Les algorithmes : au coeur du raisonnement

169 Pages·2009·20.28 MB·French

by  Collectif

T
Zf'civen-fcurematrTiémaùique
Les
a l g o r i t
Au cœur du raisonnement
ËDiTiONS HSn'^ai
POLE
ISSN 0987-0806

Bibliothèaue
Ij'avGTvtut'emathématrîq.ue
Tangente Hors-série n" 37
Les algorithmes
Au cour du ralsonuement
ËDiTiONS
POLE
© Éditions POLE -Paris 2009
Toute représentation, traduction, adaptation, publication ou reproduction, même partielle,partous
procédéset sur tous supports,en tous pays,faite sans autorisationpréalable,est illiciteet exposerait
lecontrevenantàdes poursuitesjudiciaires.Référence:loidu II mars 1957.
ISBN : 9782848841069 ISSN ; 0987-0806 Commission paritaire : 1011 K 80883
î? !/i
Prochainement
dans la Bibliothèque Tangente
1)]
EDITIONS
Les algorithmes
Sommaire
Les algorithmesdans l'histoire
DOSSIER
Les algorithmes ne sontpas nés avecl'informatique.
Parexemple, l'algorithmed'Euclide estvieuxdeplus
de 2 GOOans !Ontrouve également des descriptions
précises d'algorithmes dans la Chine ancienne.
Avant d'être des programmes informatiques, les
algorithmes sont des objets mathématiques.
Mohammedal-Khwarizmietsontemps
Auxracinesdel'algorithme
Les algorithmesdusecret:lacryptographie
AlanTuringetsamachine
LadyAugustaAda King, comtesse de Lovelace
Algorithmes élémentaires
et programmation
Onrencontre de nombreuxalgorithmesdansl'histoi
re des mathématiques. De nos jours, les opérations m
manuelles auxquelles les algorithmes donnaient lieu
ontlaissélaplace aux programmes informatiques.
Del'algorithmeaulangagedeprogrammation
Lesbasesdelaprogrammation
Lestests de primalité
Calculderacinescarrées : l'algorithmede Bahylone
Desalgorithmes pourcréerlehasard
Lesfractions égyptiennes
Les mariagesstablesexistent
Sousl'ordinateur, lesbooléens
N'abusons pasdes organigrammes !
Programmerl'algorithmed'Euclide
(suitedusommaire auverso)
Hors série n" 37. Les alg
DOSSIER nigorithmes classiques etjeux
Lesmathématiquesontdonnénaissanceà unemulti
tude d'algorithmes, dans tous les domaines : théorie
des nombres, topologie, mathématiques financières,
recherche opérationnelle, théorie des graphes,
mathématiques récréatives...
Équationsrécurrentesenfinance
Laprogrammationfonctionnelle
Gagneraujeugrâceaunoyaud'ungraphe
Lepivotde Gauss
L'algorithmedusimplexe
Latour d'Hanoï
Commentexplorerunlahjrinthe?
DOSSIER Limites et performances
Ce n'estpastoutdesavoirstructurerun raisonnement
répétitifà l'aide d'un algorithme. Il faut aussi prouver
sonefficacitéetchercherà minimiserlenombred'opé
rationsquivontintervenirdanssonexécution,mêmesi
c'estl'ordinateurquidoitleseffectuer.
Complexitéettempsd'exécution
Veni, divisi, vici
Lesalgorithmesdetri
Laprogrammationstructurée
Lamagiedelarécursivité
Itérationetpointfixe
Lagloutonnerieappliquéeà lacompression
Codescorrecteurs d'erreurs
Lamultiplicationrapide
Problèmes
Solutions
Enbref 9, 22, 27,
32, 33,
53, 149
Desalgorithmesà lafolie
59, 63, 68, 74, 75, 83, 84, 85, 88, 89, 95, 98, 99,
102, 103, 104, 105, 106, 111, 121, 125, 129, 135, 141
Tangente Hors série n° 37. Les algorithmes
Mohammedal-Khwarizmi et son temps
Ifistoire delacryptographie P-14
Alan Turing et sa machine p.16
Lady Augusta Ada King, comtesse de LoVelace p.20
L' '
\ '
Les algorithmes ne sont pas nés avec rinfprmatique.
Par exemple, l'algorithme d'Euclide est^eux de plus
de 2 Goo ans ! On trouve également des descriptions
précises d'algorithmes dans la Chine ancienne. Avant
d'être des programmes informatiques, les algorithmes
sont des objets mathématiques.
