L'enseignement de l'analyse à la charnière lycée / université Savoirs, connaissances et conditions

388 Pages·2017·4.01 MB·French

by  Isabelle Bloch

L’enseignement de l’analyse à la charnière lycée /
université Savoirs, connaissances et conditions relatives
à la validation
Isabelle Bloch
To cite this version:
Isabelle Bloch. L’enseignement de l’analyse à la charnière lycée / université Savoirs, connaissances et
conditions relatives à la validation. Education. Université Bordeaux 1, 2000. Français. ￿NNT: 2174￿.
￿tel-01222400￿
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N° d’ordre : 2174

THESE

PRESENTEE A
L’UNIVERSITE BORDEAUX I
ECOLE DOCTORALE DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
6
00 SPECIALITE : Didactique des mathématiques
2

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p
par
A

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1
Isabelle BLOCH
-

1

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o -oOo-
si
r
e
v L’enseignement de l’analyse à la charnière lycée / université

,
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5
1 Savoirs, connaissances et conditions relatives à la validation
2
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- Thèse soutenue le 19 janvier 2000
el
t
Après avis de Mme Michèle ARTIGUE Rapporteurs
M. François CONNE
devant la commission d’examen:
MM.
Jean ESTERLE Professeur Université Bordeaux 1 Président
Michèle ARTIGUE Professeur IUFM Champagne - Ardennes
René BERTHELOT Maître de conférences IUFM d’Aquitaine
Guy BROUSSEAU Professeur émérite Directeur de thèse
Pierre CLANCHE Professeur Université Bordeaux 2 V. Segalen
François CONNE Professeur Université de Genève
André ROUCHIER Professeur IUFM d’Aquitaine Rapporteur du jury

0 Isabelle Bloch
REMERCIEMENTS
Kind of Blue

Miles Davis

J’entends, dit Alice, qu’un enfant ne peut s’empêcher de grandir.
Un enfant ne le peut sans doute pas, dit Humpty-Dumpty, mais deux enfants le peuvent
à coup sûr. Convenablement aidée, vous eussiez pu vous arrêter à sept ans.
Lewis Carroll, « A travers le miroir ».

Je remercie Guy Brousseau d’avoir accepté de diriger ce travail ; non seulement les
6
0 discussions avec lui ont été passionnantes, mais la découverte du monde des mathématiques
0
2 de l’école primaire m’a ouvert des horizons qui ne sont pas près de se refermer. Je le remercie

pr pour m’avoir aidée à découvrir et à comprendre la théorie des situations, dont j’ai pu constater
A
la « déraisonnable efficacité » pour étudier l’enseignement de l’analyse du secondaire à

7
1 l’université.

-

1
Je tiens à remercier tout particulièrement René Berthelot, pour son amitié et sa
n
o disponibilité ; pour ses analyses rigoureuses, sa pensée incisive ; pour avoir mis à ma
si
r disposition son savoir en didactique, qui est considérable, sa bibliothèque, qui l’est aussi, et
e
v une voire deux oreilles attentives à mes questions et mes difficultés.

,
1
5
1 Je remercie Pedro Alson, qui m’a vivement encouragée à utiliser la situation
2
1 « Graphiques et Chemins » issue de son ouvrage « Metodos de graficacion », et m’a aidée de
0
0 ses précisions et ses conseils.
0
-
el
Je remercie François Conne, non seulement pour avoir accepté d’être rapporteur de
t
cette thèse, mais aussi pour les échanges stimulants qui m’ont permis de progresser, pour son
humour réconfortant et pour ses encouragements amicaux.
Je remercie Michèle Artigue d’avoir accepté de se rendre disponible pour être
rapporteur de cette thèse, et tous les membres du jury, en particulier Jean Esterle qui a accepté
de le présider.
Je suis très reconnaissante aux amis et collègues qui m’ont ouvert leurs classes et
communiqué des travaux d’élèves, Guillaume Anachi, Marie-Noëlle Arnould, Michel
Arnould et Antoine Hollard.
Merci enfin à tous les élèves de Première Scientifique du lycée Saint-John Perse à Pau,
qui ont participé avec dynamisme et humour à la recherche de graphiques et chemins, et à la
découverte des propriétés du flocon de von Koch.
Merci à Thomas et Thalia, qui, bien qu’étant deux, ne se sont pas arrêtés à sept ans, et
ont continué de grandir malgré les absences (réelles ou virtuelles) de leur mère ; et merci, du
1
fond du cœur, à Jean de les avoir aidés à surmonter ce que cette période pouvait avoir pour
eux (et pour lui) de difficile).
L’INRP et l’IUFM d’Aquitaine m’ont accordé des heures de décharge sur mon service
d’enseignante durant trois ans, et ont ainsi contribué à ce que cette thèse voit le jour ; qu’ils en
soient remerciés.

