Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter PDF
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Susanne Muller-Philipp Hans-Joachim Gorski Leitfaden Geometrie Aus dem Programm ________ _.... Mathematik fUrs Lehramt Andreas Bartholome, Josef Rung, Hans Kern Zahlentheorle fiir Elnstelger Norbert Henze Stochastlk fUr Elnstelger Berthold Schuppar Elementare Numerische Mathematik Eine problemorientierte Einfiihrung fUr Lehrer und Studierende Winfried Scharlau Schulwlssen Mathematik: Eln Oberbllck Lutz Fuhrer Pidagoglk des Mathematlkunterrichts Eine Einfiihrung in die Fachdidaktik fUr Sekundarstufen Erich Ch. Wittmann Grundfragen des Mathematikunterrlchts Gerhard Muller, Erich Ch. Wittmann Der Mathematlkunterrlcht In der Primarstufe Hans-Joachim Gorski, Susanne Milller-Philipp Leitfaden Arithmetik Susanne Milller-Philipp, Hans-Joachim Gorski Leitfaden Geometrie vieweg ___________ ~ Susanne Milller-Philipp Hans-Joachim Gorski Leitfaden Geometrie Fiir Studierende der Lehramter ~ vleweg Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz fUr diese Publik.ation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhliltlich. Dr. Susanne Muller-Philipp Dr. Hans-Joachim Gorski Westfiilische Wilhelms-Universitat Munster Institut fur Didaktik der Mathematik EinsteinstraBe 62 48149 Munster E-Mail (Muller-Philipp):[email protected] E-Mail (Gorski):[email protected] 1. Auflage Oktober 2001 Aile Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 2001 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. www.vieweg.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urhe berrechtlich geschutzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuliissig und stratbar. Das gilt insbesondere fUr Vervielfliltigungen, Ubersetzun gen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Konzeption und Layout: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier ISBN 978-3-528-03177-0 ISBN 978-3-322-96841-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-96841-8 Fur Nina, Nini, Max und Bibi, aber auch fur (hier kOnnen Sie den Namen eines besonders lieben Menschen eintragen) Vorwort Das Buch, das Sie jetzt in Handen halten, richtet sich primar an Studierende mit den Studienzielen Lehramt Primarstufe oder Lehramt Sekundarbereich I. Es solI Sie mit verschiedenen Bereichen der Geometrie bekannt machen, die einen tragfahigen Hintergrund fUr ihren spateren Geometrieunterricht bilden konnen. Mit dem Leitfaden Geometrie kntipfen wir konzeptionell - nicht inhaltlich an unseren Leit/aden Arithmetik (Vieweg 1999) an. Damit standen fur uns bei der Entwicklung des Leitfadens Geometrie Uber legungen hinsichtlich der Lesbarkeit und Verstehbarkeit wieder im Vorder grund. Dieses Buch ist in einem mehrfach durchlaufenen Zirkel aus Entwicklung, Anwendung in Lehrveranstaltungen und Ubungen, Riickmeldungen der Stu dierenden und Hilfskrafte und Optimierung der Entwicklung gewachsen. Damit ist es kein Labor- oder Dienstzimmerprodukt, sondern das Ergebnis standiger Interaktionsprozesse mit Studierenden und Hilfskraften, die inso fern Mitkonstrukteure des Leitfadens Geometrie sind. Stellvertretend fUr viele andere danken wir besonders Frau Barbara Gitzen, Frau Isabell Kleinebecker und Frau Rita Uckelmann fur ihre detaillierten, zeitaufwendigen Riickmeldungen und Verbesserungsvorschlage zu den letz ten