirdel’équationdifférentielle,aired’undomainelimitéparunecourbe 47
Exercice2(8points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
B.LoidePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
C.Loibinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
D.Testd’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13 NouvelleCalédonie,novembre2009 50
Exercice1(12points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.Équationlinéairedusecondordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
B.Étuded’unefonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
C.Intégrationparparties,calculd’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exercice2(8points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.Évènementsindépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
B.Loibinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
C.Approximationd’uneloibinomialeparuneloinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
D.Intervalledeconfiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
14 mai2010 54
Exercice1(12points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
A.Équationlinéairedupremierordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
B.Étuded’unefonctionavecexponentielle,QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
C.Intégrationparparties,interprétationgraphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Exercice2(8points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Page4sur80
EPREUVESDUBTSGROUPEMENTB LesannalesduBTSgroupementB
A.LoibinomialeetloidePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
B.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
C.Intervalledeconfiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
15 NouvelleCalédonie,novembre2010 58
Exercice1(12points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
A.Équationlinéairedupremierordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
B.Étuded’unefonctionavecexponentielle,QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
C.Intégrationparparties,interprétationgraphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercice2(8points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A.Loibinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
B.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
C.Intervalledeconfiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
16 mai2011 62
Exercice1(12points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A.Équationlinéairedusecondordreavecsecondmembre,QCM . . . . . . . . . . . . . . 62
B.Étuded’unefonction,intégrationparparties,QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Exercice2(8points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
B.Loibinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
C.Testd’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
17 NouvelleCalédonie,novembre2011 65
Exercice1(12points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.Équationlinéairedusecondordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
B.Étudedefonctionsavecexponentielleetcosinus,QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
C.Calculd’intégrale,interprétationgéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Exercice2(8points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.LoidePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.Testd’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
18 mai2012 69
Exercice1(12points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A.Équationlinéairedupremierordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
B.Étudelocaled’unefonctionavecexponentielle,QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
C.Intégrationparparties,interprétationgraphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Exercice2(8points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
A.Loinormale,indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
B.Loibinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
C.Intervalledeconfiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Page5sur80
LesannalesduBTSgroupementB EPREUVESDUBTSGROUPEMENTB
19 NouvelleCalédonie,novembre2012 72
Exercice1(12points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
PartieA-Équationlinéairedupremierordreavecsecondmembre . . . . . . . . . . . . . 72
PartieB-Étudelocaled’unefonctionavecexponentielle,QCM . . . . . . . . . . . . . . . . 72
PartieC-Calculintégral,intégrationparparties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Exercice2(8points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
PartieA-Loibinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
PartieB-LoidePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
PartieB-LoidePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
PartieD-Intervalledeconfiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
20 mai2013 75
Exercice1(12points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
A.Équationlinéairedupremierordre,àcoefficientvariable,avecsecondmembre . . . . 75
B.Étuded’unefonctionavecexponentielle,QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.Applicationàl’étudedelavitesseduvent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Exercice2(8points) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
A.LoidePoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
B.Loinormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
C.Loibinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
D.Testd’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Page6sur80
EPREUVESDUBTSGROUPEMENTB LesannalesduBTSgroupementB
Remerciements
CettecompilationdesannalesduBTSgroupementBaétéfaiteàpartirdesfichiersLATEXtapuscrits
deDenisVergèsdisponiblessurlatoilesurlesitedel’A.P.M.E.P.(l’AssociationdesProfesseursde
Mathématiquesdel’EnseignementPublic)
http://www.apmep.asso.fr/spip.php?rubrique376
L’idéeaétéreprisedeVincentPantaloni([email protected])quiaproduitdes
annales des Restitutions Organisées de Connaissances (ROC) du Baccalauréat de la série S jus-
qu’en2008.Ellessontvisiblessursonsitepersonnel
http://prof.pantaloni.free.fr
Nouslesremercionsdenousavoirautoriséàutiliserleursproductions.
Page7sur80
mai 2001
Exercice1 9points
LespartiesA,BetCdecetexercicepeuventêtretraitéesdefaçonindépendante.
Une entreprise fabrique, en grande quantité, des pièces métalliques rectangulaires dont les
cotessontexpriméesenmillimètres.
Uncontrôledequalitéconsisteàvérifierquelalongueuretlalargeurdespiècessontconformes
àlanormeenvigueur.
Danscequisuit,touslesrésultatsapprochésserontarrondisà 10 3.
−
PartieA
OnnoteEl’évènement:«unepièceprélevéeauhasarddanslestockdel’entrepriseestconforme».
Onsupposequelaprobabilitédel’évènementEest0,9.
Onprélèveauhasard10piècesdanslestock.Lestockestassezimportantpourquel’onpuisse
assimilerceprélèvementàuntirageavecremisede10pièces.OnconsidèrelavariablealéatoireX
qui,àtoutprélèvementde10pièces,associelenombredepiècesconformesparmices10pièces.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les para-
mètres.