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2 Isabelle Bloch
Teaching calculus / analysis at the turning point between Secondary School and
University. Knowledge, knowing and conditions for validation.
The study of maths curriculum in the last grades of secondary schools in France along 30
years brings to light important variations that took place since 1962 in the contents of calculus
at this level. These evolutions concern the objects of calculus that are taught as well as the
procedures used by students and teachers. The suggested methods affect the knowledge that
students are likely to use when doing the given tasks; and we observe that since the 90ths', the
tasks given to students do not valorise validation. We study the possibilities of establishing an
real relationship to the knowledge in calculus, at this level of teaching, and to allow the
students to build appropriate methods.
We study the question of validation in teaching analysis through the following directions:
- the mathematical theory; its organisation; the methods of proof and the formalization; how
these methods can be introduced in the teaching, in a way that students can understand;
- the existence of fundamental situations concerning the concepts of function and limit, and
the possibility of implement such situations in the class.

Besides, the study of the different settings of representation that are at stake to build a suitable
environment for the teaching of function and limit makes new potentialities come to light,
particularly in the graphic and formal settings.
6
0 The experimentation is carried through the building of situations with an a-didactical
0
component for the teaching of function and limit, and through the observation of their
2
r implementation in a scientific class of 17 years-old students. This makes us first question the
p
A knowledge and professional knowing a teacher uses to manage a teaching situation in

7
analysis, with an a-didactical component, and then draw a pattern to the teacher’s milieu.
1
- We also submit a test to the students and analyse the results with statistic tools so as to test

1
the main features of the learning.
n
o In the last chapter we study lectures at undergraduate level, and student’s papers with lots of
si
r errors about calculus definitions. This leads us to question the knowledge that is compulsory
e
v at University level; we wonder how it is possible to link it with Secondary school's knowledge

,
1 and habits.
5
1 As a conclusion, we shall suggest some remarks about the balance between definitive
2
1 knowledge and what students must get as an experience in the teaching of a new
0
0 mathematical theory; this balance affects the possibilities of validation and finally, the future
0
- prospects of teaching analysis from Secondary Schools to University.
el
t
Key words
Analysis, functions, graphical representations, limits; fundamental situations in analysis;
knowing, knowledge, validation in teaching analysis; role of the teacher, pattern of the
teacher’s milieu, mathematical activity of teacher and students.

L’enseignement de l’analyse à la charnière lycée / université: savoirs, connaissances et
conditions relatives à la validation.
Une étude de l'enseignement de l'analyse au niveau des dernières classes de l'enseignement
secondaire français fait apparaître des variations importantes à chaque réforme depuis 1962,
variations qui concernent aussi bien l'objet du savoir que les procédures conseillées par les
programmes et les manuels. Les méthodes préconisées conditionnent les connaissances
utilisables par les élèves pour effectuer les tâches prescrites, et l'équilibre connaissances /
savoirs caractérise la place dévolue à la validation. Nous étudions les possibilités d'établir à ce
3
niveau un rapport effectif au savoir de l'analyse et de permettre à l'élève de construire des
connaissances appropriées.
Par ailleurs l’examen des registres et des ostensifs disponibles pour construire un milieu
propre à l’enseignement des notions de fonction et de limite, fait apparaître des potentialités
non exploitées dans les registres graphique et formel. Ceci conduit à construire et à
expérimenter dans la classe de première Scientifique, une situation pour l’enseignement de la
notion de fonction : la situation « Graphiques et Chemins » , et une situation pour une
première approche de la notion de limite de suite : la situation du flocon.
Les problèmes rencontrés dans la gestion des situations comportant une dimension a-
didactique amènent à s’interroger sur les connaissances que le professeur met en oeuvre pour
gérer une situation d’enseignement comportant une telle composante, et sur une modélisation
possible du milieu du professeur.
Un questionnaire est construit pour l’étude des connaissances sur l’analyse; son traitement
statistique a pour but de tester l’effectivité de l’apprentissage.
Dans l’enseignement supérieur, l’étude de transcriptions de cours et de copies d’élèves permet
de s’interroger sur les connaissances nécessaires à ce niveau, et sur l’articulation avec
l’enseignement secondaire.
En conclusion, nous proposons quelques pistes de réflexion sur l’équilibre connaissances /
savoirs dans l’enseignement des débuts d’une théorie mathématique, et sur l’enseignement
6
0 possible, au niveau du secondaire, de connaissances requises dans la suite du cursus.
0