Hors-série n° 37. Les algorithmes Tangente
HISTOIRES par Bertrand Hauchecorne
mohammed al-Khuiarizmi
et son temps
Le mot français « algorithme » provient du nom d'un savant
arabe du IX® siècle. On lui doit plusieurs méthodes pour le
calcul effectif de racines d'une équation du second degré.
C'est également grâce à lui que se diffuseront les chiffres
arabes en Occident.
La maisondelasagesse
jLJi Après un début de règne agité, son fils
et successeur al-Mamûn, après avoir
W ir
fait disparaître son frère, se consacra
au développementdes arts et de la cul
ture, en particulier scientifique. Il
•S
!», •' •* ouvrit la bibliothèque personnelle de
son père pour créer la Bayt al-Hikma,
c'est-à-dire la Maison de la sagesse.
Les savants s'y retrouvaient pour
h
consulter des ouvrages. C'est là que
fli
furent traduits en arabe de nombreux
f-'t t.-
Couverture textes scientifiques grecs, permettant
d'unecopiedu ainsi la conservation d'un grand
premierlivre nombred'entreeux.
d'al-Khwarizmi. gfigg*>gEi83£3iaê^^ C'est à cette époque que Muhammad
Cinquante ans après son installa
ibn Musa, né en 788 probablement à
Khiva, vint se fixer à Bagdad. Dans la
tion à Bagdad (capitale de l'ac capitale abbasside, il est connu sous le
tuel Irak) en 762, le califat nom de Muhammad al-Khwarizmi,
abbassideétait ausummumdesasplen d'après le nom de sa contrée natale, le
deur. Haroun al-Rachîd, lettré éclairé, Khwarezm, correspondant à l'ouest de
fut très occupé à mater les oppositions l'Ouzbékistan actuel. On sait peu de
intérieures et extérieures qui mena choses de sa vie sinon qu'il fréquenta
çaientla stabilitédu califat. assidûment la Bayt al-Hikma où la
Tangente Hors-série n°37. Les algorithmes
LES ALGORITHMES...
convergence des cultures grecques et
indiennes lui permit de construire une
œuvre fondamentale en mathéma
tiques, présentée en deux ouvrages
écritsvers 830.
La résolution deséquations
Le premierouvrageal-Kitâb al-mukh-
tasarfâ hisâb al-jabr w'al-muqâbala,
le Livre de l'explication du calcul de
la remise en place et de la simplifica
tion, a donné son nom à l'algèbre.
Contrairement aux mathématicien
grecs, al-Khwarizmi détaille des
méthodes effectives de résolution
D'al-Khwaiizmià algoriOime
d'équations. Il les traite avec des
exemples tirés d'expériences pra
tiques. Cependant, sachant son lecteur Le deuxième ouvrage n'est connu
peu familiarisé aux nombres négatifs, que par sa traduction latine, effec
il transfert toute quantité négative de tuée probablement par Adélard de
l'autre côté du signe égal pour le Bath dans la première moitié du XIL
rendre positif :c'est al-jabr, la remise siècle. Le manuscritétaitalors connu
en place. Par exemple, l'équation en sous le nom de dixit Algorizmi -
notations actuelles x' - 23 = 16 - lOx ainsi disait al-Khwarizmi- ou de
Algoritmi de numéro Indorum - al-
devientx' H- lOx= 16-(-23.
Al-muqâbala est la simplification ; Khwarizmi, au sujet des nombres
ainsi, l'équation précédente devient indiens. Comme son nom l'indique,
celui-ciprésentait le maniement des
alorsX- H- lOx= 39 (voirl'encadré).
Al-Khwarizmi nous présente une chiffres arabes, en fait introduits par
exposition complète de la résolution les Indiens au VIP siècle de notre
deséquationsdupremieret du second ère.Algoritmiest une latinisation du
degré. L'inconnue, que nous notons x nomdu mathématicien arabe. Apar
dans cet article, s'appelle la racine et, tirduXIIPsiècle, onappellealgoris-
comme il a éliminé tout nombre néga me le calcul utilisant les chiffres
tif, il distingue six cas et les traite sur arabes et algoristes ceux qui s'y
des exemples qui se généralisent sans adonnent. Influencé par le grec
difficulté pour toute équation de même arithmosqui signifienombre, cemot
type. 11considèreainsi : devient algorithme et semble alors
-Carréségaux aux racines, presque le jumeau du mot logarith
c'est-à-direde la forme ax^ = bx ; me, créé sur le grec par John Neper
-Carrés égaux àunnombre,soit au début du XVIP siècle. Il ne prend
ax^= c ; son sens actuel qu'au XIX"siècle, et
-Racineségales àun nombre,soit devient d'utilisation courante grâce
au développement de l'informatique
bx= c \
-Carréset racineségaux à un nombre, depuisla Seconde Guerremondiale.