Riicklaufexemplaren. Unser Dank gilt auch Frau Katrin Hagedorn, die das Manuskript (ohne Schaudern) auf neue deutsche Rechtschreibung iiberarbeitet hat. Last but not least danken wir nach Jahren intensiver Zusammenarbeit fur die erlebte Erfahrung: My co-author ist the other half a/my brain. Miinster, im August 2001 Susanne Miiller-Philipp Hans-Joachim Gorski vii Inhaltsveneichnis Vororientierung ix - zu Zielvorstellungen im Leitfaden Geometrie ix - zu Methoden im Leitfaden Geometrie xi - zum Einsatz des Leitfadens Geometrie als vorlesungsbegleitende Literatur xiii 1 Topologie 1.1 Einstiegsproblem 1 1.2 Grundlegende Definitionen der Graphentheorie 6 1.3 Eckenordnungen und Kantenzahlen 14 1.4 Plattbarkeit von Graphen 19 1.5 Durchlaufbarkeit von Graphen 27 1.6 Erbteilungs-und Flirbungsprobleme 33 2 Polyeder 46 2.1 Einstiegsproblem 46 2.2 Die platonischen Korper 50 2.3 Halbreguliire Polyeder 57 3 Axiomatik 64 3.1 Zum Einstieg 64 3.2 Inzidenzgeometrie 69 3.3 Affine und projektive Inzidenzgeometrien 73 3.4 Axiome der Anordnung 79 3.5 Winkel 83 3.6 Langen-und Winkelmessung 86 3.7 Zusammenstellung aller relevanten Axiome 95 viii Inhaltsverzeichnis 4 Abbildungsgeometrie 97 4.1 Einstiegsproblem 97 4.2 Kongruenzabbildungen 101 4.2.1 Definition und Eigenschaften der Kongruenzabbildungen 102 4.2.2 Verkettung von Kongruenzabbildungen 118 4.2.3 Weitere Siitze zur Verkettung von Kongruenzabbildungen 146 4.2.4 Die Gruppe der Kongruenzabbildungen 147 4.2.5 Kongruenz von Strecken, Winkeln, Dreiecken 152 4.2.6 Deckabbildungsgruppen 167 4.3 AhnIichkeitsabbildungen 178 4.4 Affine Abbildungen 189 5 Fragestellungen der euklidischen Geometrie 195 5.1 Einstiegsproblem 195 5.2 Besondere Punkte und Linien im Dreieck 200 5.3 Siitze am Kreis 215 5.4 Die Satzgruppe des Pythagoras 225 6 Darstellende Geometrie 237 6.1 Einstiegsproblem 237 6.2 Axonometrie 241 6.3 Dreitafelprojektion 250 6.4 Zentralprojektion 254 Benutzte Zeichen und Abkiirzungen 262 Literatur 264 Stichwortverzeichnis 267 ix Vororientierung zu Zielvorstellungen im Leitfaden Geometrie Was solI das Ganze?, Was wollen Sie von uns?, Was genau sollen wir ler nen?, Warum lernen wir das?, Wie sollen wir das lernen? und Kennen wir es in unserem spateren Beruf / im Leben gebrauchen? Fragen dieser Art stellen Lernende an den verschiedensten Stellen unseres Bildungssystems, jedenfalls sollten sie sie stellen. Auf der anderen Seite sollten die Initiatoren der Lernprozesse Antworten auf diese Fragen bereit halten, die die Lernenden in ihrer Lernausgangslage zufriedenstellen: Zuniichst verfolgen wir natiirlich rein fachliche Ziele. Es geht uns darum, Ihnen mathematische Qualifikationen fUr rhre spatere Unterrichtspraxis zu vermitteln. In diesem Zusammenhang haben wir sechs Themenbereiche aus gewiihlt, von denen wir uberzeugt sind, dass sie eine tragfahige Grundlage fUr einen kompetenten Geometrieunterricht von Klasse 1 bis Klasse 10 be deuten kennen. Beispielhaft denken wir hier an das Kapitel "Abbildungs geometrie", das zentrale Qualiflkationen flir die Lernbereiche "Flachenin haltsbestimmungen", "Kongruenzabbildungen", "zentrische Streckung" im Sekundarbereich I und fUr die Themen "Symmetrie", "Ornamente", "Ver gre.Bern - Verkleinern" in der Grundschule (und in der Sekundarstufe I) be reitstellt. Mit der ausdrficklichen Herausstellung der folgenden Zielvorstellungen