2

r
p
A Mots clés:

7
1 Analyse, fonctions, représentations graphiques, limites; ostensifs graphiques, ostensifs

-
formels de fonctions ; théorie des situations et situation fondamentale de l’analyse; savoirs,
1

n connaissances, validation dans l’enseignement de l’analyse; rôle du professeur, modélisation
o
si du milieu du professeur, activité mathématique enseignant/enseigné.
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,
1
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1
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0
0
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4 Isabelle Bloch
SOMMAIRE

REMERCIEMENTS 1
SOMMAIRE 5
AVANT-PROPOS 11
QUESTIONS SUR L’ENSEIGNEMENT 17
DE L’ANALYSE 17
I. INTRODUCTION 17
I.1. UN CONSTAT D’INSTABILITE 17
I.2. LA « DERIVE » DES SUJETS DU BACCALAUREAT 18
6
0 20
0 ,,(cid:17)(cid:3)/¶$1$/<6((cid:3)GDQV(cid:3)O¶HQVHLJQHPHQW(cid:3)VXS(cid:228)ULHXU
2 II.1 CONTRATS DIDACTIQUES DANS L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR 20

pr II.2. DU COTE DES INSTITUTIONS 24
A
II.3. OBJETS EXPLICITES ET IMPLICITES DE L’ANALYSE 26

7
1 II.4. L’ANALYSE NON STANDARD 30

- III. difficultes de l’enseignement de l’analyse dans l’enseignement
1
n secondaire 31
o III.1. PROBLEMES LIES AU SAVOIR 31
si
r III.2. PHENOMENES INSTITUTIONNELS 32
e
v III.3 INTRODUCTION A LA DIDACTIQUE DE L’ANALYSE 34

,
1 III.4 OBJETS MATHEMATIQUES ET CHAMP DE PROBLEMES DANS
5
1 L’ENSEIGNEMENT SECONDAIRE 39
2
1 48
0
0 ,l9e (cid:17)m(cid:3)/i¶lDieQuD Oe\nV Ha(cid:3)nFaRlPysPeH (cid:3)WK(cid:228)RULH 48
0
- IV. 1. LES THEORIES EN DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES 48
el
t IV.2 L’ENSEIGNEMENT DE L’ANALYSE : LE MILIEU 51
IV.3 CONNAISSANCES ET SAVOIRS 54
V. questions 55
resume du chapitre 1 57
L’ENSEIGNEMENT DE L’ANALYSE : CONNAISSANCES ET
SAVOIRS 59
MILIEU DU PROFESSEUR 59
Introduction 59
I. Connaissances et SAVOIRs, 62
des modEles pour l’analyse du milieu 62
I.1. CONNAISSANCES ET SAVOIRS DANS LA PERSPECTIVE DE LA
DETERMINATION D’UN MILIEU POUR L’ENSEIGNEMENT DE L’ANALYSE 62
1.2 ACTIVITE MATHEMATIQUE DU COUPLE ENSEIGNANT/ENSEIGNE 68
II. MODELISATION DES SAVOIRS ET CONNAISSANCES du professeur 71
5
II.1 QUESTIONS SUR LA SITUATION DU PROFESSEUR 71
II.2 ANALYSE ASCENDANTE DE LA SITUATION DU PROFESSEUR 75
II.3 ACTIONS ET CONNAISSANCES DU PROFESSEUR DANS LA
SITUATION D'APPRENTISSAGE 82
III Connaissances du professeur dans le milieu pour l'enseignement : 95
?tude d'un exemple en analyse 95
III.1 TRANSCRIPTION DE LA SEANCE DU 20/11/96 96
III.2 ACTIVITE MATHEMATIQUE ET CONNAISSANCES DES ELEVES 99
III.3 ACTIVITE MATHEMATIQUE ET CONNAISSANCES DU PROFESSEUR100
III.4 DIMENSION A-DIDACTIQUE DE LA SITUATION 103
CONCLUSION 105
L’ANALYSE 113
DANS L’ENSEIGNEMENT SECONDAIRE : STRUCTURATION DU
MILIEU 113
6 PREUVES ET VALIDATION 113
0
0
2
r SITUATIONS FONDAMENTALES 113
p
A
I. les milieux relatifs aux objets de l'analyse dans le secondaire 113

