Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter

482 Pages·2018·9.654 MB·German

by  Ralf Benölken, Hans-Joachim Gorski, Susanne Müller-Philipp

Ralf Benölken
Hans-Joachim Gorski
Susanne Müller-Philipp
Leitfaden
Geometrie
Für Studierende der Lehrämter
7. Aufl age
Leitfaden Geometrie
(cid:2) (cid:2)
Ralf Benölken Hans-Joachim Gorski
Susanne Müller-Philipp
Leitfaden Geometrie
Für Studierende der Lehrämter
7., überarbeitete und erweiterte Auflage
RalfBenölken SusanneMüller-Philipp
FakultätfürMathematikundNatur- DidaktikderMathematik
wissenschaften WestfälischeWilhelms-Universität
BergischeUniversitätWuppertal Münster
Wuppertal,Deutschland Münster,Deutschland
Hans-JoachimGorski
DidaktikderMathematik
WestfälischeWilhelms-Universität
Münster
Münster,Deutschland
ISBN978-3-658-23377-8 ISBN978-3-658-23378-5(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-23378-5
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für Susanne
Vorwort zur siebten Auflage

Susanne Müller-Philipp konnte an der Aktualisierung dieses Buches nicht
mehr mitarbeiten. Sie ist im Jahr 2015 viel zu früh gestorben.
Auch wenn es uns sehr schwergefallen ist, die vorliegende Auflage ohne
Susanne zu erarbeiten, war sie uns bei den Arbeiten doch auf vielfältige Wei-
se nahe. Das gilt für ganz viele Bereiche, insbesondere jedoch für die Ziele
des Leitfadens Geometrie und die Methoden, die zum Erreichen dieser Ziele
eingesetzt werden. An die bereits vor der ersten Auflage vereinbarten Ab-
sprachen zu diesen beiden Strukturmomenten, die wir in der Vororientierung
unten zusammengestellt haben, fühlen wir uns weiter gebunden. Insofern
glauben wir, dass sich Susanne mit der vorgenommenen Überarbeitung iden-
tifizieren könnte.
Im Vorwort einer der früheren Auflagen des Leitfadens Geometrie fand sich
der Satz: „My co-author is the other half of my brain.“ Für diese mit Susanne
intensiv erlebte Erfahrung bin ich ihr dankbar (H.-J. Gorski).

Mit dem Leitfaden Geometrie wenden wir uns primär an Studierende / Leh-
rer(innen), die ein Lehramt in der Primarstufe oder im Sekundarbereich I
anstreben / ausüben. Uns freut besonders, dass auch Studierende anderer
Studiengänge offenbar vermehrt Gewinn aus unserem Buch ziehen.

Weil es die Geometrie (γεωμετρία, griechisch für Landmessung) auch im
Unterricht an allgemeinbildenden Schulen nicht gibt, gliedert sich dieses
Buch in Kapitel zur Topologie, zu Polyedern, zur Axiomatik, zur Abbil-
dungsgeometrie, zu geometrischen Konstruktionen, zur euklidischen Geo-
metrie und zur darstellenden Geometrie. Dabei soll dieses Buch ein Leitfaden
zur Einführung in die oben genannten Teilgebiete sein.

In der vorliegenden 7. Auflage finden sich zunächst einmal Ergänzungen,
Aktualisierungen und Erweiterungen in allen Kapiteln. Dabei haben wir an
all denjenigen Stellen, an denen es uns vertretbar erschien, auf allerhöchste
fachliche Vollständigkeit, Perfektion und formale Notation zugunsten der
Entwicklung von Basisqualifikationen zukünftiger Mathematiklehrer im
Primar- und Sekundar-I-Bereich verzichtet. Stattdessen haben wir an vielen
Stellen auf Hinführungen, Vorschauen, Rückschauen, Vororientierungen und
Hinweise auf strukturähnliches Vorgehen geachtet, die die Lernenden insbe-
sondere beim Lernen des Beweisens unterstützen sollen. Der Leitfaden Geo-
metrie ist kein komprimiertes „Satz-Beweis-Buch“ und wird auch in Zukunft
viii
keines werden. Ebenso ist er auch kein Buch über lockere Erzählungen zur
Geometrie und wird auch in Zukunft keines werden.