ver lassen wir den Rahmen ublicher mathematischer Fachbficher: • Forderung des raumlichen Vorstellungsvermogens Wenn Sie in der Schule nicht gefOrdert wurden (und raumliches Vorstel lungsvermogen entwickelt sich am besten bis zum Alter von etwa 12 Jah ren), dann muss hier unter Umstanden "nachgebessert" werden. Das geht auch bei Erwachsenen. Denken ist verinnerlichtes Handeln (Aebli). Sie mfissen Handlungserfahrungen machen und diese mehr und mehr im Kopf durchfiihren. Braucht man erst die konkreten Objekte, mit denen man hantiert, so werden diese allmiihlich durch Visualisierungen und schlie.Blich durch Vorstellungen von den Objekten ersetzt. Einen besonde ren Beitrag zur Forderung des raumlichen Vorstellungsvermtigens wollen x Vororientierung wir im Kapitel "Polyeder" leisten. Hier sollen Sie sich komplexere Karper vorstellen und in der gelungenen Vorstellung Manipulationen mit / an diesen Objekten vomehmen. Dazu sollten Sie die konkreten Objekte zu nachst selbst herstellen, und damit sind wir beim nachsten Punkt. • Schulrelevante Arbeitsweisen auf hoherem Niveau erfahren und anwen den Das Herstellen von Karpemetzen und das Erstellen der Karper aus Karton sind schultypische Tatigkeiten. Urn Sie nicht zu unterfordem, Sie aber trotzdem mit den Problemen, die da auftauchen kannen, zu konfrontieren, werden wir von Ihnen so etwas erwarten, allerdings bei komplizierteren Gebilden. Ahnliches gilt fur das Falten, das Arbeiten mit Plattchenmate rial usw. Wo es sich anbietet, sollen solche Tatigkeiten auch Ihnen beim Erlemen von Mathematik nutzen. Schliefilich sollte jede Lehrerin und jeder Lehrer in der Lage sein, etwa einen Wurfel, einen Quader, eine Pyramide (mit quadratischer Grundfla che), einen Zylinder oder einen Kegel ad hoc an der Tafel zu skizzieren bzw. exakt darzustellen. In der Sekundarstufe I werden Sie dies auch von ihren Schiilerinnen und Schtilem erwarten, in der Primarstufe vielleicht fur die erstgenannten Karper. Unmittelbare Basisqualifikationen hierfiir versuchen wir Ihnen im Kapitel "Darstellende Geometrie" zu vermitteln. • Ober die Schuljormen hinaus blicken Fur die angehenden Grundschullehrerinnen und -lehrer: Sie werden in diesem Buch auch mit Inhalten des Geometrieunterrichts der Sekundar stufe I konfrontiert. Dies ist wichtig, damit Sie Ihren spateren Mathema tikunterricht so gestalten kannen, dass er tragfahige Konzepte liefert, die von den Kindem kein Umlemen in weiterfiihrenden Schulen erfordem, sondem ein Aufbauen auf Bekanntem und ein Weiterverfolgen bekannter Arbeits- und Denkweisen. Ais ein Beispiel aus diesem Buch nennen wir hier das "Haus der Vierecke". Die Behandlung von Deckabbildungsgrup pen solI Ihnen helfen, Aktivitaten des Faltens und VerschOnems von Quadraten oder das Legen von Plattchen vor einem mathematischen Hin tergrund zu sehen. Fur die angehenden Sekundarstufenlehrerinnen- und lehrer: Sie werden eine Reihe von Aktivitaten kennenlemen, die Kindem aus der Grund schulzeit schon vertraut sind (zumindest wenn sie einen Geometrieunter richt erfahren haben, wie er uns vorschwebt). Sie iibemehmen die Kinder nicht in Klasse 5 als geometrisch "unbeschriebene Blatter". Ihre Vorer fahrungen, ihre Erwartungen, die ihnen vertrauten Arbeitsformen, Mate rialien, Techniken kannen und miissen Sie aufgreifen.
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