2. Calculerlaprobabilitéque,dansuntelprélèvement,8piècesaumoinssoientconformes.
PartieB
Unepartiedespiècesdelaproductiondel’entrepriseestfabriquéeparunemachineautoma-
tique notée «machine 1». Soient M et N les variables aléatoires qui, à chaque pièce prélevée au
hasarddansunlottrèsimportantfabriquéparlamachine1,associentrespectivementsalongueur
etsalargeur.
OnsupposequeM suitlaloinormaledemoyennem 250etd’écart-typeσ 1,94.
1 1
= =
OnsupposequeN suitlaloinormaledemoyennem 150etd’écart-typeσ 1,52.
2 2
= =
1. Calculerlaprobabilitéquelalongueurd’unepièceprélevéeauhasarddanscelotsoitcom-
priseentre246et254.
2. Calculer la probabilité que la largeur d’une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit com-
priseentre147et153.
3. Unepièceestconformesisalongueurestcompriseentre246et254etsisalargeurestcom-
priseentre147et153.OnadmetquelesvariablesM etN sontindépendantes.
Montrer que la probabilité qu’une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit conforme est
0,914.
PartieC
Une autre machine automatique de l’entreprise, notée «machine 2» fabrique également ces
mêmespiècesengrandequantité.Onsupposequelaprobabilitéqu’unepièceprélevéeauhasard
danslaproductiond’unejournéedelamachine1soitconformeestp 0,914etquelaprobabilité
1
=
qu’unepiècechoisieauhasarddanslaproductiondelamachine2soitconformeest p 0,879.
2
=
La machine 1 fournit 60% de la production totale de ces pièces et la machine 2 le reste de cette
production.
Onprélèveauhasardunepièceparmilaproductiontotaledel’entreprisedelajournée.Toutes
lespiècesontlamêmeprobabilitéd’êtretirées.Ondéfinitlesévènementssuivants:
8
CHAPITRE1. MAI2001 LesannalesduBTSgroupementB
A:«lapièceprovientdelamachine1»;
B:«lapièceprovientdelamachine2»;
C:«lapièceestconforme».
1. DéterminerlesprobabilitésP(A),P(B),P(C/A),P(C/B).OnrappellequeP(C/A)estlaproba-
bilitédel’évènementCsachantquel’évènementAestréalisé.
2. EndéduireP(C A)etP(C B).
∩ ∩
3. EnadmettantqueC=(C A) (C B),calculerP(C).
∩ ∪ ∩
Exercice2 11points
Lestroispartiesdecetexercicepeuventêtretraitéesdefaçonindépendante.
A.Résolutiond’uneéquationdifférentielle.
Onconsidèrel’équationdifférentielle(E):
y 2y e2x
′
− =
où y estunefonctiondelavariableréellex,définieetdérivablesurRet y safonctiondérivée.
′
1. RésoudresurRl’équationdifférentielle(E ):
0
y 2y 0
′
− =
2. Soith lafonctiondéfiniesurRpar
h(x) xe2x
=
Démontrerqueh estunesolutionparticulièredel’équationdifférentielle(E).
3. Endéduirel’ensembledessolutionsdel’équationdifférentielle(E).
4. Déterminerlasolutionparticulière f del’équation(E)quivérifielacondition f(0) 1.
=−
B.Étuded’unefonction
Soit f lafonctiondéfiniesurRpar
f(x) (x 1)e2x
= −
SacourbereprésentativeC estdonnéedanslerepèredel’annexe(àrendreaveclacopie).
1. a. Calculer lim f(x)
x
→+∞
b. Onadmetque lim xe2x 0.Endéduire lim f(x).
x = x
→−∞ →−∞
c. Interprétergéométriquementlerésultatobtenuaub).
2. a. Démontrerque,pourtoutx deR,
f (x) (2x 1)e2x
′
= −
b. RésoudredansRl’inéquation f (x) 0.
′
Ê
c. Endéduirelesensdevariationde f surR.
Page9sur80
LesannalesduBTSgroupementB CHAPITRE1. MAI2001
3. a. Àl’aidedudéveloppementlimitéauvoisinagede0delafonctionexponentielle t
7−→
et,donnerledéveloppementlimité,àl’ordre3,auvoisinagede0,delafonction x
7−→
e2x.
b. Endéduirequeledéveloppementlimité,àl’ordre3,auvoisinagede0,delafonction f
est:
2
f(x) 1 x x3 x3ε(x)
=− − +3 +
avec
limε(x) 0
x 0 =
→
c. En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 et la
positionrelativedeC etdeT auvoisinagedecepoint.
d. TracerT danslerepèredel’annexe.
C.Calculintégral
1. Soitαunréelstrictementnégatif;Onpose
0
I(α) f(x)dx
=
Zα
Démontrerque
3 1 3
I(α) α e2α
=−4− 2 −4
µ ¶
Onpourraeffectueruneintégrationparparties.
2. a. CalculerlalimitedeI(α)quandαtendvers .
−∞
b. Àl’aided’unephrase,donneruneinterprétationgraphiquedecerésultat.
Page10sur80