Der Schwerpunkt der Neuerungen bezieht sich auf ein neu gestaltetes und
deutlich erweitertes Übungsangebot sowie auf die Aufnahme von etwa 70
Seiten mit Lösungen bzw. Musterlösungen bzw. Lösungshinweisen zu den
Übungsaufgaben.

Besonderer Dank gilt Frau Andrea Tiedke für die kritische Durchsicht des
Manuskriptes und zahlreiche Optimierungsvorschläge.

Möge Ihnen der Leitfaden Geometrie viel Arbeit, viel Erfolg und dann viel
Freude am Erfolg bescheren.

Münster, im Oktober 2018

Ralf Benölken Hans-Joachim Gorski
ix

Inhaltsverzeichnis

Vororientierung xii
- Zielvorstellungen im Leitfaden Geometrie xii
- Methoden im Leitfaden Geometrie xiv
- Voraussetzungen xvi
- Einsatz des Leitfadens Geometrie als
vorlesungsbegleitende Literatur xviii

1 Topologie 1
1.1 Einstiegsproblem 1
1.2 Grundlegende Definitionen der Graphentheorie 6
1.3 Eckenordnungen und Kantenzahlen 14
1.4 Plättbarkeit von Graphen 20
1.5 Durchlaufbarkeit von Graphen 29
1.6 Erbteilungs- und Färbungsprobleme 37

2 Polyeder 52
2.1 Einstiegsproblem 52
2.2 Die platonischen Körper 57
2.3 Halbreguläre Polyeder 64

3 Axiomatik 73
3.1 Zum Einstieg 73
3.2 Inzidenzgeometrie 78
3.3 Affine und projektive Inzidenzgeometrien 82
3.4 Axiome der Anordnung 88
3.5 Winkel 93
3.6 Längen- und Winkelmessung 96
3.7 Zusammenstellung aller relevanten Axiome 107
x Inhaltsverzeichnis
4 Abbildungsgeometrie 109
4.1 Einstiegsproblem 109
4.2 Kongruenzabbildungen 115
4.2.1 Definition und Eigenschaften der Kongruenzabbildungen 116
4.2.2 Verkettung von Kongruenzabbildungen 133
4.2.3 Weitere Sätze zur Verkettung von Kongruenzabbildungen 165
4.2.4 Die Gruppe der Kongruenzabbildungen 168
4.2.5 Kongruenz von Strecken, Winkeln, Dreiecken 173
4.2.6 Symmetrie 189
4.2.7 Deckabbildungsgruppen 220
4.3 Ähnlichkeitsabbildungen 233
4.4 Affine Abbildungen 246

5 Geometrische Konstruktionen 252
5.1 Einstieg 252
5.2 Grundlegendes 256
5.3 Ausgewählte Hilfsmittel zum Konstruieren 260
5.4 Grundkonstruktionen 263
5.4.1 Abtragen 263
5.4.2 Halbieren 267
5.4.3 Lote 269
5.4.4 Parallele durch einen Punkt 272
5.4.5 Mittelparallele 274
5.4.6 Linien im Dreieck 275
5.4.7 Konstruktionen am Kreis 279
5.4.8 Teilung in n gleiche Teile 282

6 Fragestellungen der euklidischen Geometrie 289
6.1 Einstiegsproblem 289
6.2 Besondere Punkte und Linien im Dreieck 296
6.3 Sätze am Kreis 313
xi

6.4 Die Satzgruppe des Pythagoras 326
6.5 Der goldene Schnitt 341

7 Darstellende Geometrie 351
7.1 Einstiegsproblem 351
7.2 Axonometrie 356
7.3 Dreitafelprojektion 367
7.4 Zentralprojektion 373

Lösungen und Hinweise 385

Benutzte Zeichen und Abkürzungen 452

Literatur 454

Stichwortverzeichnis 458