7
1 I.1 STRUCTURATION DU MILIEU DE L'ENSEIGNEMENT DE L’ANALYSE :

- DES PROCESSUS INFINIS AUX PREUVES NUMERIQUES 114
1
I.2 UN MILIEU POUR LA FORMULATION ET LA VALIDATION EN ANALYSE :
n
o LES NOMBRES 117
si
r I.3 LE MILIEU DE LA SITUATION DIDACTIQUE 121
e
v I.4 CONNAISSANCES ET SAVOIRS DANS L'ENSEIGNEMENT DE LA

,
1 NOTION DE LIMITE 122
5
1 II. etude de quelques paradigmes d'enseignement 125
2
1 de l'analyse et recherches sur l'enseignement 125
0
0 II.1 LE MILIEU DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE DEPUIS 1965 125
0
- II.2 APPORTS DE QUELQUES ETUDES SUR L'ENSEIGNEMENT DE
el
t L'ANALYSE 143
III. modelisation par des situations fondamentales en analyse 154
III. 1 SITUATIONS FONDAMENTALES : EXISTENCE ET A-DIDACTICITE 154
III.2 SPA ET STRUCTURATION DU MILIEU 161
conclusion 165
ETUDE DES OSTENSIFS 169
POUR L’INTRODUCTION DE 169
LA NOTION DE FONCTION 169
I. les ostensifs 169
I. 1 NECESSITE DE L’ETUDE DES OSTENSIFS 169
I. 2 REMARQUES SUR LES OSTENSIFS 171
II. organisation des ostensifs : 173
theories, registres, 173
6 Isabelle Bloch
representants 173
II.1 THEORIES ET REGISTRES DE REPRESENTATION 173
II. 2 OSTENSIFS 175
II. 3 REPRESENTANTS 175
III. fonctionnalites des repertoires et des representants 179
III. 1 LE REGISTRE NUMERIQUE ET LE REGISTRE DES TABLEAUX 179
III. 2 LES TABLEAUX DE VARIATIONS 181
III. 3 LE REGISTRE GEOMETRIQUE 184
III. 4 LE REGISTRE ALGEBRIQUE 187
III. 5 LE REGISTRE FORMEL (SYMBOLIQUE) 190
III. 6 LE REGISTRE GRAPHIQUE 192
IV. Changements de repr?sentants 198
IV.1 PROBLEMATIQUE DU CHANGEMENT DE REPRESENTANTS 198
IV.2 CONNAISSANCES ASSOCIEES A L'UTILISATION DES
REPRESENTANTS ET AUX CHANGEMENTS DE REPRESENTANTS 202
V conclusion : choix des ostensifs pour la construction de milieux 210
V. 1 LE MILIEU OBJECTIF : TACHES ET OSTENSIFS 210
V. 2 UN MILIEU POUR LA FORMULATION ET LA VALIDATION 211
6
0 LES FONCTIONS : LA SITUATION 214
0
2

r
p
A "GRAPHIQUES ET CHEMINS" 214

7 I. eTUDE DE LA SITUATION generique "GRAPHIQUES ET CHEMINS" 214
1
- I.1 INTRODUCTION 214

1
I. 2 L’ORGANISATION GENERALE DE LA SITUATION 216
n
o I. 3 LES OBJECTIFS DES SITUATIONS DIDACTIQUES ASSOCIEES A LA
si
r SITUATION « GRAPHIQUES ET CHEMINS » 223
e
v II. PREMIERE famille de SITUATIONs DIDACTIQUEs : 226