soitax^ + bx= c ;
Hors-série n° 37. Les algorithmes Tangente
HISTOIRES Mohammed al-Khwarizmi
-Carréset nombreégauxauxracines,
Résoudre +I0;r=39 avec al-Khwarizmi
soitax^+ c = 6x;
-Racines etnombres égaux auxcarrés,
Un carré et lo racines sont égaux à 39 unités,
soit bx +c=ax^;où a,bet cdési
quevautlaracine?Rappel :laracinecorrespondàceque
gnentdes nombres positifs.
nousappelonsl'inconnue.
l'apportdeschiffresarabes
Méthodealgébrique:
Onprendlamoitiédesracines(c'est-à-dire5);onlametau Ledeuxièmeouvragenenousestconnu
carré,soit 25,quel'on additionneà 39,soit 64. Prenons que par satraductionlatine Algoritmide
alorsla racinecarrée de cenombre, soit8, et ôtons-luila
numéro Indorum. Celle-ci date seule
moitiédes racines:la solutionest donc8-5 = 3. C'est
ment du XII' siècle, soit trois siècles
magique, direz-vous! Pasplus quela méthode classique aprèsqu'il ne soitécrit,et semblepro
avec le discriminant; c'est un algorithme efficace pour venird'un textemodifiéet incomplet.
toutes les équations du type + bx=c,où bet csont des Le premier mot du titre est une défor
réels positifs. mationdu nomdu mathématicien arabe
(voir encadré page précédente). Al-
Méthodegéométrique: Khwarizmiyprésente lemaniementdes
Traceruncarrédecôtéxunitésdemesure.Répartirleslox
chiffres arabes, en latin numéro
enquatrerectanglesdecôtésxet10/4apposés auxquatre
Indorum, c'est-à-dire nombres indiens.
côtés du rectangle. Lasurface totaledelafigure estdonc
Lesméthodes pourlesadditionneretles
x^ H- lox, soit 39. Compléter cette figure enuncarré eny
multiplier sont expliquées avec préci
ajoutantauxquatrecoinsdescarrésdecôté5/2.Lenouveau sion. Le mathématicien arabe reprend
carréobtenuadoncpoursurface39+4.(5/2)^=64=8^.Or danscetouvragelesgrandeslignesd'un
lecôtéducarréinitialestxalorsqueceluidunouveaucarré traitédonnéaucalifevers770parunde
est8,doncx=8- 2.5/2=8-5=3. seshôtesindiens.Sonlivrejoua unrôle
fondamental pour la diffusion en
Europe de ce nouveau mode d'écriture
2,5 2,5 2,5 2,5
des nombres, mais il fallut encore
attendre trois siècles pour que leur
X je X je emploisegénéraliseenOccident.
Al-Khwarizmi a eu le grand mérite de
X X développer des techniques mathéma
2,5 2,5 2.5 2,5
tiques nouvelles. Bien que son œuvre
ne soitpas tellementnovatrice,elle sait,
avec talent,être l'héritière à la fois des
Méthodeactuelle: mathématiques grecques et indiennes.
x^4-lox=(x+5)^-5"=39,donc(x+5)^=39+25=64=8%
L'importance d'al-Khwarizmi est avant
doncx+5=8oux+5=-8,soitx=3oux=-13.Reprenez tout due à l'impact de ses ouvrages en
laméthodealgébrique:vousvoyezbienpourquoionprend
Occident pour l'introduction de la
lamoitiédesracines!Biensûr,àsonépoque,al-Khwarizmi numérationde position.Ceci explique
nepouvaitconsidérerquelesracinespositives(ilnetrouvait queson nom,et qu'unmotdu titre d'un
pas -13). De nos jours, on effectue l'algorithmesuivant : de ses livres, soient devenus, un peu
A=10^- 4.(-39) =256=16^, doncl'équationadmetdeux déformés, des mots du langage mathé
solutionsquisont : matique,les rendantainsiimmortels.
Xj=(-10 +i6)/2=3etx^=(-10 - i6)/2=-13.
B.H.
8 Tangen±e Hors-série ii°37. Les algorithmes