,
1 producTION DE FONCTIONS 226
5
1 II. 1 PREMIERE LEÇON 226
2
1 II. 2 DEUXIEME LEÇON 227
0
0 II. 3 TROISIEME LEÇON : PRODUCTION DE GRAPHIQUES SOUS
0
- CONTRAINTES D’INEGALITES 228
el
t II.4 DEROULEMENT EFFECTIF ET EVALUATION DES CONNAISSANCES
DES ELEVES A L’ISSUE DES TROIS LEÇONS 232
III. DEUXIEME SITUATION DIDACTIQUE: 240
PROPRIETES DES FONCTIONS 240
III.1 ANALYSE A PRIORI 240
III. 2 DEROULEMENT EFFECTIF ET CONNAISSANCES DES ELEVES 242
III.3 DEUXIEME LEÇON : DEROULEMENT EFFECTIF ET CONNAISSANCES244
IV. TROISIEME SITUATION DIDACTIQUE: 247
OPERATIONS algebriques SUR LES FONCTIONS 247
IV. 1 SOMME ET PRODUIT DE FONCTIONS : ANALYSE A PRIORI 247
IV. 2 DEROULEMENT EFFECTIF 249
V. quatrIEME SITUATION DIDACTIQUE: 253
reciproques et composees de FONCTIONS 253
V. 1 ANALYSE A PRIORI 253
V. 2 DEROULEMENT EFFECTIF 254
VI. conclusion 258
VI. 1 SUR LE DEROULEMENT 258
7
VI. 2 SUR LES OBJECTIFS DE LA SITUATION 258
VI. 3 SUR LE SPA 259
LES LIMITES : LA SITUATION 262
DU FLOCON DE VON KOCH 262
I. eTUDE DE LA SITUATION generique 262
du flocon de von koch 262
I.1 INTRODUCTION 262
I. 2 L’ORGANISATION GENERALE DE LA SITUATION ET SES VARIABLES
DIDACTIQUES 263
I. 3 LE FLOCON DE VON KOCH 268
II. DEROULEMENT PREVU 273
II. 1 CALCULS ET TESTS A LA CALCULATRICE 273
II. 2 CONJECTURES SUR LES LIMITES 274
II. 3 DEBAT ET VALIDATIONS 275
III. DEROULEMENT EFFECTIF 277
III. 1 CALCULS ET CONJECTURES POUR P ET A 277
N N
6
0 III. 2 VALIDATION ET INTRODUCTION DU SPA 280
0
2 III. 3 LA SITUATION DU FLOCON : CONNAISSANCES DES ELEVES 282

r IV. conclusion 285
p
A IV. 1 SUR LES OBJECTIFS DE LA SITUATION 285

7
1 IV. 2 SUR LA REPRODUCTIBILITE 287

-

1

n LE QUESTIONNAIRE 290
o
si
r
e
v « FONCTIONS ET LIMITES » 290

,
1
I. ELABORATION DU QUESTIONNAIRE 290
5
1 I. 1 HISTORIQUE 291
2
1 I.2 DU POINT DE VUE DE L’ENSEIGNANT AU POINT DE VUE DU
0
0 CHERCHEUR : QUESTIONS ET HYPOTHESES 294
0
- I. 3 QUESTIONS METHODOLOGIQUES 296
el
t II ANALYSE a priori du questionnaire 299
II.1. ANALYSE DES QUESTIONS 299
II. 2 VARIABLES CONTROLEES DU QUESTIONNAIRE ET CODAGE DES
REPONSES 304
II. 3 TABLEAU RECAPITULATIF DES QUESTIONS ET DES VARIABLES
GENERALES 306
III. Analyse des reponses 307
III.1. ANALYSE QUALITATIVE 307
III. 2 QUESTIONS CLASSIQUES ET QUESTIONS TYPIQUES 310
IV. Traitement statistique 312
IV. 1 ANALYSE GLOBALE DES RESULTATS 312
IV. 2 ANALYSE DES REPONSES DES ELEVES EXPERIMENTAUX 313
V. conclusion 315
APPROCHE DE L’ENSEIGNEMENT 319
DE L’ANALYSE 319
8 Isabelle Bloch